2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区湘一南湖学校八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区湘一南湖学校八年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×107B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣8D．6.5×10﹣7
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB＝∠CBDB．AD＝OD
C．AO＝OCD．S△OAB＝S△ADC
5．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）
A．5°B．8°C．10°D．12°
6．（3分）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为xhm2，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
B．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形
C．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
D．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
9．（3分）当x＝ 时，分式的值为零．
10．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A＝ °．
11．（3分）已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是 ．
12．（3分）一个多边形的每一个内角为150°，那么这个多边形是 边形．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC＝6，则AB＝ ．
14．（3分）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为 ．
15．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 ．
16．（3分）如图，△ABC为等边三角形，AB＝6cm，M、N分别同时从A、B出发，沿箭头所示方向在射线AB、射线BC上运动，且它们的运动速度都为1cm/s；AN、CM交于P；
（1）若M、N在△ABC的边上运动的过程中，则∠APC＝ ；
（2）经过 秒时，△BMN为直角三角形．
三、解答题（本大题共10道小题，满分72分.）
17．（5分）计算：．
18．（5分）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
19．（6分）已知，，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
20．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
求证：四边形ABCD为平行四边形；
21．（7分）如图，AD，BC相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．
22．（7分）4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）m＝ ，n＝ ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为 °；
（3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．
23．（8分）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，学校花2000元购买一批A型劳动工具，经过一段时间后，需购买第二批A型劳动工具，此时每件涨价5元，购买与第一批同等数量的A型劳动工具花费了2200元．
（1）学校购买的第一批A型劳动工具每件的价格为多少元？
（2）若学校需要购买第三批劳动工具共50件，其中A型劳动工具的单价和第二批相同，B型劳动工具每件40元，计划购买A、B两种劳动工具的总金额不超过2500元，则最多可以购买多少件A型劳动工具？
24．（8分）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度．
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 m．
25．（10分）定义：形如的式子，若A＞B，则称为“勤业式”；若A＜B，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”．
（1）下列式子是“求真式”的有 （只填序号）；
① ② ③
（2）若A＝4x2﹣x+1，B＝2x2+3x﹣4，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
（3）若A＝x3+3x2﹣4，B＝x2+3x+2，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值．
26．（10分）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型．现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连接起来的两条线段叫做“兄弟”线段．如图1，两个等边△ABC和△DBE．此时线段AD和线段EC就是一对“兄弟”线段．
（1）[材料理解]请判断图1中“兄弟”线段AD和EC的大小关系，并说明理由；
（2）[深入探究]如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC＝30°，请证明DA2＝DC2+DB2；
（3）[延伸应用]如图3，若DA＝13，DB＝5，DC＝7．试求∠BDC的度数．
2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区湘一南湖学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．）
1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由1﹣5x≤11得：x≥﹣2，
由2x＜﹣10得x＜﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．【分析】根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
【解答】解：A、在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠ADB＝∠CBD，结论正确，不符合题意；
B、在平行四边形ABCD中，AD＝OD不一定成立，结论错误，符合题意；
C、在平行四边形ABCD中，对角线相互平分，则AO＝OC，结论正确，不符合题意；
D、在平行四边形ABCD中，S△OAB＝S△ABC＝S△ADC，结论正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
5．【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠ACD的度数数，根据直角三角形的性质得出∠ACE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝50°．
∵CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD
＝60°﹣50°
＝10°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的性质是解决本题的关键，
