江苏省南京市玄武区南京玄武外国语学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：
①；②
则下列说法正确的是（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①②均正确D. ①②均错误
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【详解】解：过作，交延长线于，如图所示：

若梯形为等腰梯形，即，时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，

，即，
又，
，
在中，，，则，
，此时①正确；
过作于，如图所示：

在中，，，，则，，
，此时②正确；
而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定，
无法保证①②正确，
故选：D．
【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
2. 在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A：，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B：，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
∴∥
四边形为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
3. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
4. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的对称轴为直线B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，，AG交BF于点H，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个．
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△AHE≌△BCF（AAS），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GEBF，即可判断②，由勾股定理可求BF的长，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判断③，由相似三角形的性质可求FH，CH，AO的长，即可求出，即可判断④．
【详解】解：如图，设BF与AE的交点为O，
设AB＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，
∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，
∴∠AOB＝90°＝∠AOH，
又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，
∴△AOH≌△AOB（ASA），
∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，
∴AE垂直平分BH，
∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，
∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正确；
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH，
∵ABCD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，
∴FG＝GH，
∵HE＝BE＝CE，
∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，
∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，
∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝ 90°，
∴∠GHC＝∠GCH，
∴CG＝GH，
∴FG＝GC＝GH＝a，
又∵CE＝BE，
∴GEBF，故②正确；
∵，
∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝，
故③正确；
∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，
∴△CFH∽△BFC，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，
∵sin∠ABF＝，
∴，
∵FG＝GC，
∴，
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6. 如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点K，得到四边形．下列说法中，错误的是（ ）
A. B.
C. 四边形是平行四边形D.
【答案】D
【解析】
【分析】，从而A正确；根据对称或全等得出B正确；根据，得出C正确；得出D错误．
【详解】解：如图，
四边形四边形，四边形四边形，四边形四边形，
，
故A正确；
顺次连接，连接，得，于是，
可得，所以，
故B正确；
由对称性可得：，
，
，
四边形是平行四边形，
故C正确；
四边形是平行四边形，
，
不一定平行于，
不一定等于，
不一定等于，
故D不正确，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质，中心对称及其性质的，全等图形判定等知识，解决问题的关键是掌握有关知识．
7. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
9. 如果是一个完全平方式，则______．
【答案】##6或-6##-6或6
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征列出的方程求得解即可．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
10. 观察下列运算并填空：
；
；
；
…
根据以上结果，猜想： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律是解题的关键．
11. 如图，中，已知是中点，则________
【答案】
【解析】
【分析】过点F作AE的平行线交BC的延长线于点H，易证△ABE∽△FCH，得出两个三角形的相似比，再根据GE∥FH，得出△BGE∽△BFH，可得，再根据，可得出，即可得出，得出答案.
【详解】过点F作AE的平行线交BC的延长线于点H，
∵AB∥FC，AE∥FH，
∴△ABE∽△FCH，
∵F为CD中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵GE∥FH，
∴△BGE∽△BFH，
∴，
∵，
∴，
∴
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查相似三角形的综合题型，根据题中的线段比例只有，所以要根据这两个式子构造相似三角形，所以本题作出辅助线，构造相似三角形是解题关键，要抓住平行四边形中有的平行线来构造相似三角形.
12. 如图，ABC和ADE均为等边三角形，CE的延长线交BD于点F，连接AF，有以下结论：①BD＝CE，②AF平分DFC，③FB＝FE，④FE+DF＝AF．其中正确结论的序号是_____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的性质和30°直角三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵ABC和ADE均为等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝CE，故①正确；
过A作AMBD于M，ANCF于N，
由（1）得，
∵，
∴，
∴AM=AN，
∵，都为直角三角形，
∴
∴，
∴
∴AF平分，故②正确；
当E与C点重合，F与B重合时，BF=0，
则EFBF，故③错误；
由②得AM=AN，
∵AMBD，ANCF，
∴和都为直角三角形，
∵
∴
∴MD=NE，，
∴，，
∴在含30°Rt和Rt中
，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、30°直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质进行运算．
13. 如图，菱形ABCD的边长为10，sinA＝，点M为边AD上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线BM的对称点为点A'，点N为线段CA'的中点，连接DN，则线段DN长度的最小值是_____．
【答案】﹣5．
【解析】
【分析】通过构造三边关系来求DN的最小值，根据A，A'关于直线BM对称，BA′＝10，取BC的中点K，NK是的中位线，NK=5，作DH⊥BC，根据sinA＝可求出DH=8，CH=6，在Rt△DHK中，由勾股定理求得DK的值，看△DNK根据三角形的三边关系即可求出答案．
【详解】解：如图，连接BA′，取BC的中点K，连接NK，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠A＝∠DCB，
∵A，A′关于BM对称，
∴BA′＝BA＝10，
∵CN＝NA′，CK＝BK，
∴NK＝BA′＝5，
∵sin∠A＝sin∠DCH＝＝，
∴DH＝8，
∴CH＝＝＝6，
∴CK＝KB＝5，
∴HK＝CH＝CK＝1，
∴DK＝＝＝，
∵DN≥DK﹣NK，
∴DN≥﹣5，
∴DN的最小值为﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了线段最值问题，属于压轴题，构造三角形三边关系方法是：①两边为定值，第三边是要求的线段；②往往取特殊点中点构造三角形，解决本题的关键是构造三角形，利用三角形三边关系．
14. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
【详解】解：（1）
；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1），图见解析；
（2）；
（3）人；
【解析】
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；
（3）用样本估计总体，用乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，本次调查的师生共有人，
∴“文明宣传”的人数为（人）
补全统计图，如图所示，

