2023届北京新高考复习 专题1 三角函数与解三角形解答题30题专项提分计划解析版

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1．（2022·北京丰台·统考一模）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
(1)
选择条件①②：
由条件①及已知得，
所以．
由条件②得，
所以，即．
解得．
因为，
所以，
所以．
经检验符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．
由条件③得，
解得．
因为，
所以．
所以．
(2)
由题意得，
化简得．
因为，
所以，
所以当，即时，的最大值为．
2．（2022·北京门头沟·统考一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数的图象经过点；
条件②：是的对称中心；
条件③：是的对称中心.
(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到和，
再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；
（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.
(1)
因为在区间上单调，所以，
因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，
所以；
若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，
因为，所以， 所以，即，
当时，，满足题意，故.
若选条件②：因为是的对称中心，所以，
所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.
若条件③：因为是的对称中心，所以，
所以，解得，所以.
(2)
由（1）知，，
所以等价于，，
所以，所以，
即函数的值域为：.
3．（2022·北京海淀·北航实验学校校考模拟预测）在中，，．
(1)求的大小：
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再直接利用余弦定理计算可得；
（2）若选①直接代入，得到方程无解，故舍去；
若选②由正弦定理求出，再代入，即可求出，最后根据面积公式计算可得；
若选③由锐角三角函数求出，再代入，求出有两解，故舍去；
(1)
解：因为，，所以，所以，
由余弦定理知，
因为，所以．
(2)
解：若选①，则，即，因为，所以方程无解，不符合题意；
若选②，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得或（舍去）
所以；
若选③边上的高；在中，所以，即，所以，即，解得或，所以存在两解，不符合题意；
4．（2022·北京平谷·统考模拟预测）在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选①：不唯一；选②：；选③：
【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可得解；
（2）选①，余弦定理知，知c有两个，不符合题意；
选②，由正弦定理知，再利用结合面积公式即可得解；
选③：由已知得，再结合余弦定理及面积公式求解.
(1)
利用余弦定理结合，
得，即，
因为，所以；
(2)
选择条件①：
因为，，，由余弦弦定理知，
即，解得或都符合三角形的性质，
故此时满足条件的有两个，不符合题意.
选择条件②：
因为，所以
因为，由正弦定理
又
所以的面积
选择条件③：
因为的周长为，，即①
又，即②
由①②解方程组
所以的面积.
5．（2022·北京·统考模拟预测）在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)的值；
(2)和面积的值．
条件①: ；条件②:.
【答案】(1)选①： ；选②：0
(2)选①： ；选②：
【分析】（1）根据条件可求出或，若选①，可推出，从而确定求得答案；若选②，可推出 且，说明A为最大角，由此求得答案，
（2）根据（1）的结果，再利用正弦定理以及三角形面积公式可求得结果；
（1）
若选①：
在中，,
即，而 ，故 或，
则或，
因为，故 ,
所以；
若选② ：在中，,
即，而 ，故 或，
则或，
由得： 且 ，故A为最大角，
故 ,
所以；
（2）
若选①：
由正弦定理得： ,则 ,
由知： ， ，
故 ,则 ，
所以 ， ；
若选②：，由正弦定理得： ,
故 ,而 ,故 ,
所以 , .
6．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）已知数（，）的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个：条件①：的图象关于点对称；条件②：的图象关于直线对称.
(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；
(2)当时，若（1）中所求函数的值域为，求出m的一个合适数值.
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
【分析】先由函数的周期求出的值，
（1）若选①，则由，求出，若选②，则，从而可求出，
（2）由，得，再由的值域为，可得，从而可求出的范围
(1)
因为（，）的最小正周期为，
所以，得，
所以，
若选①，因为的图象关于点对称，则，
所以，所以，得，
因为，所以，
所以，
若选②，因为的图象关于直线对称，
所以，即，
所以，得，
因为，所以，
所以
(2)
因为，所以，
因为当，函数的值域为，
所以，得，
所以，
所以的一个值可以为（答案不唯一）
7．（2022·北京石景山·统考一模）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数的最大值为2；
②函数的图象可由的图象平移得到；
③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的最大值．
【答案】(1)满足①③，
(2)
【分析】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解
（2）先求出的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值
(1)
（1）分析条件知①②矛盾，②③矛盾，故满足的条件为①③，
由③知，则
故
(2)
，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立
又，故面积最大值为
8．（2022·北京朝阳·统考一模）在中，.
