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    湖南省岳阳市第十二中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试卷
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    湖南省岳阳市第十二中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试卷

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    这是一份湖南省岳阳市第十二中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试卷,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)下列是关于x的一元二次方程的是( )
    A.B.x(x+6)=0
    C.a2x﹣5=0D.4x﹣x3=2
    2.(3分)某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两组数据,其方差分别为s甲2=0.002、s乙2=0.03,则( )
    A.甲比乙的产量稳定
    B.乙比甲的产量稳定
    C.甲、乙的产量一样稳定
    D.无法确定哪一品种的产量更稳定
    3.(3分)若∠A为锐角,且sinA=,则csA等于( )
    A.1B.C.D.
    4.(3分)线段AB=8,P是AB的黄金分割点,且AP<BP( )
    A.4﹣4B.8+8C.8﹣8D.4+4
    5.(3分)怎样移动抛物线就可以得到抛物线( )
    A.左移1个单位、上移2个单位
    B.左移1个单位、下移2个单位
    C.右移1个单位、上移2个单位
    D.右移1个单位、下移2个单位
    6.(3分)如图,河堤的横断面迎水坡AB的坡比是,堤高BC=6m( )
    A.10mB.C.D.
    7.(3分)如图所示,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49( )
    A.B.C.D.
    8.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=(2,0),下列说法:①abc>0;②a+b=0;④若(﹣2020,y1),(2022,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2;⑤b>m(am+b),(其中m≠);其中说法正确的是( )
    A.①②③B.②④⑤C.②③④D.①④⑤
    二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
    9.(3分)已知=,则的值是 .
    10.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,则csA的值为 .
    11.(3分)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若,DE=6,则DF的长为 .
    12.(3分)在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1的相似比等于,并且是关于原点O的位似图形,若点A的坐标为(2,4)1的坐标是 .
    13.(3分)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.若蓄电池电流为3A时 Ω.
    14.(3分)若点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数(K为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为 .
    15.(3分)如图,在△ABC中,点D,AC上,∠AED=∠BAC,若四边形BCED的面积为7 .
    16.(3分)如图,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4,则AP+OP的最小值等于 .
    三、解答题(本大题共9个小题,共72分)
    17.(6分)(1)计算:2sin30°+tan45°+sin245°+cs245°;
    (2)解方程:x2﹣3x=x﹣4.
    18.(6分)如图,在△ABC与△ADE中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△ABC∽△ADE.
    19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(2m+1)=0有实数根.
    (1)求m的取值范围;
    (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范围.
    20.(8分)某学校为了进一步丰富学生的体育活动,欲增购一些体育器材,为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)(不完整):请根据图中提供的信息完成下列问题:
    (1)在这次问卷调查中,一共抽查了 名学生,并在图中补全条形统计图.
    (2)如果全校有3600名学生,那么全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有多少人?
    21.(8分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,3),B(n,2)
    (1)求一次函数表达式和反比例函数表达式;
    (2)直接写出关于x的不等式kx+b<的解集;
    (3)求△AOB的面积.
    22.(8分)2023年杭州亚运会胜利闭幕,本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌,位居奖牌榜第一位,买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛,成为了体育迷们的“仪式感”.商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤,四月份的销售量为192件,六月份的销售量为300件.
    (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率.
    (2)从七月份起,商场决定采用降价销售回馈顾客,经试验,每降1元,月销售量就会增加20件.如何定价才能使利润最大?
    23.(8分)“五一”节期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,BF=3m.
    (1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1m);
    (2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1m).
    (参考数据:sin65°≈0.90,cs65°≈0.42,tan65°≈2.14,≈1.41)
    24.(10分)综合与实践
    如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发,同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发,沿CA方向向终点A匀速运动
    (1)求AQ的长(用含t的代数式表示).
    (2)当t=3秒时,求△APQ的面积.
