江苏省苏州市姑苏区景范中学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键．
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故错误；
B．，故原计算错误；
C．，原计算正确；
D．，故原计算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则及公式，并能准确计算是解题的关键．
4. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
5. 如图，为的直径，弦于，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理结合已知条件求得AB =6，再利用三角形的面积公式求△ACB的面积即可.
【详解】∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE=3，
∴AB=2AE=6，
∴△ACB的面积为×AB×CE=×6×2=6，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂径定理的内容是解决问题的关键.
6. 若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，当（ ）时，．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．
【详解】解：∵，是一次函数图象上两个不同点，且，
∴与是异号，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故选：C．
7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）

A. 减少米B. 增加米C. 减少米D. 增加米
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，
∴，则，
∵米，米，则米，
∴，
设，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即，，米，
∴，
则，
∴米，
∴光源与小明的距离变化为：米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
8. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E在AB上，=，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. 2-2D. 2-4
【答案】C
【解析】
【分析】以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，然后过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，先求出OH和BH的长，则DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的长，进而可求出PD的最小值．
【详解】解：∵AB=，=，
∴，，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，，
∴OH=，，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=，
在Rt△DOG中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及圆的有关知识，解题的关键是作等边三角形 BEF及其外接⊙O．
二、填空题（本大题共8小题每小题3分，共24分．）
9. 因式分解：______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
10. 已知，代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11. 从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，无理数的定义，直接用无理数的个数除以数的总数即可得到答案．
【详解】解；，
数，，，，中，无理数有，，共2个，
∴从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为，
故答案为；．
12. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为______.
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
同理可证：，
∵，
即，
解得：；
故答案为：3．
13. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
在中，，
∴，
∴，；
∴；
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
14. 如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D， 则，
由题意得：，
∵，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴点，
代入中，得：，
∴故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接．若，的面积是2，则的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B作于E，设，先求出，证明，得到，即，由此可得；由的面积是2，，得到，求出，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵的面积是2，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
16. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题满分82分，共11小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握法则是解题关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到和x＜7，然后根据大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：x