(1)求；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用正弦定理可得，进而可得，即得；
（2）选①②利用正弦定理可得，又利用诱导公式及和差角公式可得，可得不存在；选①③利用余弦定理及面积公式即得；选②③利用正弦定理可得，再利用面积公式即求.
（1）
∵，
∴，又，
∴，即，又，
∴；
（2）
选①②，由，，，
∴，，，
又，
∴不存在；
选①③，，，
由余弦定理可得，，即，
∴，即，
∴的面积为；
选②③，∵，，，
∴，，
∴，
∴的面积为.
9．（2022·北京·校考三模）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：的值域是；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：的图象经过点；
条件④：的图象关于直线对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期可得；
（2）由①中确定，由③得出的关系式，由④可确定，条件②不能得出确定的值，在区间上单调递增，没有说就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：①③；①④；③④分别求解．
【详解】（1）因为，所以．
（2）（2）方案一：
选择①，③
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
又，所以．
所以的解析式为．
因为，
所以．
当，
即时，
取得最小值；
当，即时，
取得最大值．
方案二：
选择条件①，④
因为的值域是，
所以．
所以．
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，所以．
所以的解析式为．
以下同方案一．
方案三：
选择条件③，④
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
所以的解析式为．
以下同方案一．
10．（2022·北京东城·统考二模）在中，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值．
条件①：，边上中线的长为；
条件②：，的面积为6；
条件③：，边上的高的长为2．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用正弦定理及特殊角三角函数值即得；
（2）选①利用余弦定理可得不合题意，选②利用正弦定理，余弦定理及面积公式即求，选③利用和角公式及正弦定理即得.
(1)
∵，
∴，即，
又，故，
∴；
(2)
选①，设的中点为，在中，
由余弦定理可得，
∴，即，
解得或，
故有两组解，不合题意；
选②，由，的面积为6，
∴，
故，
由，
可得，
由，可得；
选③，∵，
∴，
∴，
又边上的高的长为2，
∴，
由，可得.
11．（2022·北京延庆·统考模拟预测）在中，，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：边上的中线；
条件③：的周长为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，得出关系，从而求得角；
（2）由（1）得，又，
选①，无解；
选②，利用余弦定理求出后可得三角形面积；
选③，由已知求得与的关系，然后由周长得三边长，从而得三角形面积．
(1)
因为，
由正弦定理可得．
所以，或．
因为，所以不满足题意舍去，
所以，所以．
所以．
(2)
选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解；
选条件②：因为边上的中线．
由（1）可知，，． 所以
由余弦定理可得 ．
解得 ．
所以．
选条件③：的周长为．
由（1）可知，，． 所以 ,
，
所以.
解得.
所以．
12．（2022·北京房山·统考二模）在中，.
(1)求；
(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.
条件①：；条件②：；条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可
（2）选①则不合题意；
选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可；
选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可
（1）
方法一：在中，因为，
所以由正弦定理可得.
因为，所以.
所以.
在中，，
所以，所以.
方法二：在中，因为，
由余弦定理
得，
整理得
所以，所以.
（2）
选条件②：由（1）知
因为在中，，所以
又，所以
所以
设边上高线的长为h，则
.
选条件③：
因为
所以，
由余弦定理得
所以.
设边上高线的长为h，则
13．（2022·北京昌平·统考二模）已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
(1)求的解析式；
(2)设，若在区间上的最大值为，求的最小值．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象经过点；
条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由最小正周期可得，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求，即可得解析式；
（2）由（1）及和差角正弦公式可得，根据区间最值及正弦函数性质求参数m的范围，即可得结果.
【详解】（1）由题意，可得，
选①②：由的最小值为，则，故.
又，即且，所以.
所以.
选①③：由的最小值为，则，故.
因为是的一条对称轴，则，，
所以，且，则.
所以.
选②③：因为是的一条对称轴，则，，
所以，且，则.
所以.
又，则.
所以.
（2），
上，的最大值为，则，可得，
所以的最小值为.
14．（2022·北京朝阳·统考二模）已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
(1)求的解析式及最小值；
(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】(1)选择①②：，的最小值为；选择①③：， 的最小值为；
(2)选择①②：的取值范围是；选择①③：的取值范围是.