    (3)如图2,连结BQ,当△BPQ为直角三角形时
    25.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(﹣1,0)、B(4,0)两点,连接BC,直线BM:y=2x+m交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点,分别交直线BC、BM于点E、F.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)当点P落在抛物线的对称轴上时,求△PBC的面积;
    (3)若点N为y轴上一动点,当四边形BENF为矩形时,求点N的坐标.
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
    1.(3分)下列是关于x的一元二次方程的是( )
    A.B.x(x+6)=0
    C.a2x﹣5=0D.4x﹣x3=2
    【解答】解:A、该方程是分式方程,故本选项不符合题意;
    B、该方程是关于x的一元二次方程;
    C、当a=0时,故本选项不符合题意;
    D、该方程是关于x的一元三次方程;
    故选:B.
    2.(3分)某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两组数据,其方差分别为s甲2=0.002、s乙2=0.03,则( )
    A.甲比乙的产量稳定
    B.乙比甲的产量稳定
    C.甲、乙的产量一样稳定
    D.无法确定哪一品种的产量更稳定
    【解答】解:∵s甲2=0.002、s乙4=0.03,
    ∴s甲2<s乙3,
    ∴甲比乙的产量稳定.
    故选:A.
    3.(3分)若∠A为锐角,且sinA=,则csA等于( )
    A.1B.C.D.
    【解答】解:∵∠A为锐角,且sinA=,
    ∴∠A=60°,
    ∴csA=cs60°=,
    故选:D.
    4.(3分)线段AB=8,P是AB的黄金分割点,且AP<BP( )
    A.4﹣4B.8+8C.8﹣8D.4+4
    【解答】解:∵线段AB=8,P是AB的黄金分割点,
    ∴BP=AB=﹣7.
    故选:A.
    5.(3分)怎样移动抛物线就可以得到抛物线( )
    A.左移1个单位、上移2个单位
    B.左移1个单位、下移2个单位
    C.右移1个单位、上移2个单位
    D.右移1个单位、下移2个单位
    【解答】解:将抛物线先向左平移1个单位(x+1)2﹣7,
    故选:B.
    6.(3分)如图,河堤的横断面迎水坡AB的坡比是,堤高BC=6m( )
    A.10mB.C.D.
    【解答】解:∵迎水坡AB的坡度,
    ∴,
    ∴(米),
    在Rt△ABC中,由勾股定理得,,
    故选:C.
    7.(3分)如图所示,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49( )
    A.B.C.D.
    【解答】解:如图,
    ∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,
    ∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,
    在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
    即AC2+(5+AC)2=132,
    整理得,AC4+7AC﹣60=0,
    解得AC=4,AC=﹣12(舍去),
    ∴BC==12,
    ∴sinα==,csα==,
    ∴sinα•csα=×=,
    故选:B.
    8.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=(2,0),下列说法:①abc>0;②a+b=0;④若(﹣2020,y1),(2022,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2;⑤b>m(am+b),(其中m≠);其中说法正确的是( )
    A.①②③B.②④⑤C.②③④D.①④⑤
    【解答】解:∵抛物线开口向下,
    ∴a<0,
    ∵抛物线的对称轴为,
    ∴,
    ∴b=﹣a>0,
    ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上,
    ∴c>0,
    ∴abc<7,故①错误;
    ∵b=﹣a>0,
    ∴a+b=0,故②正确;
    ∵抛物线过点(8,0),
    ∴4a+3b+c=0,故③错误;
    ∵抛物线的对称轴为,
    ∴点(﹣2020,y1)与点(2021,y1)对称,
    ∵a<8,2021<2022,
    ∴y1>y2,故④正确;
    当时,函数有最大值,
    当x=m时,y=am7+bm+c,
    ∵,
    ∴,即,故⑤正确.
    故选:B.
    二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
    9.(3分)已知=,则的值是 .
    【解答】解:由分比性质,得==,
    故答案为:.
    10.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,则csA的值为 .
    【解答】解:∵∠C=90°,AC=5,
    ∴AB===13,
    ∴csA==,
    故答案为:.
    11.(3分)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若,DE=6,则DF的长为 15 .
