陕西省安康中学、高新中学大联考2024届高三模拟数学试题试题（理科）

这是一份陕西省安康中学、高新中学大联考2024届高三模拟数学试题试题（理科），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列满足，其前项积为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．2023年9月20日至24日，世界制造业大会在合肥市滨湖国际会展中心隆重举办，本次大会以“智造世界·创造美好”为主题，设置了8万平方米展览区．9月21日上午，甲、乙、丙、丁四人相约随机参观三个展区，每个展区至少有1人，每人只参观一个展区．设事件表示“甲与乙不到同一展区”，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同的点，且，则（ ）
A．B．C．D．3
9．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，则（ ）
A．该截面是四边形B．平面
C．平面平面D．该截面与棱的交点是棱的一个三等分点
11．已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（ ）
①；
②；
③函数在上单调递增；
④不等式的解集为．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中，不含字母的项为____________．
14．已知实数满足，则的最大值为____________．
15．1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“=”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈利奥特开始采用符号“>”与“<”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，
，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是____________．
16．在中，内角所对的边分别为，若，则的最大值为____________．
三、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题12分）
已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前10项和．
18．（本小题12分）
2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统计了连续8天的客流量（单位：百人），如下表：
（1）由表中数据，知可用线性回归模型拟合与之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01）
（2）求关于的线性回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测1月9日的客流量．（预测结果精确到0.1）
参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的解小二经的计公式分现为．
参考数据：，．
19．（本小题12分）
如图（1），在平面五边形中，，
将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且．
图（1） 图（2）
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值．
21．（本小题12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若函数有唯一零点，函数（其中为自然对数的底数）在上有零点，试比较与的大小，并说明理由．
22．（本小题12分）
在直角坐标系中，直线过点，且其倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；
（2）当时，直线与曲线交于两点（点在点的上方），求的值．
23．（本小题12分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若且，求证：．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：集合，
，
．
故选：C．
先求出集合，再利用交集运算求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】解：由题意，，
则复数的共轭复数．
故选：A．
化简复数，可得其共轭复数．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：设向量夹角为，
，
则，即，解得．
故选：A．
根据已知条件，将两边同时平方，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为，
由，得，解得，
又，得，解得，
所以．
故选：C．
设等比数列的公比为，由可求出值，进一步根据可求出，最后利用进行求解即可．
本题主要考查等比数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意，当时，，易得在上递增，
若函数是上的单调函数，
则当时，，一定在上递增，必有，
同时，有，
解可得，即的取值范围为．
故选：B．
根据题意，分析在上的单调性，由函数单调性的定义可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查函数的单调性，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：如图，设圆锥的母线长为，
由圆锥的侧面积公式，得，
解得，所以圆锥的高为，
设圆锥的外接球半径为，则在中，由勾股定理，，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积为．
故选：D．
设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得和圆锥的高，设圆锥的外接球半径为，
在中，利用勾股定理求得，即可求解．
本题考查了圆锥外接球的表面积计算，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：甲、乙、丙、丁四人相约随机参观三个展区，每个展区至少有1人，每人只参观一个展区．
根据题意，总情况为种，其中甲与乙到同一展区，共种，
设事件表示“甲与乙不到同一展区”，则．
故选：A．
根据总体剔除法与古典概型概率公式计算即可．
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
8．【答案】A
【解析】解：已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，
则，
即抛物线的方程为，
又点是抛物线上两个不同的点，且，则，
即，
即
即，
则．
故选：A．
由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了拋物线的定义，属中档题．
9．【答案】C
【解析】解：函数，
由，得，
要使函数在上有且仅有两个零点，
则，得，
即的取值范围是．
故选：C．
利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数的取值范围．
本题考查三角函数的图象与性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：对A：如图，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于点，
连接，分别与棱交于点，得到截面是五边形，故A错误；
对B：因为面面，故；
又面，
故面，
又面，故；
假设，又面，
故面，
又面，显然过一点作一个平面的垂直只能有一条，假设不成立，即与不垂直；
又平面，所以与平面不垂直，故错误；
对C：面面，
故，又，
面，
故面，又面，
故，同理可得，
又面，
故平面，又与平面不垂直，
所以平面与平面不平行，故C错误；
对D：易知，所以，
所以截面与棱的交点是棱的一个三等分点，故D正确．
故选：D．
对A：延拓平面，即可求得截面，从而判断的真假；对：证明与不垂直，即可证明，判断出的真假；对：由与平面不垂直，即可判断两平面位置关系，判断出的真假；对：根据三角形相似，即可证明结论，判断出的真假．