【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，的取值有两个，舍去；
（2）根据零点即是函数图像与轴的交点横坐标，令求出横坐标，即可判断的取值范围.
（1）
由题可知，
．
选择①②：
因为，所以．
又因为，所以．
所以．
当，，即，时，.
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以．
所以．
当，，即，时，
，
所以函数的最小值为．
选择②③：
因为，所以，
因为函数的最大值为，所以
的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去.
（2）
选择①②：
令，
则，，
所以，．
当时，函数的零点为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
选择①③：
令，
则，，或，，
所以，，或，．
当时，函数的零点分别为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
15．（2022·北京海淀·101中学校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有下列四个条件：①；②；③；④.
(1)①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请从上述四个条件中选择三个使得有解，并求的面积.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由余弦定理化简①，由余弦函数的性质化简②，再由与矛盾，从而得出结论；
（2）由余弦定理得出，再由三角形面积公式得出面积.
(1)
对于①：因为，所以，
对于②：，由可得，
因为，所以，与矛盾
故①②两个条件不可以同时成立.
(2)
因为①②两个条件不可以同时成立，所以只能选①③④或②③④
选①③④时，因为，，
所以由可得，解得（舍）
故
选②③④时，因为，，
所以由可得
故
16．（2022·北京东城·统考三模）在中，.
(1)求；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长.
条件①：；条件②：；条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，进而根据余弦定理求解即可；
（2）结合（1）得选择条件②时，三角形不唯一，故再分别讨论选择条件①､条件③时的情况，并求解即可.
(1)
解：在中，因为，
由正弦定理，得.
设，
则.
因为，所以.
(2)
解：选择条件①：
由（1）知，且，
所以.
设D为的中点，.
在中，，
所以，即边上中线的长为.
选择条件②：由（1）知，即，故此时可用余弦定理计算得三个内角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件.
选择条件③：
因为的面积为，
所以.
所以.
由（1）知，
所以.
设D为的中点，.
在中，，
所以，即边上中线的长为.
17．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）在中，．
(1)求；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求的长．
条件①：；
条件②：；
条件③：的面积为．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)选条件②，的长为.
【分析】（1）利用三角形的内角和、诱导公式、二倍角的余弦公式对原始进行化简即可求解.
（2）对三个条件逐项分析，利用正弦定理、余弦定理求解边的长度，注意题干中有唯一解，条件①无解，条件③有多个解，只有用条件②，有唯一解.
(1)
解：因为，则，
故，又.
所以：.
(2)
解：选条件①：，即，
由余弦定理得，即，
整理得，，
故无解.
选条件②：，即，
则，由正弦定理得，即，解得，
所以，解得：，则.
又，
由正弦定理得，解得.
条件③：的面积为，
因为,且，故或.
故对于条件③，有2种可能，只要经过缩放就能使的面积为，故不唯一.
综上，选条件②，的长为.
18．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)；
(2)条件正确，(i)；(ii).
【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得，即可求得B；
(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可.
【详解】（1），
，
，
，得Z，
由，得；
（2）若条件①正确，由，得，
由余弦定理，得，即，
解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
(i)由，，
得，解得，
由余弦定理，得，
因为，所以，由正弦定理，
得，即；
(ii)由正弦定理，得，即，
因为平方，，所以，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
又，上述两式相除，得，
解得，所以.
19．（2022·北京·人大附中校考三模）在中，.
(1)求的值；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：条件②：；条件③：边上的中线长为.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）直接利用正弦定理求出；
（2）选条件①：.利用余弦定理得到，无解，即可判断这样的三角形不存在；
选条件②：.利用余弦定理求出（舍去），.这样的三角形存在并唯一.利用面积公式求出的面积；
选条件③：边上的中线长为.利用余弦定理求出.这样的三角形存在并唯一. 利用面积公式求出的面积.
(1)
在中，，由正弦定理得：.
(2)
选条件①：.
在中，，，所以，.
由余弦定理得：，
无解，所以这样的三角形不存在.
选条件②：.
在中，，，所以，.
由余弦定理得：，
解得：（舍去）.
所以，.这样的三角形存在并唯一.
所以的面积为.
即的面积为.
选条件③：边上的中线长为.
在中，.
由余弦定理得：，即，解得：（舍去）
在中，，.
