2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市荣昌中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，则x等于( )
A. −1B. 1C. 9D. −9
2.已知|a|=|b|=3，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为32e，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对应的边，S△ABC=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2=12 (bc)2−(b2+c2−a22)2=12 (ac)2−(a2+c2−b22)2，若c2=2sinCsinA，csB=35，a>b>c，则利用“三斜求积术”求△ABC的面积为( )
A. 54B. 34C. 35D. 45
4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D点的位置，计算AB⋅AD的值为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
5.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，则△ABC的周长为( )
A. 15B. 12C. 16D. 20
6.在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，则AC=( )
A. 2 13B. 4C. 3 13D. 4 13
7.在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得AB⋅CE=0；②存在△ABC，使得CE//(CB+CA)；它们的成立情况是( )
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
8.在△ABC中，点D满足AD=13DB且CD⊥CB，则当角A最大时，csA的值为( )
A. −45B. 35C. 45D. 5 3434
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. AB+BA=0
B. 若a，b为单位向量，则a=b
C. 若a/​/b、b/​/c，则a/​/c
D. 对于两个非零向量a，b，若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,1)，c=(2,t)，下列说法正确的是( )
A. 若(a+b)//c，则t=6
B. 若(a+b)⊥c，t=23
C. |a+c|≥3
D. 若t<23，则a+b与c的夹角为钝角
11.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 若B=π3，a=2 3，且△ABC有两解，则b的取值范围是(3,2 3)
D. 若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设平面向量AB=(3,−6)，点A(−1,2)，则点B的坐标为______．
13.为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西 3km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要______分钟检查员开始收不到信号．
14.设e1，e2为单位向量，满足|2e1−e2|≤ 2，a=e1+e2，b=3e1+e2，设a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=5，|b|=4，(a+b)⊥b．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)求|2a+b|．
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，N是边AB的中点，且4BM=BC，设AM与CN交于点P.记AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AM，CN；
(2)若2|a|=|b|，且CP⊥AB，求〈a,b〉的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，已知3csinA=4bsinC，csC=23；
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若△ABC的面积为2 5，点D在线段AB上，且BD=2DA，求CD的长．
18.(本小题17分)
在△ABC中，AC= 13,D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC=150°，AD=2．
(1)求△DAC的面积；
(2)若∠ABC=120°，求BD的长．
19.(本小题17分)
已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O；a1,a2}.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对(x,y)，使得OP=xa1+ya2，则称实数对(x,y)为点P在斜坐标系{O；a1,a2}中的坐标．

今有斜坐标系{O；e1,e2}(长度单位为米，如图(2))，且|e1|=|e2|=1，〈e1,e2〉=120°，设Op=(1,2)
(1)计算|OP|的大小；
(2)质点甲在x上距O点4米的点A处，质点乙在y上距O点1米的点B处，现在甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用e1，e2，表示CD；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：平面向量a=(x,3),b=(3,1)，且a//b，
可得x=3×3=9．
故选：C．
直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
根据题意，设a与b的夹角为θ，由数量积的计算公式求出a⋅b，进而可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设a与b的夹角为θ，若向量a在向量b上的投影向量为32e，则a⋅b=32e⋅b=92，则有csθ=a⋅b|a|⋅|b|=12，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：因为c2=2sinCsinA，由正弦定理asinA=csinC得：c2=2ca，则ac=2，
又由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=35，得：a2+c2−b22=35ac=65，
则由“三斜求积术”得S△ABC=12 (ac)2−(a2+c2−b22)2=12 4−(65)2=45，
故选：D．
由正弦定理可得ac=2，由余弦定理可得a2+c2−b22=65，再结合已知“三斜求积术”即可求△ABC的面积．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：以A为原点，建立如图所示的坐标系，
则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，
平行四边形ABCD，则AB=DC，
设D(x,y)，
∴(4,1)=(6−x,4−y)，
∴4=6−x，1=4−y，
解得x=2，y=3，
∴D(2,3)，
∴AB⋅AD=2×4+3×1=11，
故选：B．
以A为原点，建立如图所示的坐标系，根据四边形为平行四边形可得AB=DC，即可求出D的坐标，再根据向量的数量积计算即可．
本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×5c× 32=154 3，解得c=3，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=52+32−2×5×3×(−12)=49，
所以a=7，则C△ABC=a+b+c=15．
故选：A．
由面积公式求出c，由余弦定理求出a，即可得解．
本题考查三角形面积公式的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=2 3，
所以在△ABM中，由余弦定理AM2=AB2+BM2−2AB⋅BM⋅csB，可得12=4+BM2−2×2×BM×12，整理可得BM2−2BM−8=0，
解得BM=4，或−2(舍去)，
所以BC=2BM=8，
所以由余弦定理可得AC= AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB= 22+82−2×2×8×12=2 13．
故选：A．
由题意在△ABM中，由余弦定理可得BM2−2BM−8=0，解方程可得BM的值，从而可求BC的值，进而由余弦定理可得AC的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：不妨设A(2x,2y)，B(−1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，
①AB=(−1−2x,−2y)，CE=(x−1,y)，
若AB⋅CE=0，则−(1+2x)(x−1)−2y2=0，即−(1+2x)(x−1)=2y2，
满足条件的(x,y)存在，例如(0, 22)，满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，(CB+CA)=2CF，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以CE与CG不共线，即②不成立．
故选：B．
设A(2x,2y)，B(−1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得(CB+CA)=2CF，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断②
本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC中，设三边长分别为a、b、c，∵点D满足AD=13DB∴AD=c4，BD=3c4，
Rt△BCD中，csB=aBD=4a3c．
△ABC中，由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac，∴a2+c2−b22ac=4a3c，∴a2=25(c2−b2).
