2024年陕西省咸阳市秦都区方圆学校中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省咸阳市秦都区方圆学校中考数学模拟试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．13B．C．D．﹣13
2．（3分）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A．B．\C．D．
3．（3分）如图是一款折叠LED护眼灯示意图，AB是底座，CD、DE分别是长臂和短臂，点C在AB上，若DE∥AB，∠DCA＝70°，则长臂和短臂的夹角∠CDE＝（ ）
A．120°B．100°C．70°D．110°
4．（3分）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
5．（3分）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
6．（3分）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24B．16C．18D．12
7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（t+1）x+t2+2t+2（t为常数）与y轴的交点坐标为（0，a），当﹣2≤t≤2时，则a的最大值为（ ）
A．10B．2C．1D．﹣10
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b 0．
10．（3分）如图，某公园有一块三角形空地ABC，AC＝12米，沿DE放置一道栅栏把△ABC分成两个区域种植不同的花卉，点D、E分别是AB、BC的中点，则栅栏DE的长为 米．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则该正六边形的边长AB为 ．
12．（3分）反比例函数k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的一个交点的纵坐标为2，且反比例函数的图象经过点A（4，m），则m的值为 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，连接BD，点E是AD上一点，过点E作EF∥AB交BD于点F，点G在EF上，连接GC、GD，GC＝GD，若EF﹣DE＝1，∠GFD+∠GDF＝∠GDE，则BC的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式组．
15．（5分）解方程．
16．（5分）计算：．
17．（5分）如图，已知△ABC，点A在射线CD上，利用尺规在BC上求作点P，使得∠PAC＝∠PAD．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在△ABC中，过点B作直线l，点D、E在直线l上，且在点B的两侧，连接AD、CE，AD∥CE，AD＝BE，∠DAB＝∠EBC．求证：∠ACB＝∠CAB．
19．（5分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠（huō）子耧（lóu）六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（已知一个耠子有一条腿，一个耧有两条腿）
20．（5分）大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，属中国国家一级保护动物．大熊猫的主要栖息地是中国四川、陕西和甘肃的山区，它们生性孤僻，常分散独栖于茂密的竹丛中，故得雅号“竹林隐士”．菲菲非常喜爱大熊猫，她购买了四张分别印有大熊猫A．七仔、B．萌兰、C．花花、D．秦韵图案的海报，这四张海报除正面图案不同外其他均相同，她将四张海报背面朝上洗匀，从中随机抽取一张贴在她的卧室里，再从剩下的三张中随机抽取一张贴在她家客厅里，剩下的两张她打算送给好朋友．
（1）菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求菲菲家里贴有七仔海报的概率．
21．（6分）2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素．部分灯组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如图①）．张敏和赵雷两人去城墙灯会游览，看到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告．
请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度AB．
22．（7分）近日，贵州山火牵动人心．王叔叔计划购买一些食品全部捐赠给受灾地区，他了解到每箱食品的价格是50元，经过商议商家给出优惠方案：若一次性购买食品不超过20箱，每箱打七折，超过20箱，则超过部分每箱在打七折的基础上再降5元．
（1）设王叔叔购买食品x箱，所需总费用为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
（2）王叔叔购买食品共花费1900元，请问王叔叔给受灾地区捐赠了多少箱食品？
23．（7分）2024年春晚西安分会场上《山河诗长安》让人眼前一亮．通过增强现实（AR）技术，让李白跨越时空、乘鹤而来、饮酒对诗、观今日西安，并以此刻画出中国文化极致的浪漫与温情．某区开展“山河诗长安，唐诗诵经典”活动，参加者限时背诵唐诗，活动中统计了每人背诵唐诗的数量（单位：首）．现场有少年组和青年组，两组各有100人参加．
【信息处理】为了解两组背诵的情况，从少年组和青年组各随机抽取20人，将他们背诵唐诗的数量整理如下：
少年组20人背诵唐诗的数量
【数据分析】
【问题解决】
（1）请补全条形统计图，并填空：数据分析的表格中a＝ ，b＝ ；
（2）琳琳参加了活动，且她背了5首唐诗，琳琳背诵唐诗的数量在她所在的组处于中下游，则琳琳属于 组；（填“少年”或“青年”）
（3）背诵唐诗不少于7首的人会获得一把折扇，请估计两组获得折扇的总人数．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点H，延长CD到点E，连接AE交⊙O于点F，连接AC、BC、FC，∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若AC＝6，AF＝4，求AE的长．
25．（8分）晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试．
