博爱县第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份博爱县第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,,则的最小值是( )
A.3B.4C.D.
2．若,且,则等于( )
A.4B.3C.2D.1
3．已知一组样本数据,,...,的方差为10,且.设,则样本数据,,...,的方差为( )
A.9.5B.10.5
4．一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,2小时后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
5．函数是( )
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的非奇非偶函数D.最小正周期为的非奇非偶函数
6．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7．已知直线,,若,则实数( )
A.1B.3C.1或3D.0
8．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有( )种
A.90B.125C.180D.243
二、多项选择题
9．已知A,B是直线与函数图象的两个相邻交点,若,则的值可能是( )
A.2B.4C.8D.10
10．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有( )
A.可能是等边三角形B.可能是直角三角形
C.当时，的周长为15D.当时，的面积为
11．已知，，，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为，，，，则实数的值为__________.
13．如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切.为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品内最多可放入_________个小球（取，）.
14．若圆与圆的公共弦长为,则_______.
四、解答题
15．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值;
（2）判断的单调性并用定义证明.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求;
（2）若,且的面积为,求的值
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,,,,,M,N分别为BC,PC的中点,,.
（1）证明:;
（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
18．已知抛物线的焦点为F，点A，B，P是该抛物线上互不重合的三点，且轴，，设点A，B的横坐标分别为，.
（1）当时，求（点O为坐标原点）的值；
（2）求的最小值.
19．已知函数是定义域上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）若方程在上有两个不同的根,求实数m的取值范围;
（3）令,若对,都有,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：考察均值不等式,
整理得
即,
又,
2．答案：D
解析：设,
得到,,,
则,
故选:D.
3．答案：B
解析：设样本数据,,...,的平均数为,则,
设样本数据,,...,的平均数为,因为,所以,所以.
4．答案：A
解析：由题设可得如下示意图,且,,即,
由图知:,则,又,
所以,则海里.
故选:A
5．答案：D
解析：
.
故最小正周期,为非奇非偶函数.
6．答案：D
解析：由题意得，所以复数z在复平内面对应的点位于第四象限，故选D.
7．答案：A
解析：因为,所以,
解得:或,
当时,,,两直线平行,满足题意,
当时,,,两直线重合,舍,
所以.故选:A.
8．答案：A
解析：根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
9．答案：AD
解析：设函数的最小正周期为T,则或者,
即或,解得或,
10．答案：BCD
解析：由正弦定理得，对于A，因为，所以不可能是等边三角形，故A错误.对于B，若A是直角，则，所以存在可能是直角三角形，故B正确.对于C，若，则，，的周长为15，故C正确.对于D，，解得，，所以的面积，故D正确.
11．答案：AC
解析：由已知得，，两式分别平方相加得，整理得，故A正确，B错误；
，，，，，故C正确，D错误.故选AC.
12．答案：-4
解析：因为，所以，所以，解得，所以.
13．答案：15
解析：过大球球心与圆柱底面圆心的平面截该工艺品所得的平面图如图1所示，其中G，F分别是大球与实心小球的球心.设实心小球的半径为r，由题意，得，整理得.设该工艺品内最多可放入个小球.因为这些实心小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，如图2，易得，且，得.又，故该工艺品内最多可放入15个小球.
14．答案：1
解析：圆的圆心为,半径.
圆的圆心为,
半径,
两个圆的公共弦的方程为:,
解得:.
有,又,
解得:或(舍去)
故答案为:1.
15．答案：（1）,
（2）函数在R上为减函数,证明见解析.
解析：（1）因为函数为R上的奇函数,所以,即,
又,即,解得,
所以,.
（2）由（1）可知,函数在R上为减函数,证明如下:
任取,,且,则
,
因为,所以,,,即,
所以,即,
所以函数在R上为减函数.
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
,..
即,
,,,则,
（2）的面积为,
,得
,,
,即,
,,.
17．答案：证明见解析;
（2）
解析：（1）由题意知,,,
易得.
又,且,平面PDM,
所以平面PDM.
因为,所以平面PDM.
又平面PDM,所以.
（2）由（1）知平面PDM,所以为直线AN与平面PDM所成角的余角.
连接AM,因为,,
所以平面ABCD,所以.
因为,,,
所以由余弦定理得,
又,所以,
所以,
连接BN,结合余弦定理得.
连接AC,则由余弦定理得,
在中,结合余弦定理得,所以.
所以在中,.
设直线AN与平面PDM所成的角为,
则.
18．答案：（1）
（2）9
解析：（1）由题可知，，又因为，解得，
过A作垂直于x轴于E，
因为，所以，
所以.
（2）设，因为轴，所以点P的横坐标为，
又点P在抛物线上，所以，得到，
根据对称性，不妨设点P在x轴的上方，则，
设直线的方程为，点A，B的纵坐标分别为，.
由方程组，消x得到，
所以，即，
又由韦达定理知，，，
所以，，
因为，所以，又，，
所以，
即，
所以，整理得，
所以或.
若，则直线过P点，不合题意，舍去，所以，
所以，
又因为恒成立，
所以当时，的最小值为9.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,又是奇函数,,
,解得,.
经验证,函数满足定义域,成立,
所以.
（2）方程在上有两个不同的根,
即在上有两个不相等的实数根,
需满足,解得.
（3）有题意知,
令,
因为函数在上单调递减,在上单调递增,
函数的对称轴为,
函数在上单调递增.
当时,;当时,;
即,
又对都有恒成立,
,
即,
解得,又,
t的取值范围是.