6．【分析】设原计划每天收割的面积为x hm2，则实际每天收割的面积为（1+20%）x hm2，根据结果提前2天完成任务即可列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意得：
．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．【分析】利用垂直平分线的定义、全等三角形的判定方法、三角形的重心的定义及等腰三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
B、三个角对应相等的两个三角形是相似三角形但不一定是全等三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
8．【分析】由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴S1＝DC2＝42＝16，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝EC，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴DE2＝DC2＝S1＝8，
∴S2＝DE2＝8，
同理S3＝S2＝S1，S4＝S1，
∴S2023＝×S1＝×24＝．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结出一般规律．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.）
9．【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求解即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0且x+2≠0，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式为零的条件，关键掌握分式的分母不能为零．
10．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
11．【分析】根据频数等于总数乘以频率，求出第五组的频数，进而得到第六组的频数，再利用频数除以总数进行计算即可．
【解答】解：第五组的频数为50×0.2＝10，
∴第六组的频数为50﹣10﹣5﹣7﹣6﹣10＝12，
∴第六组的频率是；
故答案为：0.24．
【点评】本题考查求频率．熟练掌握频率等于频数除以总数是解题的关键．
12．【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）可得180°•（n﹣2）＝150°•n，再解方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，由题意可得：
180•（n﹣2）＝150•n，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理．关键是掌握n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．
13．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，求出△BDC的周长为AC+BC，代入求出即可．
【解答】解：∵AB边的垂直平分线DE，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长为14，BC＝6，
∴BC+BD+DC＝14，
∴AD+DC+6＝14，
∴AC＝8，
∴AB＝AC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质、线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
14．【分析】根据题意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
【解答】解：﹣1＝，
2x﹣（x﹣3）＝﹣m，
解得：x＝﹣m﹣3，
∵分式方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝﹣m﹣3中，
3＝﹣m﹣3，
解得：m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
15．【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP＝30°，根据直角三角形的性质得到PE＝PC＝2，根据角平分线的性质解答；
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC＝∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA＝∠POD＝15°，
∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，
∴PE＝PC＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．【分析】（1）证明△ABN≌△CAM，得到∠BAN＝∠ACM，进而得到∠ACM+∠NAC＝∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，利用三角形的内角和定理，即可求出∠APC的度数；
（2）分∠BNM＝90°和∠BMN＝90°，两种情况，进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，
∵M、N分别同时从A、B出发，运动速度都为1cm/s；
∴AM＝BN，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴∠BAN＝∠ACM，
∴∠ACM+∠NAC＝∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝180°﹣（∠ACM+∠NAC）＝120°；
故答案为：120°；
（2）设经过t秒后，△BMN为直角三角形，
由题意，得：AM＝BN＝t，
∴BM＝AB﹣AM＝6﹣t，
当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴，即：，
解得：t＝2；
当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴，即：，
解得：t＝4；
综上：t＝2或t＝4；
故答案为：2或4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，是解题关键．
三、解答题（本大题共10道小题，满分72分.）
17．【分析】先化简各数，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，掌握相应的运算法则是解题的关键．
18．【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•+3
＝•+3
＝a+3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．【分析】（1）先计算x+y，x﹣y的值，进而根据平方差公式即可求解；
（2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝4×2
＝8；
（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy
＝
＝
＝16﹣1
＝15．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20．【分析】证明△DAE≌△BCF，可得AD＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题．