【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点．
【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形．
【素材2】第一次试飞起始高度为0m（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离OA为16m，以点O为原点，OA为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为．
【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度OE为2m（点E在y轴上），飞行的线路抛物线C′可由抛物线C向上平移得到，…
【任务解决】
（1）求抛物线C′的函数表达式；
（2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过1m，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确．
26．（10分）（1）如图①，在▱ABCD中，CD＝5，连接AC，点E是BC延长线上一点，连接AE，∠E＝∠CAE，AE⊥CD，若AE＝12，求AC+AD的值；
（2）如图②，四边形ABCD是一个劳动教育基地，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝120m，连接AC，半圆O是一个半径为16m的半圆形储水池，半圆O与BC切于点M，点M是进水口，BM＝40m．现计划改造出一个△MPQ区域用来养殖水产．要求，点P在AC上，点Q在△ACD内（△ACD足够大），PQ∥CD，PQ＝16m，为安全起见，要沿△MPQ三边修建围栏，所修建的围栏总长是否存在最小值，若存在，请求出MP+PQ+MQ的最小值；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省咸阳市秦都区方圆学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．13B．C．D．﹣13
【分析】如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．
【解答】解：||＝．
故选：C．
2．（3分）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A．B．\C．D．
【分析】根据“面动成体”进行解答即可．
【解答】解：将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是圆锥，
故选：B．
3．（3分）如图是一款折叠LED护眼灯示意图，AB是底座，CD、DE分别是长臂和短臂，点C在AB上，若DE∥AB，∠DCA＝70°，则长臂和短臂的夹角∠CDE＝（ ）
A．120°B．100°C．70°D．110°
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠DCA+∠CDE＝180°，
∵∠DCA＝70°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DCA＝110°，
故选：D．
4．（3分）计算（3x﹣1）2的结果是（ ）
A．6x2﹣6x+1B．9x2﹣6x+1C．9x2﹣6x﹣1D．9x2+6x﹣1
【分析】利用完全平方公式做题即可．
【解答】解：（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1，
故选：B．
5．（3分）如图，直线y＝﹣2x+2与直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m，4），则关于x的不等式﹣2x+2＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
【分析】先利用直线y＝﹣2x+2的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣2x+2上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+2得﹣2m+2＝4，解得m＝﹣1，
当x＞﹣1时，﹣2x+2＜kx+b．
故选：A．
6．（3分）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24B．16C．18D．12
【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC、OD，
，
∵点O是菱形ABCD的对称中心，
∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点，
∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6，
∴AC＝8，BD＝12，
∵EF为过点O的一条直线，
∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积＝菱形ABCD的面积，
∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝48，
∴四边形ABFE的面积＝24，
∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABO＝×AO×BO＝12，
∴阴影部分的面积＝12，
故选：D．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，求出sin∠BAC即可解决问题．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，
∴sin∠BAC＝，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BDC＝sin∠BAC＝．
故选：A．
8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（t+1）x+t2+2t+2（t为常数）与y轴的交点坐标为（0，a），当﹣2≤t≤2时，则a的最大值为（ ）
A．10B．2C．1D．﹣10
【分析】根据题意顶点a＝t2+2t+2＝（t+1）2+1，然后根据二次函数的性质求得t＝2时的值，即可求得当﹣2≤t≤2时，a的最大值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（t+1）x+t2+2t+2（t为常数）与y轴的交点坐标为（0，a），
