山东省济宁市汶上县第一实验中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，满分100分．考试用时120分钟．
第I卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1. 将一元二次方程配方后，可化为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
把常数项移到方程右侧，二次项的系数化为1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
详解】
．
故选：B．
2. 从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边．
由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率．
【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果，
分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5；
每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果，
所以P（能组成三角形）．
故选：A．
3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据左视图是从物体的侧面看所得到的图形，即可求解．
【详解】解：它的左视图是
故选：B
4. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点到直线的距离的大小来判断的大小．
【详解】解：∵二次函数的图象过点，，
注意到，两点的纵坐标都是，
∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线，
点，，均在二次函数的图象上，
，
，
故选：D．
5. 如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：取的中点，连接，
，
，
∵，
，
，
∵，
∴，故C正确；
故选：C．
6. 如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵为等腰三角形，为底，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圆弧所对的圆心角为．
故选：A
7. 二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的性质，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键；
分和讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
【详解】当时，时，二次函数，图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故A选项正确，B选项不正确；
当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故C选项不正确，
当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且上升趋势，故D选项不正确，
故选：A．
8. 如图，，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考据相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握相似三角形的周长的比等于相似比是解题的关键．
根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
∴，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：B．
9. 比较，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键，
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【详解】，
，
，，
，，
，
故选：D．
10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A. ﹣或﹣12B. ﹣或2C. ﹣12或2D. ﹣或﹣12
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【详解】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和解一元二次方程，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
，且，
解得：．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中点在第三象限，则关于原点对称的点在第_______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键．
根据点所在象限得出x，y的取值范围，然后利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】点在第三象限，
，，即，，
，，
在第二象限，
点关于原点对称点为，
，，
点关于原点对称点在第四象限．
故答案为：四．
13. 双曲线，在第二象限的图象如图所示，，过上一点A作x轴的垂线交于点B，交x轴于点C，若，则的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
设，根据反比例函数系数k的几何意义得到，由得到，然后解方程即可．
【详解】解：设，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴的解析式为．
故答案为：．
14. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=2km，
在Rt△CBD中，(km)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形．
15. 如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形的面积，锐角三角函数．连接交于点F，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点F，
根据题意得：，，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故答案为：
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或解题步骤．）
16. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、负整数次幂、去绝对值：
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入，计算二次根式、负整数次幂，化简绝对值，最后进行加减计算即可．
【小问1详解】
解：
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度
（1）将以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出的图形；
（2）以O为位似中心，将放大为原来的二倍，得到，画出三角形，并写出的坐标
【答案】（1）见解析 （2）见解析；或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转和位似图形：
（1）分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质，分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可．
小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
的坐标为或．
18. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围
（2）如果一元二次方程的两个实数根分别为，，，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系和一元二次方程的定义．
（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
【小问1详解】
一元二次方程有实数根，
解得∶ ．
故k的取值范围是；
【小问2详解】
一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
解得：，
由（1）可得，
．
19. 如图，已知是的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形：
（1）过点A作于点H，在中，可得，在中，可得 ，即可求解；
（2）求出，可得，在中，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点H，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的中线，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
20. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：：，
求证：（1）AG平分；
（2）EF·CG=DF·BG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC；
（2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得，，再根据等式的性质求出EF•CG＝DF•BG．
【详解】（1）证明：，，，
，
在和中，

∽，
，
平分；
（2）证明：在和中，
，
∽，
，
在和中，
，
∽ ，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．
21. 如图，在中，，点O是边上的一点，以为半径的交边于点E，，过E作于点M，交于F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若，的半径为4，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质：
（1）连接，证明，得，即可求证；
（2）设圆的半径为r，利用勾股定理求出的长，利用两角相等的三角形相似得到，由相似得比例求出r的值即可；
（3）利用同弧所对的圆周角相等，得到，进而求出的度数，根据，确定出，从而得到，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设半径为r，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
即，解得：，
即半径为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为4，即，
∴．
22. 已知抛物线经过，，三点，与y轴交于点E
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在点P使的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）设点Q在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点坐标为，，，
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由对称性可知当三点共线时，的值最小，此时得的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点；
（3）设，而，
可得，再由直角三角形的边的关系分类讨论即可．
【小问1详解】
解：将，B4,0，代入，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：存在点P，使得的周长最小，
理由如下：如图，连接，交对称轴于，
令，则，
，
，
∴抛物线对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
，
∴当三点共线时，的值最小，CE长度固定不变，此时得的周长最小，
设直线的解析式为，
则，解得，
，
∴当时，，
．
【小问3详解】
解：存在点，使得为直角三角形，
理由如下：设，而，
，
当时，，解得，
或；
当时，，解得，
；
当时，，解得，
；
综上所述：点坐标为，，，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．