由余弦定理得：，即，解得：，所以.这样的三角形存在并唯一.
此时所以的面积为.
即的面积为.
20．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)从以下条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积．
①若；②；③；④△ABC的周长为9．
【答案】(1)；
(2)选②④，面积为．
【解析】（1）
因为，由正弦定理得，
，
三角形中，所以，，所以；
（2）
因为，所以，因此条件③不能确定三角形；
若已知①②，则由正弦定理得，无解；
若已知①④，即，，则，与三角形的性质矛盾，三角形不存在．
所以只有条件②④能确定三角形．，，则，由（1），
，即，所以，
，，又，所以，从而，
为等边三角形，唯一确定，面积为．
21．（2022·北京丰台·北京市第十二中学校考三模）的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理得，再利用的范围可得答案；
（2）若选条件①②，由余弦定理解得，再利用的面积可得答案；
若选条件②③，利用平方关系得，由正弦定理解得，由余弦定理解得，再由可得答案；若选条件①③，利用平方关系得，再由两角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由可得答案；若选条件①④， 由可得答案；若选条件②④由余弦定理解得，则由可得答案；若选条件③④，利用平方关系得，再由两角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由可得答案.
（1）由和正弦定理得，因为，所以，所以，，因为，所以.
（2）若选条件①：；条件②：，由（1），由余弦定理得，解得，因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②：；条件③：；由（1），因为，，所以，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得，则的面积为；若选条件①：；条件③：；由（1），因为，，所以，所以，由正弦定理得，解得，则的面积为.若选条件①：； ④，由（1），则的面积为.若选条件②：；④，由（1），由余弦定理得，解得，则的面积为.若选条件③：；④，由（1），因为，，所以，所以，由正弦定理得，解得，则的面积为.
22．（2022·北京大兴·北京市大兴区兴华中学校考三模）在锐角△ABC中，已知.
(1)求；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得出，再由余弦定理得出；
（2）由得出，再由余弦定理结合锐角三角形的性质得出，最后由三角形面积公式求解即可.
(1)
由余弦定理可得，整理得
所以
(2)
因为，，所以由可得
解得
当时，，此时为钝角，故（舍）
当时，，满足题意，故
所以
23．（2022·北京·北京育才学校校考模拟预测）在中，，______，______，求和的值.
从以下三个条件中选两个，补充在上面的问题中使得三角形存在，并回答问题.
条件①；条件②；③.
【答案】答案见解析.
【分析】先由条件求出的值；若选①②根据得出，再由条件①可分析不满足条件；由条件③可求出的值，从而得出角，若选②③先求出再由正弦定理，和面积公式得出答案; 若选①③,先求出，再由正弦定理，和面积公式得出答案.
【详解】由，则
若选①②
由 ，则，解得
由，则，与相矛盾，故满足条件的三角形不存在.
由③，则，则
所以,
若选②③
则由条件②，则
由正弦定理,得
即，则
由正弦定理可得,所以
若选①③
由上可得，又由，则
由正弦定理可得, 则
24．（2022·北京·北大附中校考三模）如图，在平面四边形中，的面积
(1)求的长；
(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中任选两个作为已知，判断是否可能成立，并说明理由.
条件①：；条件②：；条件③：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由面积公式先求出的长，进而根据余弦定理求出的长.
（2）由题设，可以随意选择两个条件，去判断与是否可能相等.但是优先选择哪两个条件思维逻辑最清晰､解题过程最简洁是同学们应该思考的.由第一问可知，是唯一确定的三角形，都是可求的，而要判断与是否可能相等，可转化为判断它们的某一个三角函数值是否相等，因此首选条件②和条件③，此时中的三条边长都知道，容易计算余弦值.如果看到条件①，正好满足，能够想到四点共圆，那么圆周角相等则对应的弦长相等，因此选条件①和条件②也非常简单.最麻烦的是选择条件①和条件③，因为此时中知道的条件是边边角，不一定唯一确定，需要讨论.
（1）
因为，所以在中，由，
得.
由余弦定理，
得，所以.
（2）
选择条件②：和条件③：，
在中由余弦定理可得，
在中由余弦定理可得，
因为，
所以；
选择条件①：和条件②：，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
所以，若，则，
与矛盾，
所以；
选择条件①：和条件③：，
在中由余弦定理可得.
在中，由余弦定理，
可得，
所以或.