∴a＝t2+2t+2，
∵a＝t2+2t+2＝（t+1）2+1，
∴当﹣2≤t≤2时，t＝2时a的值最大，最大值为10，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a+b ＜ 0．
【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和二者绝对值的大小，根据“异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”来解答即可．
【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜b，
∵a距离原点的距离比b距离原点的距离大，
∴|a|＞|b|，
则a+b＜0．
10．（3分）如图，某公园有一块三角形空地ABC，AC＝12米，沿DE放置一道栅栏把△ABC分成两个区域种植不同的花卉，点D、E分别是AB、BC的中点，则栅栏DE的长为 6 米．
【分析】由三角形中位线定理得到DE＝AC＝6米．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×12＝6（米），
故答案为：6．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则该正六边形的边长AB为 4 ．
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵四边形BMGH是正方形，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
12．（3分）反比例函数k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的一个交点的纵坐标为2，且反比例函数的图象经过点A（4，m），则m的值为 ．
【分析】根据正比例函数解析式求出交点坐标得到反比例函数解析式，将x＝4代入反比例函数解析式求出m值即可．
【解答】解：在函数y＝2x中，当y＝2时，x＝1，
∴，两函数的交点坐标为（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝4时，y＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，连接BD，点E是AD上一点，过点E作EF∥AB交BD于点F，点G在EF上，连接GC、GD，GC＝GD，若EF﹣DE＝1，∠GFD+∠GDF＝∠GDE，则BC的长为 ．
【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝8，∠A＝∠ADC＝90°，由EF∥AB，得∠DEF＝∠A＝90°，△EFD∽△ABD，再证明∠DGE＝∠GDE＝45°，则GE＝DE，所以∠GCD＝∠GDC＝45°，则∠CGD＝90°，由CD＝GD＝8，求得GD＝4，由GD＝GE＝4，求得GE＝DE＝4，进而求得EF＝5，由相似三角形的性质得＝＝，则BC＝DA＝DE＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠A＝90°，△EFD∽△ABD，
∵∠GFD+∠GDF＝∠GDE，∠DGE＝∠GFD+∠GDF，
∴∠DGE＝∠GDE＝45°，
∴GE＝DE，
∴∠GDC＝∠ADC﹣∠GDE＝90°﹣45°＝45°，
∵GC＝GD，
∴∠GCD＝∠GDC＝45°，
∴∠CGD＝90°，
∴CD＝＝＝GD＝8，
∴GD＝4，
∵GD＝＝＝GE＝4，
∴GE＝DE＝4，
∵EF﹣DE＝1，
∴EF＝DE+1＝4+1＝5，
∵＝＝，
∴BC＝DA＝DE＝×4＝，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）解不等式组．
【分析】先解不等式组，求出各不等式的解集，得到不等式组的解集，从而求出不等式组的整数解．
【解答】解：，
由①得，x≤2；
由②得，x＞﹣1；
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
可得不等式组的整数解为0，1，2．
15．（5分）解方程．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+2（x﹣3）＝﹣3，
整理得：3x﹣6＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3＝﹣2≠0，
故原分式方程的解为x＝1．
16．（5分）计算：．
【分析】先化简，然后去括号，再算加减法即可．
【解答】解：
＝
＝
＝1．
17．（5分）如图，已知△ABC，点A在射线CD上，利用尺规在BC上求作点P，使得∠PAC＝∠PAD．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】过点A作CD的垂线即可得∠PAC＝∠PAD．
【解答】解：如图，点P即为所求．
18．（5分）如图，在△ABC中，过点B作直线l，点D、E在直线l上，且在点B的两侧，连接AD、CE，AD∥CE，AD＝BE，∠DAB＝∠EBC．求证：∠ACB＝∠CAB．
【分析】由AD∥CE，得∠ADB＝∠BEC，而AD＝BE，∠DAB＝∠EBC，即可根据“ASA“证明△ADB≌△BEC，得AB＝BC，所以∠ACB＝∠CAB．
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠ADB＝∠BEC，
在△ADB和△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（ASA），
∴AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB．
19．（5分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠（huō）子耧（lóu）六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（已知一个耠子有一条腿，一个耧有两条腿）
【分析】设粉子有x个，则耧有 （63﹣x） 个，根据题意列出一元一次方程即可解决问题．
【解答】解：设粉子有x个，则耧有 （63﹣x） 个，
根据题意可得 x+2（63﹣x）＝100，
解得 x＝26，
63﹣x＝63﹣26＝37，
答：有26个粘子，37个楼．
20．（5分）大熊猫被誉为“活化石”和“中国国宝”，属中国国家一级保护动物．大熊猫的主要栖息地是中国四川、陕西和甘肃的山区，它们生性孤僻，常分散独栖于茂密的竹丛中，故得雅号“竹林隐士”．菲菲非常喜爱大熊猫，她购买了四张分别印有大熊猫A．七仔、B．萌兰、C．花花、D．秦韵图案的海报，这四张海报除正面图案不同外其他均相同，她将四张海报背面朝上洗匀，从中随机抽取一张贴在她的卧室里，再从剩下的三张中随机抽取一张贴在她家客厅里，剩下的两张她打算送给好朋友．