csA=b2+c2−a22bc=4b2+c25bc．
由于A为锐角，当角A最大时，csA=4b2+c25bc 最小．
再利用基本不等式可得4b2+c25bc≥4bc5bc=45，当且仅当2b=c时，等号成立，
故csA的最小值为45，
故选：C．
由题意利用直角三角形中的边角关系求出csB的值，△ABC中利用余弦定理求得csB的值，可得a2=25(c2−b2)，可得csA的解析式，再利用基本不等式求出它的最小值，即为所求．
本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：选项A，根据相反向量，知AB+BA=0，
故A正确；
选项B，由a，b为单位向量，
即|a|=|b|=1，
而a，b方向不一定相同，
故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当b=0时，
则a/​/b，且b/​/c均成立，
而a，c为任意向量，它们不一定共线，
故C错误；
选项D，由|a+b|=|a−b|，
得|a+b|2=|a−b|2，
则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，
整理得a⋅b=0，
又已知a，b是两个非零向量，
故a⊥b．
故D正确．
故选：AD．
A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量a，b的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算，属中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：由a=(1,2),b=(−2,1),c=(2,t)，则a+b=(−1,3)，
对于A，若(a+b)//c，则−t−3×2=0，t=−6，故A错误；
对于B，若(a+b)⊥c，则−2+3t=0,t=23，故B正确；
对于C，a+c=(3,t+2),|a+c|= 9+(t+2)2≥3，故C正确；
对于D，若t<23，则cs〈a+b,c〉=(a+b)⋅c|a+b||c|=−2+3t 10 4+t2<0，
但(a+b)//c，t=−6<23，a+b与c的夹角为π，不是钝角，故D错误．
故选：BC．
根据a,b,c，由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、向量共线的坐标运算求解即可，判断选项．
本题考查平面向量数量积坐标运算、平面向量夹角、共线向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：选项A，因为acsA=bcsB，由正弦定理可得：a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac，
所以有a2(b2+c2−a2)=b2(a2+c2−b2)，
整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，
所以a=b或a2+b2=c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若△ABC为锐角三角形，所以A+B>π2，
所以π2>A>π2−B>0，
由正弦函数y=sinx在(0,π2)单调递增，则sinA>sin(π2−B)=csB，
故B正确．
选项C，如图，若△ABC有两解，则asinB所以3选项D，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1，
由S△ABC=S△ABD+S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，
即ac=a+c，得1a+1c=1，
得4a+c=(4a+c)(1a+1c)=ca+4ac+5≥2 ca⋅4ac+5=4+5=9，
当且仅当ca=4ac，即c=2a=3时，取等号，故D正确．
故选：BCD．
A项，用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；B项，由△ABC为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断C的真假；D项，根据三角形面积可得到1a+1c=1，将4a+c变为(4a+c)(1a+1c)，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】(2,−4)
【解析】解：平面向量AB=(3,−6)，点A(−1,2)，
设B(x,y)，
则AB=(x,y)−(−1,2)=(x+1,y−2)=(3,−6)，
∴点B的坐标为(2,−4)．
故答案为：(2,−4)．
由向量坐标运算法则能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】5
【解析】解：依题意，设A为考点，BD为公路，
设检查员行驶到公路上C点之间时收不到信号，
即公路上C两点到考点的距离为1千米，
在△ABC中，AB= 3千米，AC=1千米，∠ABC=30°，
由正弦定理，得sin∠ACB=sin30°AC×AB= 32，
所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意)，
所以∠BAC=30°，所以BC=AC=1，
因为BC12×60=5，
所以最长经过5分钟检查员开始收不到信号．
故答案为：5．
根据题意作出示意图，得到AC=1，利用正弦定理求得∠ACB的大小，进而求得BC，从而求得检查员行驶BC所需时间，由此得解．
本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
14.【答案】2829
【解析】解：因为e1，e2为单位向量，|2e1−e2|≤ 2，
所以4−4e1⋅e2+1≤2，
所以e1⋅e2≥34，
因为a=e1+e2，b=3e1+e2，a，b的夹角为θ，
所以cs2θ=(a⋅b)2a2⋅b2=(4+4e1⋅e2)2(2+2e1⋅e2)(10+6e1⋅e2)
