陕西省2024届高三二轮复习联考（一）理科数学试题（全国卷）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．2
2．若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．4
3．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若实数，满足约束条件则目标函数的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．某校对全校的1000名学生的秋季体测得分情况进行了统计，把得分数据按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息（同组数据取中间值），可知下列说法正确的是（ ）
A．众数为76
B．
C．平均成绩为72分
D．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体测成绩不小于70分的概率为0.6
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，则（ ）
A．2024B．2023C．4047D．4048
9．，有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，则下列选项错误的是（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．
11．已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
12．已知，且时，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．若，为常函数，则在区间内仅有1个根
D．若，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知若，则______．
14．的展开式中，的系数为______．
15．已知为双曲线上一点，点（为半焦距）为的渐近线上一点，若轴，，则的离心率为______．
16．在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）每年冬季是甲流等呼吸道传播疾病爆发的时节，某医院的呼吸道内科随机抽查了近一个月来医院验血的A，B型血型病人共200人，得到如下数据：
（1）以频率为概率，根据上表，分别估计A型血中患甲流和B型血中不患甲流的概率；
（2）能否有的把握认为血型与是否患甲流有关系？
附：，其中．
18．（12分）在中，角所对的边分别为且，．
（1）证明：；
（2）若，，求的值．
19．（12分）在棱锥中，平面，四边形为平行四边形．，，，．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆的上顶点为，且经过点．
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于，两点，判断的形状并给出证明．
21．（12分）证明下列两个不等式：
（1）；
（2）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的一点到曲线上一动点距离的范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
（1）解不等式：；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
2024届高三二轮复习联考（一） 全国卷
理科数学参考答案及评分意见
1．A 【解析】由题意可得，所以，共两个元素，所以其子集的个数为，故选A．
2．B 【解析】设，则，解得，，故，则，故选B．
3．A 【解析】因为，，所以，，故选A．
4．C 【解析】根据题意，作出其可行域如图中阴影部分，由，得，作出直线，并平移该直线，发现当该直线经过点时，在轴上截距最小，此时取得最大值．由得所以，所以．故选C．
5．B 【解析】由题意知人数最多的在组，则众数为75，A错误；由，得；B对，，C错；从该校学生中任选一人，成绩不小于70分的概率．D错．故选B．
6．B 【解析】由，可得．又，所以，所以，故选B．
7．A 【解析】圆是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到直线的距离为，解得或，故选A．
8．C 【解析】由题意可得，当时，；当时，，两式相减得，即．综上所述，所以，故选C．
9．C 【解析】由题意可转化为在上恒成立，令，，则．令，得，当时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，则，故选C．
10．C 【解析】，解得，A正确；，对称轴为，代入得，即成立，则B正确；，，所以C错，D对．故选C．
11．C 【解析】由题意可得，所以，设直线，，．联立，，解得，，，，A正确；，B正确；时，由，得，则，或，，，故C错；，得，，，故D正确．故选C．
12．D 【解析】由，得，A错误．，，，又，且，，B错误．，则，，则，，则，得，则，令，则恒成立，得，，，即在区间内无实根，C错；，令，得，令，，则，令，得或，，，成立．D正确．故选D．
13．3或 【解析】当时，，解得；当时，，解得．
14．28 【解析】展开式的通项公式为，，得，可得的系数为．
15． 【解析】设，由轴，可得，，又，，又，，整理可得，的离心率．
16． 【解析】分如下三种情况，①如图1，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面；②如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面；③如图3，延长交于点，连接，则三角形为所求截面．
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可．在①中，易知，，设，则，，所以所求截面面积，易知函数在上单调递增，故，故截面面积的最大值为．
17．解：（1）由题表中数据可知，A型血中患甲流的概率为，
B型血中不患甲流的概率为．
（2），
因为，
所以没有99%的把握认为血型与是否患甲流有关系．
18．（1）证明：等式两边同除以，可得，
由余弦定理得，
整理得到．
（2）解：，，又因为，所以，，
在中，由余弦定理得，即．
由得，
解得（负值舍去）．
19．解：（1）平面，
．
在中，，
在中，，
，
，
．
（2）由（1）知、、两两互相垂直．
以为原点，、、所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，分别为平面与平面的法向量，
则得令，得，所以为平面的一个法向量．
得令，得，所以为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值为．
20．解：（1）由题意知，所以椭圆方程为，
代入点，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）为直角三角形，证明如下：
设直线，，，
联立并消去得．易知．
则
又因为，，
，
所以，故为直角三角形．
21．（1）证明：令，易得其定义域为，
．
令，得，此时函数单调递增，
令，得，此时函数单调递减，
所以，故原不等式得证．
（2）证明：令，
则．
当时，．
当时，令，则，
因为，，所以，即单调递减．
又，，
所以存在，使．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
即可得．
因为，所以，
即，由（1）可知．
因为，所以，且在上单调递减，
所以，同时，可得．
因为，所以．
又因为，所以．
22．解：（1）由题意可得曲线的普通方程为．
对于，等式两边同乘可得，
将，代入可得曲线的直角坐标方程为．
（2）的标准方程为，可知的圆心为，半径，
则点到的距离为，
故上的一点到曲线上一动点距离的范围为．
23．解：（1）不等式可转化为：
或或
整理得：或或
所以不等式的解集为．
（2）由绝对值三角不等式得，
若对任意恒成立，即恒成立，
从而解得或，所以的取值范围为．患甲流
未患甲流
A型血
65
35
B型血
75
25
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828