（1）菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求菲菲家里贴有七仔海报的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出菲菲家里贴有七仔海报的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）菲菲在卧室里贴的是萌兰海报的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，菲菲家里贴有七仔海报的结果数为6种，
菲菲家里贴有七仔海报的概率＝＝．
21．（6分）2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素．部分灯组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如图①）．张敏和赵雷两人去城墙灯会游览，看到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告．
请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度AB．
【分析】证明△ABE∽△CDE，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABD 中，，
∴．
∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即 ，
∴，
∴AB＝18．
∴龙灯最高点到地面的高度AB为18米．
22．（7分）近日，贵州山火牵动人心．王叔叔计划购买一些食品全部捐赠给受灾地区，他了解到每箱食品的价格是50元，经过商议商家给出优惠方案：若一次性购买食品不超过20箱，每箱打七折，超过20箱，则超过部分每箱在打七折的基础上再降5元．
（1）设王叔叔购买食品x箱，所需总费用为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
（2）王叔叔购买食品共花费1900元，请问王叔叔给受灾地区捐赠了多少箱食品？
【分析】（1）分两种情况，列出函数关系式；
（2）求出捐赠食品大于20箱，由30x+100＝1900可解得答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y＝50×0.7x＝35x；
当 x＞20时，y＝35×20+（35﹣5）（x﹣20）＝30x+100；
∴y与x之间的函数关系式是y＝；
（2）∵35×20＝700＜1900，
∴捐赠食品大于20箱；
根据题意得：30x+100＝1900，
解得 x＝60，
∴王叔叔给受灾地区捐赠了60箱食品．
23．（7分）2024年春晚西安分会场上《山河诗长安》让人眼前一亮．通过增强现实（AR）技术，让李白跨越时空、乘鹤而来、饮酒对诗、观今日西安，并以此刻画出中国文化极致的浪漫与温情．某区开展“山河诗长安，唐诗诵经典”活动，参加者限时背诵唐诗，活动中统计了每人背诵唐诗的数量（单位：首）．现场有少年组和青年组，两组各有100人参加．
【信息处理】为了解两组背诵的情况，从少年组和青年组各随机抽取20人，将他们背诵唐诗的数量整理如下：
少年组20人背诵唐诗的数量
【数据分析】
【问题解决】
（1）请补全条形统计图，并填空：数据分析的表格中a＝ 5.2 ，b＝ 5 ；
（2）琳琳参加了活动，且她背了5首唐诗，琳琳背诵唐诗的数量在她所在的组处于中下游，则琳琳属于 少年 组；（填“少年”或“青年”）
（3）背诵唐诗不少于7首的人会获得一把折扇，请估计两组获得折扇的总人数．
【分析】（1）根据总人数为20人，可求出背诵6首唐诗的人数，作图即可；再根据平均数和众数的含义，即可解答．
（2）根据题意可知，将琳琳背诵唐诗的数量与两组的平均数对比，找到琳琳背诵唐诗的数量略小于平均数的组别，即可作答．
（3）求出少年组和青年组背诵唐诗不少于7首的所占的百分比即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可知背诵6首唐诗的人数为：20﹣2﹣4﹣5﹣1﹣1＝7（人），
据此补全条形统计图如图：
；
平均数a＝（2×3+4×4+5×5+7×6+7+8）÷20＝5.2；
在少年组背诵5首唐诗的人数最多，故众数b＝5．
（2）5＜5.5，属于中下游；
5＝5，属于中游；
所以，琳琳属于少年组．
（3）100×（+）
＝100×
＝35（人），
答：两组获得折扇的总人数约有35人．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点H，延长CD到点E，连接AE交⊙O于点F，连接AC、BC、FC，∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）若AC＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质及等量代换求出∠BCD+∠B＝90°，根据三角形内角和定理求出∠CHB＝90°，根据垂直的定义即可得解；
（2）根据垂径定理及圆周角定理求出∠AFC＝∠ACE，进而推出△CAF∽△EAC，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CHB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠AFC＝∠ACE．
∵∠FAC＝∠CAE，
∴△CAF∽△EAC，
∴，
即，
∴AE＝9．
25．（8分）晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试．
【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点．
【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形．
【素材2】第一次试飞起始高度为0m（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离OA为16m，以点O为原点，OA为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为．
【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度OE为2m（点E在y轴上），飞行的线路抛物线C′可由抛物线C向上平移得到，…
