2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了0分，0分)，【答案】D，【答案】-6等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区景范中学九年级（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则a满足的条件是(    )
A. a>0 B. a≠0 C. a=1 D. a≥0
2. 若关于x的一元二次方程x2-mx+3=0有一根是3，则m的值是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是(    )
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 125°
4. 用配方法解一元二次方程2x2-7x+6=0，下面配方正确的是(    )
A. (x-74)2=9716 B. (x-74)2=116 C. (x-72)2=374 D. (x+74)2=116
5. 若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于(    )
A. 1：3 B. 1：3 C. 3：1 D. 3：1
6. 如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是(    )
A. 103
B. 163
C. 203
D. 233
7. 已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=3，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为           (    )
A.  4 B.  5 C.  6 D.  7
8. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法中：
①者a-b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2
其中正确的是(    )
A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是______．
10. 设x1，x2是方程x2+10x-2=0的两个根，则x1+x2-2x1x2=______．
11. 已知圆锥的底面积的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为______ ．
12. 某超市一月份的营业额为200万元，已知二月和三月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为______．
13. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD=6，BD=10，则OH的长为______．


14. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为______．


15. 如图，在四边形ACBD中，AB=BD=BC，AD//BC，若CD=4，AC=2，则AB的长为______．


16. 已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，点P为其所在平面内一点，PD=5，∠BPD=90°，则点A到BP的距离等于______．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
解方程：
(1)x2-16=0；
(2)x2-4x-12=0；
(3)2x2-4x-1=0．
18. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．
(1)若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为______；
(2)△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标是______；
(3)△ABC的外接圆的弧ABC的长是______．

19. (本小题6.0分)
已知关于x的方程：x2+ax+a-2=0．
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=7，求a的值．
20. (本小题6.0分)
如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC，求证：
(1)AD=BC；
(2)AE=CE．

21. (本小题6.0分)
某电脑批发店的一款鼠标进价为每个100元，现在的售价为每个150元，平均每天可卖出40个．经市场调查反映，售价每降价1元，则平均每天多卖出2个．若商场要实现日盈利额达到2400元，又能更好的让利给消费者，则鼠标售价为多少元？
22. (本小题7.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
(1)求证：∠AKD=∠CKF；
(2)已知AB=8，CD=43，求∠CKF的大小．

23. (本小题7.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP=AC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若AB=2+15，BC=4，求⊙O的半径．

24. (本小题7.0分)
如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作PC⊥l，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，设PC的长为x(20，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
∴c=0或ac+b+1=0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c=0，
∴a2x02+abx0+ac=0，
∴4a2x02+4abx0=-4ac，
∴4a2x02+4abx0+b2=b2-4ac，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确；
∴正确的有：①②④，
故选：D．
由ax2+bx+c=0有一个根是x=-1，知b2-4ac≥0，可判断①正确；由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，-4ac>0，可得b2-4ac>0，即得方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，有ax02+bx0+c=0，可得4a2x02+4abx0+b2=b2-4ac，从而判断④正确．
本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．

9.【答案】k≤1 
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即4-4k≥0，
解得，k≤1．
故答案是：k≤1．
根据根的判别式△=b2-4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△=b2-4ac的关系：
(1)△=b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△=b2-4acAD，不符合题意，舍去；
当PK=25时，AK=45，
∴DK=AD-AK=3-45=115，
∵∠DKP=∠BHA=90°，∠PDA=∠PBA，
∴△DPK∽△BAH，
∴AHAB=PKPD，即AH4=255，
∴AH=8525；
若点P'在CD的右侧，过点A作AH'⊥BP'于H'，过点P'作P'K'⊥CD于K'，
同理可得：△CP'K'∽△BDP，
∴CK'P'K'=BP'P'D=2，
∴CK'=2P'K'，
∴DK'=CD-CK'=4-2P'K'，
在Rt△DP'K'中，DK'2+P'K'2=P'D2，
∴(4-2P'K')+P'K'2=(5)2，
∴P'K'=1或115，
当P'K'=1时，CK'=2，DK'=2，
∴PT=4，
∵BP'⋅AH'=AB⋅P'T，即25AH'=4×4，
∴AH'=855；
当P'K'=115时，CK'=225>CD，不符合题意，舍去，
综上所述，点A到BP的距离等于8525或855；
故答案为：8525或855．
由题意可得点P在以D为圆心，5为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和性质及勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
本题考查矩形的性质，两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．

