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高考数学专题三数列 微专题22 数列的递推关系课件PPT
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这是一份高考数学专题三数列 微专题22 数列的递推关系课件PPT,共60页。PPT课件主要包含了n+1-1,n-2n,·2n-2n-3,典例3,跟踪训练3,所以a1=1,故选项D正确,故选项B错误,+4n-6,又a1-4+6=3等内容,欢迎下载使用。
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点,通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查.难度中等,但有时在同一个题目中会涉及多种方法,综合性较强.
考点一 形如an+1=pan+f(n)型
典例1 (1)已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,则an=__________.
由题意知an+1=2an+1,在等式两边同时加1得an+1+1=2an+2=2(an+1),
∴an+1=4·2n-1=2n+1,∴an=2n+1-1.
(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,则an=________.
设an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n),对比系数求得λ=-1,∴数列{an-3n}是以a1-3=-2为首项,2为公比的等比数列,an-3n=(-2)·2n=-2n,∴an=3n-2n.
跟踪训练1 (1)已知在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n+1,则an=______________.
由题意知an+1=2an+2n+1,等式左右同加2(n+1)+3得an+1+2(n+1)+3=2an+2n+1+2(n+1)+3=2an+4n+6=2(an+2n+3),
∴an+2n+3=3·2n,化简得an=3·2n-2n-3.
3·2n-n2-n-3
(2)已知在数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n2-n+1,则通项公式an=________________.
设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z),
所以an+n2+n+3=6·2n-1=3·2n,故an=3·2n-n2-n-3.
典例2 (2023·潍坊模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=a2=1,an=2an-1+3an-2(n≥3),则下列结论正确的是A.数列{an-an+1}为等比数列B.数列{an+1+2an}为等比数列
考点二 形如an+1=pan+qan-1型
由题意得a3=2a2+3a1=5,a4=2a3+3a2=10+3=13,由于a1-a2=0,故数列{an-an+1}不是等比数列,A错误;a2+2a1=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,
当n≥3时,an=2an-1+3an-2,即an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=1+1=2,故{an+1+an}是首项为2,公比为3的等比数列,故an+1+an=2×3n-1,故a2+a1=2,a4+a3=2×32,…,a40+a39=2×338,
因为an+1+an=2×3n-1,所以an+2+an+1=2×3n,两式相减得an+2-an=2·3n-2·3n-1=4·3n-1,当n=2k时,a2k-a2k-2=4×32k-3,a2k-2-a2k-4=4×32k-5,…,a4-a2=4×3,
当n=2k-1时,a2k-1-a2k-3=4×32k-4,a2k-3-a2k-5=4×32k-6,…,a3-a1=4×30,
跟踪训练2 (多选)(2023·吉安模拟)在数列{an}中,若a1=0,a2=1,2an+2=an+1+an(n∈N*),则下列结论正确的是A.{an+1-an}是等比数列B.a11=C.0≤an≤1D.a8…,故Sn-Sm=3+4+3=10时,Sn-Sm取得最大值,最大值为10,故D正确.
6.(多选)(2023·岳阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*),则下列结论正确的是A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4
∵Sn+1=2Sn+n-1,∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n),又S1+1=2≠0,∴数列{Sn+n}是首项和公比都为2的等比数列,故选项A正确;Sn+n=2n,∴2Sn=2n+1-2n,
Sn+n=2n,∴Sn=2n-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,当n=1时,a1=1,
∴数列{an+1}不是等比数列,故选项C错误.
8.在数列{an}中,若a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1,则数列{an}的通项公式为________________.
an=3·2n-1-2
∵an+2+2an=3an+1,∴an+2-an+1=2an+1-2an=2(an+1-an),∴{an+1-an}为等比数列,首项为a2-a1=3,公比为2,∴an+1-an=3·2n-1,∵a2-a1=3,a3-a2=6,a4-a3=12,…,an-an-1=3·2n-2(n≥2),
又a1=1,∴an=3·2n-1-2(n≥2),又a1=1符合上式,所以an=3·2n-1-2.
9.(2023·泉州模拟)设数列{an}满足a1=3,an=2an-1-n+2(n≥2).(1)证明:数列{an-n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
∵a1=3,an=2an-1-n+2(n≥2),∴an-n=2[an-1-(n-1)],
∴数列{an-n}是首项为a1-1=2,公比为2的等比数列,∴an-n=2n,则an=2n+n.
(2)数列{bn}满足an=2nbn,求b1+b2+b3+…+bn的值.
(2)求数列{bn}的通项公式;
即比较2n+1-1与n2+n的大小.当n=1时,21+1-1=3,12+1=2,有3>2;当n=2时,22+1-1=7,22+2=6,有7>6;当n=3时,23+1-1=15,32+3=12,有15>12,猜想2n+1-1>n2+n,下面证明:
=2+2(n+1)+(n+1)n-1>n2+n,∴对于任意的n∈N*都成立,∴bn+12x-1-2>0,g(x)即f′(x)在[4,+∞)上单调递增,
∴f(x)在[4,+∞)上单调递增,
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