故答案为：．
【小问2详解】
在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为，
【小问3详解】
估计参加“文明宣传”项目的师生人数为（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点B的坐标为或或
（3）存在，m的值为2或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，与y轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，

∵，∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
【小问3详解】
解：存在常数m，使得．
根据题意，画出图形如下图，

设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
18. 观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝ ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：＝ ；
（3）探究并计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）归纳总结得到一般性结果即可；
（2）利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（3）利用拆项法则变形，计算即可得到结果．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：原式．
【小问3详解】
解：原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数运算的规律探索，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植．现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变．新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
（1）该大户今年新承租多少亩土地，才能使总收益为182400元？
（2）该大户今年应新承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？
【答案】（1）今年新承租亩或亩土地，才能使收益为182400元
（2）今年新承租110亩土地，可使总收益最大，最大为182600元
【解析】
【分析】（1）设今年新承租亩，根据题意，在原收益基础上，按照新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少元，使总收益为元时得到方程，解这个一元二次方程即可得到答案；
（2）由（1）可知，设今年新承租亩，收益为，得到，根据二次函数图像与性质求最值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设今年新承租亩，则，
整理得，即，
解得，，
答：今年新承租亩或亩土地，才能使收益为元；
【小问2详解】
解：设今年新承租亩，收益为，则
，二次函数图像开口向下，
当时，有最大值，为182600元，
答：今年新承租110亩土地，可使总收益最大，最大为182600元．
【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数解实际应用题，按照解应用题的步骤“设、列、解、答”，结合题目逐步分析列式是解决问题的关键．
20. 如图，在中，平分，E是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据等腰三角形的性质得到，由等角的补角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21. 在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点．
（1）数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论；
（2）如图，连接，若，请直接写出线段、、的数量关系为______；
（3）如图，在的条件下，连接，，若，的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）可证得是的中位线，从而得出，结合，进而得出结果；
（3）作于，于，取的中点，连接，，，可证得、、、四点共圆，从而，进而证明，从而，设，可得，从而得出，进而得出的长，设，，，根据，得出，从而解得的值，进一步得出结果．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，

故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，
作于，于，取的中点，连接，，，
，
、、、四点共圆，
，，
为的中位线，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
，
，
设，，，
，，
，
，

，
，
，
，
，

．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．