当时，在中，由余弦定理可得
，
因为，且，
所以.
当时，在中，由余弦定理可得
，
因为，
所以.
所以选择条件①和条件③时，当时，成立；当时，.
25．（2022·北京·北京市第五中学校考三模）在 中，，且 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题:
(1)求边 ;
(2)求 .
条件① ; 条件②;
条件③; 条件④.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】(1)选①②③，由②结合同角关系可求,由③可求，选②③④，由②结合同角关系可求,由③可求，选①②④，由④结合同角关系可求,根据正弦定理可求；选①③④，由余弦定理可将条件化为边的关系，解方程可求；(2) 选①②③，由条件先求,利用三角形面积公式可求的面积，选②③④，由正弦定理求，利用三角形面积公式可求的面积，选①②④，由条件①求,利用三角形面积公式可求的面积，选①③④，由条件①求,利用三角形面积公式可求的面积.
（1）
选①②③，因为，，
所以，，
选②③④，因为，，
所以，，
选①②④，因为可得，
由正弦定理可得，所以，
所以，又，所以，
选①③④，因为，又
所以，又，
所以，又，
所以
（2）
选①②③，由(1) ，又，所以，
所以，
选②③④，由可得，
由正弦定理可得，又，，
所以，
所以，
选①②④，由(1)，因为，
所以，
所以，
选①③④，由(1) ，因为，所以，
所以，，
所以，
26．（2022·北京·北京市第十二中学校考三模）的内角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.
【答案】(1)
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）选①②，利用余弦定理可判断不唯一；
选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断的面积；
选①④，直接判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积；
选②④，利用余弦定理可判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
(1)
解：由及正弦定理可得，
、，则，，，故.
(2)
解：若选①②，由余弦定理可得，即，
解得，此时，不唯一；
若选①③，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，
所以，；
若选①④，已知，，，此时唯一，；
若选②③，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，
所以，；
若选②④，已知，，，
由余弦定理可得，可得，
，解得，此时，唯一，；
若选③④，已知，，，
且，则，所以，，则唯一，
，，
由正弦定理可得，.
27．（2022·北京西城·统考一模）在中，角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1).
(2)条件①：；条件③：.
【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.
（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.
【详解】（1）在中因为，
由正弦定理得，
所以，即，
又因为，，所以，.
（2）设边上的高为，
条件①：因为，所以 ，，
所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定.
所以，
则，解得，即边上的高为.
条件②：由余弦定理得，即，
解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.
条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，
由余弦定理得，即，解得，
则，解得，即边上的高为.
28．（2022·北京海淀·校考模拟预测）已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求的值;
（ii）求的角平分线的长.
【答案】(1)
(2)①③正确,（i）;（ii）
【分析】（1）将原式直接利用辅助角公式,容易求出,结合则易知;
（2）结合,此时是三边最大,而条件②中与已知矛盾,故条件①③正确,再结合面积公式,余弦定理以及三角形内角平分线的性质即可求解.
【详解】（1）解:由题意知
,
即
,,
故;
（2）由（1）得,
,故条件②不成立,即条件①③正确,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
对于条件①:,
与上式结合可得,
对于条件③:,
故,所以,
将代入可得: ,
（i）在中,由正弦定理可得:
,
即,
,
（ii）是的角平分线,
,
,
,,
在中,由余弦定理可得
,
故.
综上:条件①③正确, ,.
29．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）在中，，．再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求
(1)的值；
(2)的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，根据，由作圆法知满足条件的有两个，不合题意；若选②，根据，由作圆法知满足条件的有且仅有一个，利用余弦定理可构造方程求得的值；若选③，利用正弦定理可求得，由余弦定理可构造方程求得的值；
（2）利用三角形面积公式可直接求得结果.
【详解】（1）若选条件①，，
，满足条件的有两个，不合题意，不能选择条件①；
若选条件②，，
，满足条件的有且仅有一个，
由余弦定理得：，
解得：或（舍），；
若选条件③，，，；
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
解得：或（舍），则满足条件的有且仅有一个，.
（2）由（1）知：，.
30．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数的一个零点为．
(1)求A和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.
（2）若恒成立，即求.
【详解】（1）的一个零点为
，即，
所以函数的最小正周期为.
（2）
当时有最大值，即 .
若恒成立，即,
所以，故的取值范围为.