【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是证明△DAE≌△BCF．
21．【分析】（1）证明△ABC≌△BAD即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到∠DAB＝∠CBA＝35°，三角形的内角和定理求出∠CAB的度数，再用∠CAB﹣∠DAB计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（HL），
∴AD＝BC；
（2）解：∵△ABC≌△BAD，
∴∠DAB＝∠ABC＝35°，
∵∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝55°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠DAB＝20°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，证明△ABC≌△BAD是解题的关键．
22．【分析】（1）条形图中，80～90的有12人，扇形图中80～90所占比例是24%，由此即可求解；
（2）扇形的圆心角等于该组所占比例乘以360°，由此即可求解；
（3）先计算出达到8（0分）以上的人所占的比例，即可求解．
【解答】解：（1）条形图中，80～90的有12人，扇形图中80～90所占比例是24%，
∴12÷24%＝50，即本次抽样的总量是50人，
∴n＝50，
∴条形图中90～100的有50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人），
条形图中60～70的有8人，
∴，
∴m＝16，
故答案为：16，50；
补全补全频数分布直方图如图所示，
（2）“70～80”的人数为10人，
∴所占比例为，
∴所对圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72°．
（3）达到80分以上的人数有12+16＝28（人），
∴所占比例为，
∴全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数大约为1200×56%＝672（人）．
【点评】本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键．
23．【分析】（1）设学校购买的第一批A型劳动工具每件的价格为x元，则第二批A型劳动工具每件的价格为x+5元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设最多可以购买y件A型劳动工具，则购买B型劳动工具50﹣y件，根据题意列一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）由题意可得：设学校购买的第一批A型劳动工具每件的价格为x元，则第二批A型劳动工具每件的价格为（x+5）元，
则
解得：x＝50，
经检验：x＝50是原方程的解，
∴学校购买的第一批A型劳动工具每件的价格为50元；
（2）设最多可以购买y件A型劳动工具，则购买B型劳动工具（50﹣y）件，
∵购买第三批A型劳动工具的单价和第二批相同，
∴A型劳动工具的单价为55元，
由题意得：55y+40（50﹣y）≤2500，
解得：，
∵劳动工具是整数，
∴最多可以购买33件A型劳动工具；
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．
24．【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE＝BF＝1.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
设秋千的长度为x m，
则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得：x＝5，
即秋千的长度是5m；
（2）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，
∵DE＝0.6m，
∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），
由（2）可知，AD＝AB＝5m，
∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
25．【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有x+1＝1或x+1＝﹣1或x+1＝2或x+1＝﹣2，求解符合条件的x的值即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴为“求真式”，故①符合题意，
∵20230＝1＞π﹣3.14，
∴为“勤业式”，故②不符合题意，
∵0＜1，
∴a2+2a+1＜a2+2a+1+1即a2+2a+1＜a2+2a+2，
∴为“求真式”，故③不符合题意．
故答案为：①③；
（2）为“勤业式”，理由如下：
∵A＝4x2﹣x+1，B＝2x2+3x﹣4，
∴A﹣B＝（4x2﹣x+1）﹣（2x2+3x﹣4）＝4x2﹣x+1﹣2x2﹣3x+4＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+1＞0，
∴为“勤业式”；
（3）∵A＝x3+3x2﹣4，B＝x2+3x+2，且x为整数，
∴，
∵为“至善式”，
∴的值为整数，即为整数，
∴为整数，
∴x+1＝1或x+1＝﹣1或x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝0或x＝﹣2（舍去）或x＝1或x＝﹣3，
∴x的值为0或1或﹣3．
【点评】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键．
26．【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，则∠ABD＝∠CBE＝60°+∠CBD，即可根据“SAS”证明△ABD≌△CBE，得AD＝EC；
（2）连接CD、CE，由∠BDE＝60°，∠BDC＝30°，求得∠CDE＝90°，则EC2＝DC2+DE2，而AD＝EC，DE＝DB，所以AD2＝DC2+DB2；
（3）作EL⊥CD交CD的延长线于点L，由∠L＝90°，根据勾股定理得EC2﹣CL2＝DE2﹣DL2＝EL2，则132﹣（7+DL）2＝（5）2﹣DL2，求得DL＝5，所以EL＝＝5＝DL，则∠LDE＝∠LED＝45°，求得∠BDC＝180°﹣∠BDE﹣∠LDE＝75°．
【解答】（1）解：AD＝EC，
理由：如图1，∵△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°+∠CBD，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC．
（2）证明：如图2，连接CD、CE，
∵∠BDE＝60°，∠BDC＝30°，
∴∠CDE＝∠BDE+∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴EC2＝DC2+DE2，
∵AD＝EC，DE＝DB，
∴AD2＝DC2+DB2．
（3）解：如图3，作EL⊥CD交CD的延长线于点L，则∠L＝90°，
∴EC2﹣CL2＝DE2﹣DL2＝EL2，
∵EC＝DA＝13，DE＝DB＝5，DC＝7，
∴CL＝DC+DL＝7+DL，
∴132﹣（7+DL）2＝（5）2﹣DL2，
解得DL＝5，
∴EL＝＝＝5，
∴DL＝EL，
∴∠LDE＝∠LED＝45°，
∵∠BDE＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BDE﹣∠LDE＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BDC的度数是75°．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．