【任务解决】
（1）求抛物线C′的函数表达式；
（2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过1m，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确．
【分析】（1）把点O（0，0），A（16，0）代入 建立方程组，解出b和c即可；
（2）令y＝0，得，解得 ， 即可解答．
【解答】解：（1）把点O（0，0），A（16，0）代入 得，
，
解得，
∴抛物线C的函数表达式为 ，
由题可得，抛物线C′是由抛物线C向上平移2个单位得到，
∴抛物线C′的函数表达式为 ；
（2），解得 （舍去），
∵，
∴晓飞的猜测正确．
26．（10分）（1）如图①，在▱ABCD中，CD＝5，连接AC，点E是BC延长线上一点，连接AE，∠E＝∠CAE，AE⊥CD，若AE＝12，求AC+AD的值；
（2）如图②，四边形ABCD是一个劳动教育基地，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝120m，连接AC，半圆O是一个半径为16m的半圆形储水池，半圆O与BC切于点M，点M是进水口，BM＝40m．现计划改造出一个△MPQ区域用来养殖水产．要求，点P在AC上，点Q在△ACD内（△ACD足够大），PQ∥CD，PQ＝16m，为安全起见，要沿△MPQ三边修建围栏，所修建的围栏总长是否存在最小值，若存在，请求出MP+PQ+MQ的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先说明∠BAE＝90°，再说明AC＝EC，从而得出AC+AD＝CE+BC＝BE，最后根据勾股定理即可得出答案；
（2）过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，连接OQ，说明四边形ABCE是正方形，从而∠ACB＝∠ACD＝45°，进而得出OM⊥BC，OM∥CD，再说明四边形OMPQ是平行四边形，从而得出MP＝OQ，则MP+PQ+MQ＝OQ+16+MQ，所以求MP+PQ+MQ 的最小值，即为求OQ+MQ的最小值，延长MO交AC于点G，交l于点T，连接TR，得出四边形TGPQ是平行四边形，在 Rt△GMC中，∠MCG＝∠MGC＝45°，MG＝MC＝BC﹣BM＝80，∠GTH＝∠MGC＝45°，MT＝MG+GT＝96，又由于l垂直平分OR，可知∠OTR＝2∠GTH＝90°，TR＝TO＝MT﹣OM＝80，从而的处于，答案即为所求．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝5，AB∥CD，
又∵AE⊥CD，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∵∠E＝∠CAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AC＝EC，
又∴AD＝BC，
∴AC+AD＝CE+BC，
∵CE+BC＝BE，
∴AC+AD＝BE，
在Rt△ABE 中，
∵，
∴AC+AD的值为13．
（2）过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，连接OQ，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB∥CD，
∵AB＝BC＝120，
∴四边形ABCE是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
又∵半圆O与BC切于点M，
∴OM⊥BC，
∴OM∥CD，
∵PQ∥CD，
∴OM∥PQ，
∵OM＝PQ＝16，
∴四边形OMPQ是平行四边形，
∴MP＝OQ，
∴MP+PQ+MQ＝OQ+16+MQ，
∴求MP+PQ+MQ的最小值就是求OQ+MQ的最小值，
过点Q作AC的平行线l，直线l在△ACD内的部分为Q的轨迹，过点O作OH⊥l于点H，延长OH到R，使得HR＝OH，连接QR，MR，可得l垂直平分OR，
∴OQ＝RQ，
∴OQ+MQ＝RQ+MQ，
∴当R、Q、M三点共线时，RQ+MQ取得最小值，即MP+PQ+MQ取得最小值，
延长MO交AC于点G，交l于点T，连接TR，
∵MT∥PQ∥CD，TQ∥AC，
∴四边形TGPQ是平行四边形，
∴TG＝PQ＝16，
在Rt△GMC中，∠MCG＝∠MGC＝45°，
∴MG＝MC＝BC﹣BM＝80，∠GTH＝∠MGC＝45°，
∴MT＝MG+GT＝96，
∵l垂直平分OR，
∴∠OTR＝2∠GTH＝90°，TR＝TO＝MT﹣OM＝80，
∴．
∴所修建的围栏总长存在最小值，MP+PQ+MQ 的最小值为 ．
活动报告
课题
测量龙灯最高点到地面的高度AB
目的
运用相似三角形与三角函数解决实际问题
工具
标杆、皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及示意图

如图②，张敏在D处用测角仪测得龙灯最高点A的仰角∠ADB为31°，赵雷在D处竖立高3米的标杆CD，利用激光笔测得地面上的点E、点A和点C在一条直线上，DE＝6米．
说明
AB⊥BE，CD⊥BE，点B、D、E在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86tan31°≈0.60，测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计．
安全
测量过程中注意自己及他人的安全．
数量（首）
3
4
5
6
7
8
人数
1
3
6
5
3
2
平均数
中位数
众数
少年组
5.6
5.5
b
青年组
a
5
6
活动报告
课题
测量龙灯最高点到地面的高度AB
目的
运用相似三角形与三角函数解决实际问题
工具
标杆、皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及示意图

如图②，张敏在D处用测角仪测得龙灯最高点A的仰角∠ADB为31°，赵雷在D处竖立高3米的标杆CD，利用激光笔测得地面上的点E、点A和点C在一条直线上，DE＝6米．
说明
AB⊥BE，CD⊥BE，点B、D、E在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86tan31°≈0.60，测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计．
安全
测量过程中注意自己及他人的安全．
数量（首）
3
4
5
6
7
8
人数
1
3
6
5
3
2
平均数
中位数
众数
少年组
5.6
5.5
b
青年组
a
5
6