本题考查直线与平面垂直的证法及平面与平面平行的证法，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
联立方程和，
解得和，
不妨设，
则，
点到直线的距离，
设内切圆的半径为，
则有，
即，
解得．
故选：C．
求出渐近线方程，与直线联立，求出点的坐标，求出的三边长，及点到直线的距离，利用等面积法即可求解内切圆的半径．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：因为函数的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，即函数是奇函数，
因为，
所以的图象关于直线对称，
，所以是以4为周期的周期函数，故①正确；
因为对任意的，均有，
所以不妨设，则，
所以，即函数在上单调递增，
，
，故②正确；
因为函数是上的奇函数，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，上单调递增，故③错误；
由，所以，
因为函数是以4为周期的周期函数，所以不等式的解集为，故④正确．
故选：C．
根据题意可知函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，逐一判断选项即可．
本题考查函数性质的综合应用，属难题．
13．【答案】
【解析】解：的展开式中，不含字母的项为．
故答案为：．
利用二项式定理，可得的展开式中，不含字母的项．
本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．
14．【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故答案为：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
15．【答案】
【解析】解：由题意，知，即．
因为，所以，
所以在上有解，
只需．
设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，所以．
故答案为：．
分离参数得，设，利用导数求出的最小值即可得答案．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于中档题．
16．【答案】
【解析】解：中，，
所以，
所以，
即，
因为，
所以，
由为三角形内角可知，，
由余弦定理可得，，
令，则，
所以，
整理得，，
故，
解得，
所以的最大值为．
故答案为：．
由已知结合正弦定理，和差角公式先求出，然后结合余弦定理及二次方程根的存在条件即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及二次方程根的存在条件的应用，属于中档题．
17．【答案】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
．
（2）由（1）可得，，
则
，
数列的前10项和为：
．
【解析】（1）先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式并进行转化，最后运用裂项相消法即可计算出数列的前10项和．
本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18．【答案】解：（1）由题意知，，
所以相关系数，
因为相关系数，接近于1，
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与之间的关系；
（2）因为，
所以，
所以与的线性回归方程为，
又1月9日对应的日期代码，
当时，，
所以预测1月9日的客流量约为51.3百人．
【解析】（1）先计算相关系数，再根据近似值判断说明即可；
（2）先根据公式计算的值，得到回归方程，再根据回归直线预测即可．
本题主要考查了求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，属于中档题．
19．【答案】（1）证明：，，且，可得，，，
图（1） 图（2）
所以，①
所以，
在中，，
所以，
所以平面，
所以，②
又，③
由①②③可得平面，
平面，
所以平面平面；
（2）解：过作交于，
由①可得两两相互垂直，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，
即，
则，
所以．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】（1）由题意及向量的关系可得的长度，可得，可得，再由勾股定理可得，进而可证得平面，进而可证得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而可得所求的线面所成角的正弦值．
本题考查平面与平面垂直的证法及空间向量的方法求线面所成的角的正弦值的方法，属于中档题．
20．【答案】解：（1）由题意可得，可得，
，或，
所以椭圆的方程为：或；
（2）由以线段为直径的圆与椭圆无公共点，得，
所以椭圆的标准方程为：，
因为，所以点在椭圆外，
设，
当直线的斜率存在时，，
由，可得，解得，（*）
设直线，
联立，整理可得：，
由，
整理可得：，解得或，
且，
代入整理可得，
代入直线的方程，得，
可得，
当直线的斜率不存在时，，则，
由，得，也满足方程，
所以点在直线（在椭圆内部）上，
设点关于直线的对称点为，
则解得，
所以，
此时点在椭圆内，符合题意，
所以的最小值为．
【解析】（1）由题意可得的值及的值，即求出椭圆的方程；
（2）由线段为直径的圆与椭圆无公共点，可得，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，设点的坐标，由，可得点的横纵坐标的关系，由，可得的最小值．
本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，点的轨迹方程的求法，两个线段的和的最小值的求法，属于中档题．
21．【答案】解：（1）时，，
则，
故曲线在点处的切线方程为，即；
（2），
则时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
若函数有唯一零点，则，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递减，
故，
所以，
又，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又，
所以．
【解析】（1）把代入函数解析式，对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，，构造函数，结合导数及函数性质可得的范围，再令，结合导数分析的单调性，利用不等式放缩即可求解．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于难题．
22．【答案】解：（1）直线过点，且其倾斜角为，故直线的参数方程为，（为参数）；
曲线的极坐标方程为，根据，
转换为直角坐标方程为．
（2）当时，参数方程整理为（为参数），代入，得到；
故（和为和对应的参数），
解得，
所以．
【解析】（1）直接利用转换关系，在直角坐标方程和参数方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
23．【答案】解：（1），
或，
由可得，解得或；
由可得，解得，
故不等式的解集为；
（2）证明：由题意得，
当时，，
在上单调递减，即；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在无最小值，但；
当时，，
在上单调递增，则，
综上所述，当时，函数取得最小值2，即，
，
又，
则，当且仅当时等号成立，
故．
【解析】（1）分类讨论，求解即可得出答案；
（2）分类讨论的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定的值，利用基本不等式，即可证明结论．
本题考查不等式的证明和绝对值不等式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．日期
12月31日
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
1月5日
1月6日
1月7日
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
客流量y
16.6
18.8
22
24.9
28.6
33.1
38.9
46.3