安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.3.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）
A. 1种B. 2种
C. 3种D. 4种
【答案】C
【解析】
【分析】分买1本或买2本书两种情况可求.
【详解】解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，
故购买方式共有2＋1＝3(种)．
故选：C.
2. 在等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据项数关系，得出成等比数列，即可列出方程，求解即可得出答案.
【详解】因，
所以，成等比数列，
所以，，解得.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. 28B. 30C. 56D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值.
【详解】因为，
所以由组合数性质得，，
所以.
故选：C.
4. 已知，，则（ ）
A 0.75B. 0.5C. 0.45D. 0.25
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.
【详解】根据条件概率公式可得，
.
故选：A.
5. 已知椭圆的离心率是，则椭圆的焦距为（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】讨论、，结合离心率求出对应焦距.
【详解】若，则，解得，则，所以焦距是；

若，则，解得，则，所以焦距是.

故选：A
6. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】依据随机变量的数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决
【详解】随机变量满足，，
则，，据此可得，.
故选：D
7. 已知平面的法向量为，点在平面内，点到平面的距离为，则（ ）
A. -1B. -11C. -1或-11D. -21
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到平面距离的向量法公式求解即可.
【详解】，而，
即，
解得或－11.
故选：C
8. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A. 128B. 64C. 48D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法.
【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，
然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：①展开式中第项和第项的二项式系数最大；②展开式中只有第项的二项式系数最大；③展开式中第项和第项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得的值.
【详解】分以下三种情况讨论：
①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得.
因此，的可能值为、、.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法：
（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项的特点，一般需要建立方程求得的值，再将的值代回通项，主要是的取值范围；
（2）若为偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大；
（3）若为奇数时，中间一项（第项和第项）的二项式系数最大.
10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的动点，则（ ）
A.
B. 的离心率不可能是
C. 以为圆心，半径为的圆一定与的渐近线相切
D. 存在点使得是顶角为的等腰三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线的定义判断选项A；由，求的离心率的取值范围判断选项B；求到渐近线的距离与的关系判断选项C；分类讨论是等腰三角形时的条件，验证顶角是否为，判断选项D.
【详解】，A选项错误；
因为，所以的离心率，B选项正确；
设，则到渐近线的距离，C选项正确；
由双曲线定义可知，若，则直线的斜率为1且点在的右支上，
由可知直线与的右支无交点，所以，若，
由对称性易知也不存在点使得是顶角为的等腰三角形，D选项错误，
故选:BC.
11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】构造函数，结合题目所给性质可得在上单调递减，结合函数单调性计算即可得.
详解】令，则，
由已知可得，即在上单调递减，
所以，
故，即C､D选项正确.
故选：CD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______．
【答案】0.6
【解析】
【分析】根据两点分布的性质即可求出答案.
【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得．
故答案为：0.6.
13. 已知圆与圆的公共弦经过点M，则__________．
【答案】##8.5
【解析】
【分析】根据两圆的方程可得公共弦方程，然后根据点M在直线上即得.
【详解】因为圆的圆心，圆，
所以两圆的公共弦所在的直线的方程为，即，
所以，所以．
故答案为；.
14. 盒中有个红球，个黑球，个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是黑球的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设事件，然后利用全概率公式求解.
【详解】设事件“第一次取出的是红球”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是黑球”.
由全概率公式知.
由题意，
，
，
则.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 设数列是公差为的等差数列，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且的前n项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；
（2）结合（1）的结论得到，利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为数列是公差为的等差数列，且，
所以，则或.
又，，∴.
【小问2详解】
由（1）可得，，
∴
16. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.
（1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？
（2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？
【答案】（1）40 （2）30240
【解析】
【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.
（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.
【小问1详解】
八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共种选法，因此共有种分配方式.
【小问2详解】
先让6名学生排队，共种方法，然后两名老师插入7个空隙，共种方法，因此共有种站法.
17. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】（1）借助韦达定理与焦点弦公式计算即可得；
（2）借助韦达定理计算即可得.
【小问1详解】
因为抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，设，
将代入，得，，
所以，
由抛物线的定义知，
故；
【小问2详解】
，
故.
18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．
（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；
（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
【答案】（1）分布列见解析；
（2）应从情境开始第一关，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列；
（2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论.
小问1详解】
由题意知：所有可能的取值为，，，
；；，
的分布列为：
【小问2详解】由（1）得：从情境开始第一关，则；
若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，
；；，
；
，应从情境开始第一关.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，若在上为单调递增函数，在上为单调递减函数；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，求导，分类讨论和两种情况，研究的正负，从而求得函数的单调区间；
（2）由题得，则，由是的两个极值点，可知，所以，要证，需证，构造函数，即证
，从而证得.
【详解】（1）易知的定义域为，.
当时，，所以在上为单调递增函数；
当时，若，则，若，则，
所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.
（2）证明：，则.
由题意可知，，是方程的两根，所以，，
由，所以，，
要证，需证.
，
令，则，
所以在上单调递增，所以.
所以，故.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间，及证明不等式，证明不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.