17.【答案】解：(1)x2-16=0，
x2=16，
x=±4，
所以x1=4，x2=-4，
(2)x2-4x-12=0，
(x-6)(x+2)=0，
x-6=0或x+2=0，
所以x1=6，x2=-2；
(3)2x2-4x-1=0．
x2-2x=12，
x2-2x+1=12+1，
(x-1)2=32，
x-1=±62，
所以x1=1+62，x2=1-62． 
【解析】(1)先移项得到x2=16，然后利用直接开平方法解方程；
(2)利用因式分解法把方程转化为x-6=0或x+2=0，然后解一次方程即可；
(3)利用配方法得到(x-1)2=32，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和配方法．

18.【答案】(5,5)  (7,0) 29π2 
【解析】解：(1)如图，点M即为所求，M(5,5)，
故答案为：(5,5)；
(2)△ABC的外接圆与x轴的另一个交点E坐标是(7,0)，
故答案为：(7,0)；
(3)连接MC，∵AM=CM=22+52=29，AC=32+72=58，
∴AM2+CM2=AC2，
∴∠AMC=90°，
∴△ABC的外接圆的弧ABC的长=90⋅π×29180=29π2，
故答案为：29π2．
(1)线段BC，AB的垂直平分线的交点M，即为△ABC的外接圆的圆心；
(2)根据垂径定理即可得到结论；
(3)根据勾股定理和弧长公式即可得到结论．
本题考查坐标与图形性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是连接三角形的外心是各边垂直平分线的交点．

19.【答案】解：(1)∵Δ=a2-4(a-2)
=a2-4a+8
=a2-4a+4+4
=(a-2)2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)∵方程x2+ax+a-2=0的两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=-a，x1x2=a-2，
∵x12+x22=7，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x1=(-a)2-2(a-2)=7，
解得：a=3或a=-1．
∴a的值为3或-1． 
【解析】(1)由判别式Δ>0即可证明；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=-a，x1x2=a-2，再由x12+x22=7得到关于a的方程，解方程则可求a的值．
本题考查一元二次方程的根；熟练掌握判别式确定根的存在情况，灵活应用根与系数的关系是解题的关键．

20.【答案】证明：(1)∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AC+BC=AD+AC，
∴AD=BC．

(2)∵AD=BC，
∴AD=BC，
∵∠ADE=∠CBE，∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE(AAS)，
∴AE=EC． 
【解析】(1)由AB=CD，推出AB=CD，推出AD=CD．
(2)证明△ADE≌△CBE可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

21.【答案】解：设鼠标售价为x元，则每个的销售利润为(x-100)元，平均每天可卖出40+2(150-x)=(340-2x)个，
依题意得：(x-100)(340-2x)=2400，
整理得：x2-270x+18200=0，
解得：x1=130，x2=140，
又∵要更好的让利给消费者，
∴x=130．
答：鼠标售价为130元． 
【解析】设鼠标售价为x元，则每个的销售利润为(x-100)元，平均每天可卖出(340-2x)个，利用总利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要更好的让利给消费者，即可得出鼠标售价为130元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接AD、AC，

∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC=180°，∠AKC+∠ADC=180°
∴∠CKF=∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF；
(2)解：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OD=OA=4，
∵弦CD⊥AB，CD=43，
∴DE=CE=12CD=23，
在Rt△ODE中，OE=OD2-DE2=2，
∴AE=6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE=623=3，
∴∠ADE=60°，
∵∠CKF=∠ADE=60°． 
【解析】(1)连接AD、AC.根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知∠CKF=∠ADC；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得∠ADC=∠AKD；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
(2)连接OD.利用垂径定理知DE=CE=12CD=23，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求得OE=2，最后在Rt△ADE中利用三角函数的定义求得tan∠ADE=3，由等量代换知∠CKF=60°．
此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

(2)解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，
∴BE=12BC=2，CE=23，
∵AB=2+15，
∴AE=AB-BE=15，
在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=33，
∴AP=AC=33．
在Rt△PAO中，OA=33OP=3，
∴⊙O的半径为3． 
【解析】(1)连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
(2)过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，于是得到BE=12BC=2，CE=23，根据勾股定理得到AC，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．

24.【答案】解：(1)∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥l，
又∵PC⊥l，
∴AB//PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PCA=∠APB，
∴△PCA∽△APB，
∴PC：AP=AP：AB，
∵PC=x=3，
∴3：AP=AP：4，
∴AP=23，
在Rt△APB中，PB=AB2-AP2=2；
(2)如图，过O作OE⊥PD，垂足为E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
在矩形OECA中，CE=OA=2，
∴PE=ED=x-2，
∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，
∴PD⋅PC=2(x-2)⋅(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，
∵2