山东省烟台市海阳市实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，满分48分）下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.6
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：A选项，是无理数，该选项符合题意；
B选项，是有理数，该选项不符合题意；
C选项，，分数属于有理数，该选项不符合题意；
D选项，0.6，有限小数，属于有理数，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2. 据国家统计局网站消息，国家统计局2月28日发布《中华人民共和国2020年国民经济和社会发展统计公报》指出，初步核算，全年国内生产总值约101.6万亿元，这个数值用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：101.6万亿=1.016×1014，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列因式分解正确的是（ ）
A. a10b﹣a5＝a5（a2b﹣1）B. a2﹣4b2＝（a﹣2b）2
C. a6＋4a3b＋4b2＝（a3＋2b）2D. a2﹣a（b＋1）＝a（a﹣b＋1）
【答案】C
【解析】
【分析】利用提公因式法判定A和D错误，利用平方差公式判定B错误，利用完全平方公式判定C正确.
【详解】解：A．a10b﹣a5＝a5（a5b﹣1），故此选项不合题意；
B．a2﹣4b2＝（a﹣2b）（a＋2b），故此选项不合题意；
C．a6＋4a3b＋4b2＝（a3＋2b）2，故此选项符合题意；
D．a2﹣a（b＋1）＝a（a﹣b﹣1），故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握方法和步骤：一提二套三检查.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
C. 五边形的内角和为
D. 三点确定一个圆
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质、矩形的判定方法、多边形的内角和定理及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、五边形的内角和为，正确，是真命题，符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据，，，，的中位数和众数都是
B. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
C. 利用计算器求一组数据的平均数．其按键顺序如图：则输出的结果为
D. 若甲、乙两组数据中各有个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差、众数、中位数定义进行计算，根据全面调查与抽样调查的区别进行判断，根据计算器的操作进行判断．
【详解】解：A、数据4，4，5，5，0的中位数是4，没有众数，选项错误，不符合题意；
B、要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽样调查，选项错误，不符合题意；
C、这组数据的平均数是9，选项错误，不符合题意；
D、两组数据的平均数相等，，所以乙组数据比甲组数据稳定，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了方差、众数、中位数的计算，全面调查与抽样调查的区别，计算器的操作，掌握方差、众数、中位数定义进行计算，全面调查与抽样调查的区别进行，计算器的操作过程是关键．
7. 如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC，
故①正确；
∵PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC＝2∠BAC，
故②错误；
同理：∠APC＝2∠ABC，
故④正确；
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°，
∴2∠BAC+2∠PCB＝180°，
∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°，
故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质等知识，根据线段垂直平分线性质证明PA＝PB＝PC是解题关键．
8. 已知，则的值是（ ）．
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式整理即可求解．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣3，3），B（，）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得A（-3，3），B（，），可知OA⊥OB，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM-S△OBN计算即可．
【详解】解：∵A（﹣3，3），B（，），
∴点A在第二象限的角平分线上，点B在第一象限的角平分线上，
∴∠AOB=45°+45°=90°,
∴OA⊥OB．
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，6），B（3，0），
∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+6，
由，解得或，
∴M（1，4），N（2，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝×3×4﹣×3×2＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题．
10. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为

