2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省安庆市怀宁县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程x2=2x的解是(    )
A. x=2 B. x1=2，x2=0
C. x1=− 2，x2=0 D. x=0
2. 下列各组数中，属于勾股数的一组是(    )
A. 3，4， 7 B. 9，40，41 C. 0.9，1.2，1.5 D. 13，14，15
3. 下列计算正确的是(    )
A. 8− 2= 2 B. 2+ 3= 5
C. 3 3− 3=3 D. 52−32=5−3
4. 下列几个二次根式 5， 13， 0.3a， x2+y2， m3中是最简二次根式的有(    )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 一元二次方程x2+2x−4=0根的情况是(    )
A. 无实数根 B. 有两个正根，且有一根大于2
C. 有两个负根，且都小于−2 D. 有一个正根，一个负根
6. 直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个
7. 随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是(    )
A. 2x=8.5%+9.6% B. 2(1+x)=(1+8.5%)(1+9.6%)
C. 2(1+x)2=(1+8.5%+9.6%) D. (1+x)2=(1+8.5%)(1+9.6%)
8. 设x、y都是负数，则x−2 xy+y等于(    )
A. ( x− y)2 B. ( −x− −y)2
C. −( x+ y)2 D. −( −x+ −y)2
9. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，D为垂足，若AC=12，则CE的长度为(    )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
10. 如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=9，CG=12，则DE的长度为(    )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 若 (x−2)2=2−x，则x的取值范围是______．
12. 如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是______．


13. 一个三角形两边长分别为3和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为______ ．
14. 若关于x的一元二次方程x2−2(2−k)x+k2+8=0有实数根α，β．
(1)实数k的取值范围为______ ；
(2)设t=α+βk，则t的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
15. 解方程：x2−3x−1=0．
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
计算：(3−2 2)2022(2 2+3)2023−4 18− (1− 2)2．
17. (本小题8.0分)
已知△ABC的三边长为a、b、c，且a−b=8，ab=2，c=2 17，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18. (本小题8.0分)
若(k+2)xk2−k−4−(k−3)x−5=0是关于x的一元二次方程，求k的值．
19. (本小题10.0分)
已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简 c2+4−4c− 14c2−4c+16．
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=15，D是AB上一点，BD=9，CD=12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．

21. (本小题12.0分)
六一儿童节期间，某商场用2000元新进一批时尚玩具，在运输途中损坏3个无法销售，剩余的每个玩具以比进价多5元的价格出售，全部售完这批玩具后商场共赚425元.求这批玩具每个进价多少元，共进了多少个玩具？
22. (本小题14.0分)
如图1，等腰直角△ABC和等腰直角△DCE的直角顶点C重合，点D在斜边AB上，AC=BC，CD=CE，连接AE．

(1)求证：AE=BD．
(2)若BD=1，AD=3，求DE的长．
(3)如图2，点F也在AB边上，且在点A，D之间，若∠DCF=45°，求证：AF2+BD2=DF2．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：x2=2x，
x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x=0，x−2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：B．
把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．

2.【答案】B 
【解析】解：直角三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2的关系其中c最大．
选项A有根号，不是勾股数，故选项A错误，不符合题意；
选项B中92+402=412，且9，40，41均为正整数，故选项B正确，符合题意；
选项C中0.92+1.22=1.52，符合勾股定理，但不是正整数，故选项C错误，不符合题意；
选项D中(14)2+(15)2≠(13)2，不符合勾股数，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，利用勾股定理进行计算可得结果．
本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A、 8− 2=2 2− 2= 2，所以A选项正确，符合题意；
B、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，所以B选项错误，不符合题意；
C、3 3− 3=2 3，所以C选项错误，不符合题意；
D、 52−32= 25−9= 16=4，所以D选项错误，不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；
根据二次根式的性质对D进行判断即可．
本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是关键．

4.【答案】A 
【解析】解： 13= 33， 0.3a= 30a10， m3=m m， 5， x2+y2是最简二次根式，
则最简二次根式的有2个，
故选：A．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，以及二次根式的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：∵x2+2x−4=0，
∴Δ=22+16=20>0，
∴方程有2个不相等的实数根．
∵x1x2=−40时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a=0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是一元一次方程，解为x=−12，
当a0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．  
7.【答案】D 
【解析】解：设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为(1+8.5%)，2022年学生数为(1+8.5%)(1+9.6%)，
根据题意得：(1+x)2=(1+8.5%)(1+9.6%)．
故选：D．
设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为(1+8.5%)，2022年学生数为(1+8.5%)(1+9.6%)，利用该校2022年学生数=该校2020年学生数×(1+2021、2022这两年该校学生数平均增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵x、y都是负数，
∴x−2 xy+y
=−(−x+2 xy−y)
=−( −x+ −y)2，
故选：D．
根据x、y都是负数，可以将所求式子变形，然后即可化简题目中的式子，本题得以解决．
本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，利用二次根式的性质解答．