=4(1+e1⋅e2)5+3e1⋅e2
=43(1−25+3e1⋅e2)
≥43(1−25+3×34)=2829，
故cs2θ的最小值为2829．
故答案为：2829．
根据已知及利用数量积的运算性质可得e1⋅e2≥34，利用夹角公式及不等式的性质即可求解cs2θ的最小值．
本题主要考查平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵(a+b)⊥b，|a|=5，|b|=4，
∴(a+b)⋅b=a⋅b+b2=0，
∴5×4×cs〈a,b〉+16=0，
∴cs〈a,b〉=−45；
(2)由(1)知a⋅b=5×4×(−45)=−16，
∴(2a+b)2=4a2+b2+4a⋅b=4×25+16+4×(−16)=52，
∴|2a+b|=2 13．
【解析】(1)根据向量垂直得到(a+b)⋅b=0，由数量积的定义及运算律计算可得；
(2)首先求出a⋅b，再根据数量积的运算律求出(2a+b)2，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)BC=AC−AB=b−a，
AM=AB+BM=AB+14BC
=a+14(b−a)=34a+14b，
CN=CA+AN=−AC+12AB=12a−b；
(2)∵N，P，C三点共线，又CP⊥AB，
∴CN⊥AB，
0=CN⋅AB=(12a−b)⋅a，即12|a|2=b⋅a，
∴12|a|2=|a||b|cs〈a,b〉=2|a|2cs〈a,b〉，
∴cs〈a,b〉=14，∴〈a,b〉的余弦值为14．
【解析】(1)根据平面向量的基底与三角形法则即可用a，b表示向量AM，CN；
(2)由CP⊥AB得CN⊥AB，代入向量数量积公式即可求得〈a,b〉的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
17.【答案】(1)证明：因为3csinA=4bsinC，由正弦定理可得3ca=4bc，即a=43b，
由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcsC，csC=23，即c2=169b2+b2−2×43b×b×23，
所以c=b，
所以△ABC为等腰三角形；
(2)解：因为csC=23，0又S△ABC=12absinC=12×43b2× 53=2 5，解得b=3(负值舍去)，
所以c=3，a=4，
又因为点D在线段AB上，且BD=2DA，
所以CD=CA+AD=CA+13AB=CA+13(CB−CA)=23CA+13CB，
所以CD2=(23CA+13CB)2，
则|CD|2=49|CA|2+19|CB|2+49|CA|⋅|CB|csC
=49b2+19a2+49a⋅bcsC=49×9+19×16+49×4×3×23=283，
所以CD的长为2 213．
【解析】(1)利用正弦定理将角化边即可得到a=43b，再由余弦定理求出c=b，即可得证；
(2)由面积公式求出b，即可得到a、c，又CD=23CA+13CB，根据数量积的运算律及定义计算可得．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△DAC中，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC，AC= 13，∠ADC=150°，AD=2，
即13=4+CD2+2 3CD，解得CD= 3(负值舍去)，
故S△DAC=12AD⋅CD⋅sin∠ADC=12×2× 3×12= 32；
(2)∵∠ABC=120°，BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠DBC=60°，
又∵∠ADC=150°，
∴∠DAB+∠DCB=360°−120°−150°=90°，
在△ABD中，BDsin∠DAB=ADsin∠DBA①，
在△DBC中，BDsin∠DCB=CDsin∠DBC②，
①÷②，得sin∠DCBsin∠DAB=ADCD=2 3，
∴sin∠DCBcs∠DCB=2 3，
又∵由三角函数的同角公式可知，sin2∠DCB+cs2∠DCB=1，且∠DCB∈(0,π2)，
∴sin∠DCB=2 7，
将sin∠DCB=2 7代入②，得BD2 7= 3 32，
∴BD=4 77．
【解析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，求出CD，再结合三角形的面积公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合三角形中角之间的关系，以及正弦定理，推出sin∠DCBcs∠DCB=2 3，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意，|e1|=|e2|=1，=120°，OP=e1+2e2，
∴|OP|= (e1+2e2)2
= e12+4e22+4e1⋅e2
= 1+4+4×1×1×(−12)= 3，
(2)①如图所示，OA=(4,0)，OB=(0,1)，
由题意，甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动，
则2小时后，OC=(−2,0)，OD=(0,7)，
∴CD=OD−OC=7e2−(−2e1)=2e1+7e2．
②由①知，两质点运动t小时后，OM=(4−3t)e1，ON=(1+3t)e2，
则MN=ON−OM=(1+3t)e2−(4−3t)e1，
∴|MN|= (1+3t)2+(4−3t)2−2(1+3t)(4−3t)×(−12)
= 9t2−9t+21= 9(t−12)2+754，
当t=12时，|MN|min=5 32，
即两质点同时移动12小时后，相距最短，最短距离为5 32米．
【解析】斜坐标系可以类比直角坐标系得出向量坐标，在计算时注意基底的数量积不再是0，夹角是120°，利用数量积的性质把向量模的问题转化为向量的数量积进行运算即可．
本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．