A. （1.4，－1）B. （1.5，2）C. （1.6，1）D. （2.4，1）
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴平移和变化规律是：横坐标减4，纵坐标减3．
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1）．
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴点P1和点P2关于坐标原点对称．
∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选C．
11. 如图，四边形ABCD平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DCAB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
综上，四个选项均正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
12. 如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为（ ）
A. 10B. 9.8C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】如图：连接，，由，则，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而完成解答．
【详解】解：如图：连接，，
，，
∴
四边形为矩形，
，
，
由翻折可得，
，
，
当，，三点共线时，最小，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项： 1.第Ⅱ卷共5页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上；
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13. 某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费约是实际花费的倍数是_____． （用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】
【解析】
【分析】利用预算费用除以实际费用，再用科学记数法表示即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
故答案为：；
【点睛】本题考查有理数的除法，科学记数法及有效数字，解题的关键正确计算有理数的除法．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【详解】∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴，
解得，
∴y=﹣x2+3x+3，
∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④
16. 已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：①；②；③； ④； ⑤，其中正确的有是_____．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、、时的函数值小于0、对称轴及函数的最大值逐一判断可得．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴，
∴结论①错误；
∵当时，，即，
∴结论②正确；
∵当和时，函数值相等，均小于0，
∴，
∴结论③错误；
∵，
∴，
∵由时，得，即，
∴结论④正确；
∴由图象知当时函数取得最大值，
∴，即，
∴结论⑤正确．
故填：②④⑤．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；当与同号时(即)，对称轴在轴左侧；当与异号时(即)，对称轴在轴右侧，（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
17. 如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线L：y＝x于点A，过点A1，作直线L的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线L于点A，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…其面积分别记为S1，S2，S3，…S100，则 S100为_______．
【答案】3×2395
【解析】
【分析】本题需先求出和的长，再根据题意得出，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得．
【详解】解：点的坐标是，
，
点在直线上，
，，
，
，
，
得出，
，
，，
，
，
△△，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题的关键是要注意相关知识的综合应用．
18. 如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为_____．
【答案】﹣．
【解析】
【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证，由勾股定理求得GP的值，再由三角形的中位线定理求解即可得到答案.
详解】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：
则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，
∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，
∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，
∴OG＝，
由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，
∴
∵OG∥CM，
∴∠MOG＋∠OMC＝180°，
∴∠MCG＋∠OMC＝180°，
∴OM∥CG，
∴四边形OGCM为平行四边形，
∵OM＝CM，
∴四边形OGCM为菱形，
∴CM＝OG＝，
过N作NQ⊥MC于点Q，NQ⊥GP于K
根据题意得：KG是三角形MNQ的中位线，
∴MQ＝2KG，
∴∴DN＝．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，翻折变换，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题（本大题共8小题，满分78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【解析】
【分析】先将所有分式分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
20. 小明爸爸销售A、B两种品牌的保暖衣服，10月份第一周售出A品牌保暖衣服3件和B品牌保暖衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌保暖衣服17件和B品牌保暖衣服8件，销售额为4200元．
（1）求A、B两种品牌保暖衣服的售价各是多少元？
（2）已知10月份A品牌保暖衣服和B品牌保暖衣服的销售量分别为1000件、500件，11月份是保暖衣服销售的旺季，为拓展市场、薄利多销，小明爸爸决定11月份将A品牌保暖衣服和B品牌保暖衣服的销售价格在10月份的础上分别降低m%，%，11月份的销售量比10月份的销售量分别增长30%、20%．若11月份的销售额不低于233000元，求m的最大值．
【答案】（1）A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元;（2）30．
【解析】
【分析】（1）根据“A品牌保暖衣服3件和B品牌保暖衣服4件，销售额为1000元，第二周售出A品牌保暖衣服17件和B品牌保暖衣服8件，销售额为4200元”建立方程组求解即可得出结论；
（2）先确定出11月份两种品牌的保暖衣服的单价和销售量，最后用“11月份的销售额不低于233000元，”建立不等式求解即可得出结论．
【详解】（1）设A品牌的保暖衣服x元，B品牌的保暖衣服y元，
根据题意知，，
解得，，
经检验：符合题意，
答：A、B两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元；
（2）由题意得，11月份A品牌保暖衣服销售量为1000（1+30%）=1300件，
B品牌保暖衣服的销售量为500（1+20%）=600件，
则1300×200（1-m%）+600×100（1-m%）≥233000，
解得，m≤30，
即：m的最大值为30．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，审题题意，找出相等关系和不等关系是解本题的关键．
21. 有这样一道作图题：“求作一个平行四边形，使得点A与边的中点E的连线平分．”
小明的思考过程是这样的：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．

例如，假设即为所求作，则，
∴．
又平分，
∴．
∴，
∴．
∵E是边的中点，
∴……
再倒过来，只要作出的平行四边形满足和的数量关系是①即可.
（1）填空：①______.
（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个，使得点A与边的中点E的连线与对角线垂直.（要求：只保留作图痕迹，无需写出文字说明）
【答案】（1）
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，线段中点的性质解答即可；
（2）先作线段，确定中点，再作平行四边形，最后使得点A与边的中点E的连线与对角线垂直.
【小问1详解】
解：，理由如下：
假设即为所求作，则，
∴ ．
又 平分，
∴．
∴，
∴．
∵E是边的中点，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
方法一：①作线段的垂直平分线，取的中点E，以E为圆心，的长为半径作，
在圆上任取一点G，连接，则，
②取的中点F，以为半径，F为圆心作弧，交的延长线于点D，则，
作的垂直平分线交于O，交于K，则，
③以O为圆心长为半径作，延长，交于点A，则，
连接，则四边形是平行四边形，
④连接，此时，，即；

方法二：①作，任作射线（角度要小），
②作于点H，在射线上截，
③以点A为圆心作交于点D，
④连接即可；
【点睛】
本题考查了等边对等角，作平行四边形，平行四边形的性质与判定，线段垂直平分线，三角形三边关系，直径所对的圆周角是直角，构造圆作图是解题的关键．
22. 图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面距离处淋浴．
（1）当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．
（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点E与点D重合
①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整的大小，在图3中，试求的度数．（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道；
②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数．
【小问1详解】
解：过点作的延长线于点，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，
，，
，
，
，
，
又，
，
【小问2详解】
①；
②如图，
在 中，
，
，
，
在 中，．
，
，
，
．
23. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】（1）200；
（2）见解析； （3）估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
【小问2详解】
参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
【小问4详解】
画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
24. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
【小问1详解】
解：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
【小问3详解】
解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
25. 如图，在正方形中，E是边上的一点，过点E作的垂线交于点P，交于点F，连接并延长交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
分析】（1）分别证明：，即可；
（2）作交于M，证明，然后证出，即可得到；
（3）作交于，证得，，设，表示出其他线段长度，列出比例式即可求得．
【小问1详解】
解：∵于P，
∴．
在正方形中，，
∴，．
∴，．
∴．
【小问2详解】
解：作交于M，
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：作交于，
∴，．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
设，则，，
则，解得，，
∴或3，
作于，
∵，，
∴点为的中点．
∴．
∴或．
∴或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识点，辅助线的正确作法是解题关键．
26. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【小问1详解】
解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，

当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
【小问3详解】
设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3