9.【答案】A 
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A，
∴∠ABE=∠CBE=∠A，
又∵∠C=90°，
∴∠ABE+∠CBE+∠A=90°，
解得∠CBE=30°，
设AE=BE=x，则CE=AC−AE=12−x，
∵在Rt△BCE中，∠C=90°，∠CBE=30°，
∴BE=2CE，即x=2(12−x)，
解得x=8，即AE=8，
∴CE=AC−AE=4．
故选：A．
先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得AE=BE，∠ABE=∠CBE=∠A，再根据三角形的内角和定理可得∠CBE=30°，设AE=BE=x，则CE=12−x，在Rt△BCE中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】解：设AB=x，
由翻折性质得：AF=x，
∵CE=9，
由翻折性质得：EF=9，
∴AE=x+9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=x，∠D=90°，AD=BC，
∴DE=CD−CE=x−9，
∵CG=12，△ABG和△ECG沿AG，EG折叠，点B，C落在AE上的同一点F，
∴BG=CG=12，
∴AD=BC=24，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，
即242+(x−9)2=(x+9)2，
解得：x=16，
∴DE=CD−CE=7，
故选：B．
设AB=x，根据折叠的性质表示出DE=CD−CE=x−9，AE=x+9，再利用勾股定理得到DE的长．
本题考查了图形折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题关键．

11.【答案】x≤2 
【解析】解：∵ (x−2)2=2−x，
∴x−2≤0，
∴x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
根据已知得出x−2≤0，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时， a2=−a．

12.【答案】10m 
【解析】解：如图，作BE⊥OC于点E，
由题意得：AD=BE=3m，AB=DE=2m，
∵DC=6m，
∴EC=4m，
∴由勾股定理得：BC= BE2+EC2= 32+42=5(m)，
∴大树的高度为5+5=10(m)，
故答案为：10m．
作BE⊥OC于点E，首先由题意得：AD=BE=3m，AB=DE=2m，然后根据OC=6米，得到DC=4米，最后利用勾股定理得BC的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，正确的构造直角三角形是解答本题的关键．

13.【答案】14 
【解析】解：∵x2−8x+12=0，
∴(x−2)(x−6)=0，
∴x−2=0或x−6=0，
解得x=2或x=6，
当x=6时，三角形三边长为3，5，6，能构成三角形，则三角形周长为3+5+6=14；
当x=2时，三角形三边长为3，5，2，
∵3+2=5，
∴不能构成三角形；
综上所述，该三角形的周长为14，
故答案为：14．
先利用因式分解法求出方程的两根，再结合构成三角形的条件求出第三边的长即可得到答案．
本题主要考查了解一元二次方程−因式分解法，构成三角形的条件，正确求出方程的两个根是解题的关键．

14.【答案】k≤−1  −6 
【解析】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(2−k)x+k2+8=0有两实数根，
∴Δ=[−2(2−k)]2−4(k2+8)=−16k−16≥0，
∴k≤−1，
∴实数k的取值范围为k≤−1．
(2)∵α、β为方程x2−2(2−k)x+k2+12=0的两实数根，
∴α+β=2(2−k)，
∴t=α+βk=2(2−k)k=4k−2．
∵k≤−1，
∴−4≤4k2，
∴原式= (c−2)2− 14(c−8)2
=|c−2|−12|c−8|
=c−2−12(8−c)
=32c−6． 
【解析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．
本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．

20.【答案】(1)证明：∵BC=15，BD=9，CD=12，
∴BD2+CD2=92+122=152=BC2，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB=AC，
∴AC=AB=AD+BD=AD+9，
∵∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴(AD+9)2=AD2+122，
∴AD=72，
∴AC=72+9=252． 
【解析】点拨
(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

21.【答案】解：设共进了x个玩具，
根据题意得：(2000x+5)(x−3)=2000+425，
解得：x1=100，x2=−12(舍去)，
经检验x1=100是原方程的根．
所以共进了100个玩具，每个玩具进价为2000÷100=20(元)．
答：这批玩具每个进价20元，共进了100个玩具． 
【解析】设共进了x个玩具，由这批玩具共赚425元，列出方程可求解．
本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．

22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，CE=CD，AC=BC，
∴∠ACE+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CE=CD∠ACE=∠BCDAC=BC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)解：由(1)得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD，
∴∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，
∴AE2+AD2=BD2+AD2=DE2，
又∵BD=1，AD=3，
∴DE2=12+32=10，
∴DE= 10；
(3)证明：连接EF，如图2所示：

∵∠DCF=45°，∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠ECD−∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠ECF，
在△CEF和△CDF中，
CE=CD∠ECF=∠DCFCF=CF，
∴△CEF≌△CDF(SAS)，
∴EF=DF，
由(1)得BD=AE，
由(2)得∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即BD2+AF2=FD2． 
【解析】(1)根据△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，可知∠ECD=∠ACB=90°，则∠1+∠ACD=90°，∠2+∠ACD=90°，结合已有条件可证△ACE≌△BCD(SAS)，则AE=BD；
(2)由(1)得△ACE≌△BCD，则∠CAE=∠B=45°，AE=BD，由此可推出∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，进而可得AE2+AD2=BD2+AD2=DE2，根据BD=1，AD=3，结合勾股定理可知DE2=12+32=10，则DE= 10；
(3)连接E，F，如图所示：根据∠DCF=45°，∠ECD=90°，可得∠ECF=∠ECD−∠DCF=45°，则∠DCF=∠ECF，结合条件可证，则△CEF≌△CDF，进而可知DF=EF，由(1)得BD=AE，由(2)得∠EAF=90°，由此根据勾股定理可证．
本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．