河南省焦作市博爱2023_2024高三数学上学期10月月考试题

这是一份河南省焦作市博爱2023_2024高三数学上学期10月月考试题，共14页。试卷主要包含了已知复数，若，则的虚部是，已知实数x，y满足，，则，证明如下等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下面四个命题正确的是( )
A.10以内的质数集合是
B.0与表示同一个集合
C.方程的解集是
D.由1，2，3组成的集合可表示为或
2.已知函数，，则的最大值为( ).
A.B.C.D.1
3.已知向量，，且，则x的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则( ).
A.，B.与相交，且交线平行于l
C.，D.与相交，且交线垂直于l
5.在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6.已知函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
7.已知复数（，i是虚数单位），若，则的虚部是( )
A.B.C.D.
8.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.图中矩形总计有____个( )
A.75B.111C.102D.120
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知实数x，y满足，，则( )
A.B.C.D.
10.若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( )
A.B.
C.D.
11.设z是复数，则下列说法中正确的是( )
A.若，则z是实数B.若，则z是虚数
C.若z是虚数，则D.若z是纯虚数，则
12.在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为D.平面的一个法向量为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数（，）的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为___________.
14.设i是虚数单位，复数，则z对应的点位于第_____象限
15.记为等差数列的前n项和，若，，则___________.
16.如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，．
（1）求a的值；
（2）求的值．
18.（12分）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式;
(2)设，数列的前n项和为，求．
19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
20.（12分）著名数学家欧拉提出了如下定理：二角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.
(1)求的欧拉线的方程；
(2)求圆E的标准方程.
21.（12分）规定，其中，，且，这是组合数(，且的一种推广.
（1）求的值.
（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，)?若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，求k的取值范围，并证明.
高三数学试题参考答案
一、单项选择题
1.答案：D
解析：10以内的质数有2，3，5，7，故A错误；0是集合中的一个元素，故B错误；由集合元素的互异性可知错误，故C错误；由集合元素的无序性可知D正确.故选D.
2.答案：A
解析：.
3.答案：C
解析：，，，解得，故选C.
4.答案：B
解析：若，则由平面，平面，可得，
这与m，n是异面直线矛盾，故与相交.
设，过空间内一点P，作，，与相交，与确定的平面为.
因为，所以，，
因为，，所以，，
所以，，所以，
又因为，，所以l与a不重合所.以.
5.答案：A
解析：设，则，，，所以，，.因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线CM与所成角的余弦值为.
6.答案：B
解析：,切点为,
,
所以切线方程为,即.
7.答案：B
解析：因为复数（，i是虚数单位），若，所以，解得.
所以，
故的虚部是.故选：B.
8.答案：C
解析：根据题意，设点G、H、P的位置如图所
示：要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在CD上,共有个矩形;②矩形的一条边在CD上, 共有个矩形;故图中共有个矩形.故选:C.
二、多项选择题
9.答案：AC
解析：因为，，所以，则，故A正确；易得，又，所以，则，故B错误；易知，所以，故C正确；易知，所以，故D错误.故选AC.
10.答案：ABC
解析：本题考查对数函数，指数函数、二次函数的图象与性质.因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
11.答案：ABD
解析：设，则.
A项，若，则，所以或，若，则满足，此时z为实数；若，则，此时，不合题意，所以只能，，故A项正确；
B项，若，则，所以或，若，则，不合题意；若，则，此时，符合题意，即是虚数，故B项正确；
C项，若z是虚数，取，则，，不满足，故C项错误；
D项，z是纯虚数，则，，，故D项正确.
12.答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
三、填空题
13.答案：0
解析：由函数的最小正周期为，得，所以.将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为，则由题意知，，得，，又，所以.
14.答案：二
解析：因为，所以z对应的点位于第二象限.
15.答案：100
解析：得则.
16.答案：3
解析：设的中点为，连接，，显然平面，所以为线段在平面内的射影，为与平面所成的角，所以，所以在中，.
四、解答题
17. (10分)答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由可得，
结合正弦定理与余弦定理可得：，
即，即，解得.
（2）由余弦定理可得：，
又，所以，
故.
18. (12分)答案：(1)
(2)
解析：(1)设数列的公差为d，，，
，，
，
．
(2)由(1)可知，
数列的前n项和为，
，
两式作差，得
，
．
19.(12分)答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，
又侧面底面ABCD，侧面底面.
平面PAD.平面PAD，.
是正三角形，M是PD的中点，.
又，平面PCD.
（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF.
则，.
又在正中，.
，平面PEF.
正方形ABCD中，，平面PEF.
是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角.
由平面PAD，，平面PAD.平面PAD，
.设正方形ABCD的边长，则，.
，，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.
20.(12分)答案：(1)
(2)圆E的标准方程为或
解析：(1)由A，B，C的坐标，得的重心，即.
，，
边AB的高线所在直线方程为；
边AC的高线所在直线方程为，即.
由得
则的垂心.
，
则的欧拉线的方程为，即.
(2)设，圆E的半径为r，
，，
，
解得或.
当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.
当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.
综上所述，圆E的标准方程为或.
21.(12分)（1）答案：-84
解析：由题意得.
（2）答案：性质①不能推广，性质②能推广
解析：性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.
性质②能推广，它的推广形式是(，).证明如下：
当时，有；
当时，有
.
综上，性质②的推广得证.
22.(12分)（1）答案：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增
解析：因为，函数的定义域为，
所以，.
当时，，
所以函数在上单调递增.
当时，由，得(负根舍去)，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减；在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）答案：k的取值范围是，证明见解析
解析：方法1：由(1)知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使函数有两个零点，首先，解得.
因为，且，
下面证明.
设，则.
因为，所以.
所以在上单调递增，
所以.
所以k的取值范围是.
方法2：由，得到.
设，则.
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以由.
因为时，，且，
要使函数有两个零点，必有.
所以k的取值范围是.
再证明：
方法1：因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则.
所以即.
所以，即，，.
要证，即证.
即证，即证.
因为，所以即证，
或证.
设，.
即，.
所以.
所以在上单调递减，
所以，.
所以.
方法2：因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则.
所以即.
所以，即，，.
要证，需证.
即证，即证.
因为，所以即证.
设，
则，.
所以在上单调递减，
所以.
所以.