湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共16页。

A．B．C．x+yD．
2．（3分）已知a＜b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．ac＜bcC．D．3﹣2a＜3﹣2b
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．＝2
4．（3分）已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．6cmB．5cmC．3cmD．1cm
5．（3分）若有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1且x≠3B．x≥﹣1且x≠3C．x≥1且x≠3D．x≠﹣1且x≠3
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．任意多边形的外角和是360°
8．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
9．（3分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝12，AC＝16，则MD等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6B．8C．9.6D．12
二．填空题（共8小题，每题3分，共计24分）
11．（3分）27的立方根为 ．
12．（3分）近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热．支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.00000025米，将0.00000025米用科学记数法表示为 米．
13．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如[0.6]＝0，[3.14]＝3，按此规定[]的值为 ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为 ．
16．（3分）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，设AB为x尺，则可列方程为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DE＝3，则△ABD的面积为 ．
18．（3分）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为线段BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，F为DE中点，直线CF交射线BA于点G，下列说法，①若连接EC，则EC⊥BC；②∠BDA＝∠EDC；③DE＝CG；④若BD＝2DC，则AD＝AG．其中正确的序号有 ．
三.解解题（共8小题，共计66分）
19．（8分）计算：
（1）+（﹣1）2024﹣（π﹣5）0+；
（2）．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
21．（6分）先化简，再求值：，从﹣2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
22．（8分）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
23．（9分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24．（9分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
25．（10分）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）m是正整数，，，且a+b+3ab＝2021，求m的值．
（3）已知，求的值．
26．（10分）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
（2）如图2，连接BF交AC于D点，若，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若（其中n为正数），则＝ ．（用含n的代数式表示）
2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每题3分，共计30分）
1． 解：分母中不含字母，
则A不符合题意；
符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
2． 解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不变，即a﹣3＜b﹣3，故这个选项不符合题意；
B、当c＜0时，ac＞bc，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项符合题意；
D、不等式两边同时除以负数﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3﹣2a＞3﹣2b，故这个选项不符合题意．
故选：C．
3． 解：A、与不能合并，不符合题意；
B、2﹣＝，不符合题意；
C、×＝，符合题意；
D÷＝，符合题意．
故选：C．
4． 解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，
∴1＜第三边的长＜7，
故该三角形第三边的长不可能是1cm．
故选：D．
5． 解：由题意得：x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3，
故选：B．
6． 解：不等式组可化为：
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
7． 解：A．等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，三角形三个内角的平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
8． 解：分式方程两边同时乘x﹣4去分母，得
2＝3（x﹣4）﹣m，
由分式方程的最简公分母是x﹣4，
∴分式方程的增根是x＝4．
把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，
∴m＝﹣2．
故选：D．
9． 解：延长BD交AC于H，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴BD＝DH，AH＝AB＝12，
∴HC＝AC﹣AH＝4，
∵M是BC中点，BD＝DH，
∴MD＝CH＝2，
故选：C．
10． 解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝＝9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每题3分，共计24分）
11． 解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
12． 解：0.00000025米＝2.5×10﹣7米．
故答案为：2.5×10﹣7．
13． 解：∵，
即，
∴，
∴[]的值为5，
故答案为：5．
14． 解：添加条件为：AE＝CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF．
15． 解：由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∴2∠B+30°＝90°，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°．
16． 解：设AB＝x尺，则AC＝（9﹣x）尺，
根据勾股定理得x2+32＝（9﹣x）2．
故答案为：x2+32＝（9﹣x）2．
17． 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE＝3，∠ABC＝60°，
∴DF＝DE＝3，∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝30°，
在Rt△BDE中，∠DBC＝30°，DE＝3，
∴BD＝2DE＝2×3＝6，
在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠A＝∠BDA，
∴BA＝BD＝6，
∴S△ABD＝AB•DE＝×6×3＝9，
故答案为：9．
18． 解：连接AF、EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，则∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE，BD＝EC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴EC⊥BC，
故①正确；
当AD⊥BC时，∠ADB＝90°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠EDC＝45°，
∴∠BDA≠∠EDC，
故②错误；
∵∠BCE＝90°，F为DE的中点，
∴CF＝DF＝EF＝DE，
∵∠DAE＝90°，F为DE的中点，
∴AF＝DF＝EF＝DE，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
又∵∠GAC＝90°，
∴∠GAF+∠FAC＝∠AGF+∠FCA＝90°，
∴∠GAF＝∠AGF，
∴GF＝AF，则AF＝GF＝FC＝CG，
∴DE＝CG，
故③正确；
∵BD＝2DC，
设DC＝a，则BD＝2a，
∴BC＝3a，AB＝AC＝BC•sin45°＝a，
在Rt△DCE中，EC＝BD＝2a，DC＝a，
∴DE＝＝a，
在等腰直角三角形ADE中，AD＝DE＝a，
又∵∠GAC＝90°，CG＝DE＝a，
∴AG＝＝＝a，
∴AD＝AG，
故④正确，
故答案为：①③④．
三.解解题（共8小题，共计66分）
19． 解：（1）原式＝3+1﹣1+2
＝5；
（2）原式＝3﹣1﹣（2﹣2+1）
＝2﹣3+2
＝2﹣1．
20． 解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所有正整数解有：1、2．
21． 解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣2，0时，原式没有意义；
当x＝2时，原式＝．
22． （1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
23． 解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
24． （1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝，
∴＝3，
∴△ADF的面积＝．
25． 解：（1）
＝+++...
＝+++...+
＝×（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）
＝；
（2）∵，，
∴a＝＝（﹣）2，
b＝＝（+）2，
∴a+b＝（﹣）2+（+）2＝2（2m+1）＝4m+2，
ab＝（﹣）2（+）2＝[（﹣）（+）]2＝（m+1﹣m）2＝1，
∵a+b+3ab＝2021，
∴4m+2+3×1＝2021，
∴4m＝2016，
解得：m＝504；
（3）∵，
∴（﹣）2＝1，
∴15+x2﹣2+26﹣x2＝1，
∴＝20，
∴（+）2
＝（﹣）2+4
＝12+4×20
＝1+80
＝81，
∵≥0，≥0，
∴+＝9．
26． 证明：（1）∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠F＝90°，
∴∠CAE＝∠F，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
（2）过F点作FG⊥AC交AC于G点，如图2，
∵△AGF≌△ECA，
∴FG＝AC＝BC，
在△FGD和△BCD中，
，
∴△FGD≌△BCD（AAS），
∴DG＝CD，
∵＝3，
∴＝2，
∴＝，
∵AG＝CE，AC＝BC
∴＝，
∴E点为BC中点；
（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴＝，
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．