2022-2023学年安徽省安庆市太湖实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市太湖实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简的正确结果是( )
A. B. C. D.
2.估算的结果最接近的整数是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解方程时，配方后得的方程为( )
A. B. C. D.
4.关于的一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 没有实数根
5.等边三角形的边长为，则该三角形的面积为( )
A. B. C. D.
6.将根号外的因式移到根号内，得( )
A. B. C. D.
7.某商场第一季度的利润是万元，其中一月份的利润是万元，若利润平均每月的增长率为，则依题意列方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是
( )
A. B. C. D.
9.给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数，则有已知函数，则方程的解是( )
A. ，B. ，
C. D. ，
10.如图，中，，，点是边上一点，且，点是线段上一动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如果代数式有意义，则的取值范围是______．
12.若是方程的一个根，则的值为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为______．
14.如图，在中，分别以、、为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为，，，请解答以下问题：
，，满足的数量关系是______．
现将向上翻折，如图，若阴影部分的，，，则______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.计算：．
16.解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形；
在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、、；
如图，、、是小正方形的顶点，求．
18.本小题分
九章算术是我国古代数学的经典著作书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为元的书包以元的价格出售时，平均每月售出个，并且书包的售价每提高元，某月销售量就减少个．
若售价定为元，每月可售出多少个？
若书包的月销售量为个，则每个书包的定价为多少元？
当商场每月有元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应为多少？
21.本小题分
在中，，、、的对边长分别为、、，设的面积为，周长为．
填表：
如果，观察上表猜想： ______用含有的代数式表示；
说出中结论成立的理由．
22.本小题分
如图，长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．
若点刚好落在对角线上时，求和的长；
当时，求的长；
若点刚好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长______．
23.本小题分
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数的形式，则称这个数为“完美数”例如，是“完美数”理由：因为，所以是“完美数”．
解决问题：
已知是“完美数”，请将它写成、是整数的形式______；
若可配方成、为常数，则______；
探究问题：
已知，则______；
已知、是整数，是常数，要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展结论：
已知实数、满足，求的最值．
答案和解析
1.【答案】
解：，
故选：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根的区别．
2.【答案】
解：
结果最接近的整数是．
故选：．
先化简计算，再作出估算．
本题考查了估算无理数的大小，关键是确定的近似值．
3.【答案】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得．
故选：．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
4.【答案】
解：方程整理得：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先求出的值，再判断出其符号即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．
5.【答案】
解：作，
是等边三角形，，
，
在直角中，
，
；
故选：．
如图，作，则是等边底边上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得，所以，在直角中，利用勾股定理，可求出的长，代入面积计算公式，解答出即可；
本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想．
6.【答案】
解：．
故选：．
直接利用二次根式的性质得出的符号，进而变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设利润平均每月的增长率为，根据“第一季度的利润是万元”，可得出方程．
【解答】
解：设利润平均每月的增长率为，
又知：第一季度的利润是万元，
所以，可列方程为：；
故本题选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出，是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，，求出即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
解得：，，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：二次项系数要化为，根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出函数中的，再与方程组成方程得出：，用直接开平方法解方程即可．
【解答】
解：由函数得，则，
，
，
，
，，
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查轴对称最短路线的问题，勾股定理．过点作于，延长到，使，连接，交于，确定的值最小，然后根据勾股定理计算．
【解答】
解：如图示，过点作于，延长到，使，连接，交于，
此时的值最小．
，
，，
，
是等边三角形，
作于，
，，
，
，
根据勾股定理可得．
故选A.
11.【答案】
解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
利用二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件．
12.【答案】
解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
首先根据是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变式，化为含有的式子，据此即可解答．
本题考查了代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键．
13.【答案】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
过作轴于，如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
点是的中点，点的坐标为，
点的坐标是，
，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故答案为：．
过点作轴于，根据正方形的性质得到，，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】
．
解：，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
由的结论知，，
，
故答案为：．
由等边三角形的面积公式得，，，再由勾股定理得；
由的结论知，，代入已知数据便可求得结果．
本题主要考查了三角形的面积公式，勾股定理，关键是解题关键是根据等边三角形的性质表示出每一个三角形的面积．
15.【答案】解：原式

．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
先根据二次根式的乘除法法则得到原式，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
16.【答案】解：，，，
，
，
，．
【解析】先找出，，，再求出，根据公式即可求出答案．
本题主要考查对解一元二次方程提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．
17.【答案】解：如图所示：答案不唯一
如图所示：答案不唯一
如图，连接，
由勾股定理得：，，
，
为等腰直角三角形
．
【解析】面积为的正方形的边长为，画出正方形即可；
以直角边为和构造斜边为，再以和为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为、、；
连接，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可得到的度数．
18.【答案】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
答：原处还有尺高的竹子．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19.【答案】解：


．
当时，原式．
【解析】根据分式的混合运算的运算法则对化简为，再将代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键．
20.【答案】解：当售价为元时，每月可以售出的个数为个；
当书包的月销售量为个时，每个书包的价格为：元；
设销售价格应定为元，则
，
解得，，
当时，销售量为个；当时，销售量为个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量和单价表示出利润即可．
由“这种书包的售价每上涨元，其销售量就减少个”进行解答；
根据“售价月销量减少的个数”进行解答；
设销售价格应定为元，根据“这种书包的售价每上涨元，其销售量就减少个”列出方程并解答．
21.【答案】，，；
；
，，
，
，
，，
即．
解：的面积，周长，故当、、三边分别为、、时，，，故，同理将其余两组数据代入可得为，，
故答案为：，，；
通过观察以上三组数据，可得出，
故答案为：；
见答案．
【分析】的面积，周长，分别将、、，、、，、、三组数据代入两式，可求出的值；
通过观察以上三组数据，可得出：；
根据，，可得出：，即．
本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．
22.【答案】解：如图，由折叠可得，，
，，
中，，
，
设
在中，由勾股定理得，
，
；
如图，由折叠得，，
，
，，
，
；

解：见答案；
设的垂直平分线交于点，交于点，分两种情况讨论：
当点在长方形内部时，如图，
点在的垂直平分线上，
，
，
由勾股定理得：，
，
设，则，，
，
，
解得：，
即；
当点在长方形外部时，如图，
点在的垂直平分线上，
，
，
由勾股定理得：，
，
设，则，，
，
，
解得：，
即，
综上所述，的长为．
故答案为：
利用勾股定理求出，再利用翻折变换的性质求出，，设，在中，利用勾股定理求解方程求出即可；
证明，可得结论；
设的垂直平分线交于点，交于点，分两种情况讨论：当点在长方形内部时，如图，当点在长方形外部时，如图，分别利用勾股定理求解．
本题属于四边形综合题，考查了长方形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23.【答案】
解：解决问题：
根据题意得：；
故答案为：；
根据题意得：，
，，
则；
故答案为：；
探究问题：
已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则；
故答案为：；
当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
拓展结论：
，
，即，
，
当时，最大，最大值为．
解决问题：
把分为两个整数的平方即可；
原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；
探究问题：
已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
拓展结论：
由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三边、、

、、
、、
、、