山东省聊城市阳谷县第二实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1. －的立方根是（ ）
A. -2B. 4C. -4D. ﹣8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的意义可得，然后根据立方根的意义可得到问题解答．
【详解】解：∵，且，
∴的立方根是-2，
故选A ．
【点睛】本题考查平方根和立方根综合运用，熟练掌握平方根、立方根的意义和性质是解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可．
【详解】A、不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；
B、，故选项B计算正确；
C、，故选项C计算错误；
D、，故选项D计算错误．
故选B．
【点睛】本题考查合了并同类项，同底数幂乘法和积的乘方、以及完全平方公式，解题关键是熟记运算法则和公式．
3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cs∠APC＝cs∠EDC即可得答案．
【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
4. 小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角，小明在坡比为的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角，则山高为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可得，从而得到米，米，设米，则米，由，可得米，再由，可得，从而得到，求出x，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵米，
∴米，米，
设米，则米，
∵，
∴米，
又∵，
∴，
即：，
解得，
∴米，
∴米．
即山高为米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
5. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论：
（1）（2）（3）（4）（5）其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线与轴交点的各数对（1）进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，由抛物线的对称轴为直线，得到，于是可对（2）进行判断；利用可对（3）进行判断；根据自变量为1时函数值为正数可对（4）进行判断；根据自变量为时函数值为负数可对（5）进行判断．
【详解】解：抛物线与轴有2个交点，
，即，所以（1）正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交于，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以（2）错误；
，即，所以（3）错误；
时，，
，所以（4）正确；
时，，
，所以（5）正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．当时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
6. 如图，若是的直径，是的弦，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直径所对圆周角为直角即得出，从而由直角三角形两个锐角互余求出，最后由同弧所对圆周角相等即得出．
【详解】解：是的直径，
．
，
又，
．
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形两个锐角互余．掌握直径所对圆周角为直角和同弧所对圆周角相等是解题关键．
7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ）
A. 21B. 28C. 34D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴的周长为：（8+9）×2=34．
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
8. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2B. m≤2C. m＜2且m≠1D. m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
9. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A y=3（x+2）2﹣1B. y=3（x﹣2）2+1C. y=3（x﹣2）2﹣1D. y=3（x+2）2+1
【答案】A
【解析】
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
10. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D. 23
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
12. 求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．
【详解】解：设S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①
则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②
由②－①得：
2019S＝20202021－1
∴．
故答案为：C．
【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算．
二、填空题（本大题共6小题，共24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
13. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式后，再用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故答案为：．
【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．
15. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________．

【答案】或
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，

∵分别与相切于两点
∴，
∵．
∴
∵，
∴，
当点在上时，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
16. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键．
17. 若关于x的分式方程有增根，则____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，整理得：，
∵关于x的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：3．
18. 如图，在长方形ABCD中，DC=6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把三角形AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若三角形ABF的面积为24，那么CE长度为__________cm.
【答案】
【解析】
【分析】由折叠可得∠D=∠AFE=90°，结合已知条件不难证明△ABF∽△FCE，由三角形相似的性质可以得出EC与CF的比值，根据比值分别设出EC、CF的长度，进而表示出EF、DE的长度，列方程解出x，进而求出CE的长度.
【详解】∵矩形ABCD，
∴AB=CD=6cm，∠B=∠C=∠D=90°，
∵S△ABF=AB·BF=×6BF=24，
∴BF=8，
由折叠可得∠AFE=∠D=90°，DE=EF，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
∵△ABF与△FCE中，
，
∴△ABF∽△FCE，
∴=，
∴=43，
设CE=4xcm，CF=3xcm，则EF=ED=5xcm，
∴6=5x+4x，
∴x=23，
∴CE=cm.
故答案为.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.
三、解答题（本大题共8小题，共78分．）
19. （1）先化简，再求代数式的值，其中．
（2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1），；（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求特殊角三角函数值：
（1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着计算出x的值，最后代值计算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
，
∵，
∴原式；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
数轴表示如下所示：
20. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度．
【答案】
【解析】
【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函数求解即可．
【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点，
则有：，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
21. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元
（2）当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
（1）设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为y元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，
根据题意得，，
解得：，
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元；
【小问2详解】
解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克，
根据题意，，
解得：，
设总费用为y元，根据题意，，
∵，y随x的增大而增大，
∴当时，y最小，
∴最少总费用为（元），
答：当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元．
22. 如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）连接，

是的直径，
，即，
，
连接，
∵点C为劣弧的中点，
，
∵，
∵OC是的半径，
∴CE是的切线；
（2）连接
，，
∵点C为劣弧的中点，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）9； （3）或．
【解析】
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C坐标为
∴，
∴
．
【小问3详解】
由图象可得，不等式的解集是或．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
24. 某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000
（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
【解析】
【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
【小问2详解】
由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值为9000，
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．