    【解答】解:∵l1∥l2∥l8,
    ∴==,
    ∵DE=5,
    ∴EF=9,
    ∴DF=EF+DE=9+7=15.
    故答案为:15.
    12.(3分)在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1的相似比等于,并且是关于原点O的位似图形,若点A的坐标为(2,4)1的坐标是 (4,8)或(﹣4,﹣8) .
    【解答】解:∵△ABC和△A1B1C5的相似比等于,并且是关于原点O的位似图形,
    而点A的坐标为(3,4),
    ∴点A对应点A1的坐标为(4×2,2×5)或(﹣2×2,
    即(7,8)或(﹣4.
    故答案为(2,8)或(﹣4.
    13.(3分)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.若蓄电池电流为3A时 12 Ω.
    【解答】解:设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=,
    ∵过(4,9),
    ∴k=6×9=36,
    ∴I=,
    当蓄电池电流为3A时,
    8=,
    解得:R=12.
    故答案为:12.
    14.(3分)若点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数(K为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为 y3>y1>y2 .
    【解答】解:∵k2+1>2,
    ∴反比例函数(k为常数)的图象位于一,且在每个象限内y随x的增大而减小,
    ∵点A(﹣5,y1),B(﹣1,y2),C(1,y3)在反比例函数(k为常数)的图象上,
    ∴点A(﹣2,y5)、点B(﹣1,y2)位于第三象限,C(5,y3)位于第一象限,
    ∴y2<y8<0,y3>3,
    ∴y3>y1>y8,
    故答案为:y3>y1>y2.
    15.(3分)如图,在△ABC中,点D,AC上,∠AED=∠BAC,若四边形BCED的面积为7 9 .
    【解答】解:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
    ∴△DAE∽△CAB,
    ∵AD=,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵四边形BCED的面积为7,
    ∴S△ABC=16,
    ∴S△ADE=9.
    故答案为:2.
    16.(3分)如图,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4,则AP+OP的最小值等于 4 .
    【解答】解:如图,连接AC交OB于点M,过点A作AG⊥OC于点G,
    ∵四边形ABCO是菱形,边长为5,
    ∴AC⊥OB,OA=AB=BC=CO=3OB=8,,
    ∴AM=MC===,
    ∴AC=4AM=2,
    ∵MH⊥OC,AC⊥OB,
    ∴,
    ∴×8×=,
    ∴MH=2,
    ∵sin∠MOH====,
    即PG=OP,
    ∴AP+OP=AP+PG,
    ∴当A,P,G三点共线且AG⊥OC时OP取最小值,
    ∵菱形ABCO的面积=,
    ∴AG===4,
    ∴AP+OP的最小值是4.
    故答案为:4.
    三、解答题(本大题共9个小题,共72分)
    17.(6分)(1)计算:2sin30°+tan45°+sin245°+cs245°;
    (2)解方程:x2﹣3x=x﹣4.
    【解答】解:(1)2sin30°+tan45°+sin245°+cs545°
    =2×+1+1
    =7;
    (2)原方程可化为x2﹣4x+5=0,
    ∵a=1,b=﹣3,x=,
    ∴Δ=b2﹣4ac=6,
    ∴原方程有两个相等的实根,x1=x2=﹣=2.
    18.(6分)如图,在△ABC与△ADE中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△ABC∽△ADE.
    【解答】解:∵∠EAC=∠DAB,
    ∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,
    ∴∠BAC=∠DAE,
    ∵,
    ∴△ABC∽△ADE.
    19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(2m+1)=0有实数根.
    (1)求m的取值范围;
    (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范围.
    【解答】解:(1)根据题意得Δ=(﹣6)2﹣4(2m+1)≥2,
    解得m≤4;
    (2)根据题意得x1+x4=6,x1x6=2m+1,
    而7x1x2+x3+x2≥20,
    所以2(7m+1)+6≥20,解得m≥5,
    而m≤4,
    所以m的范围为3≤m≤2.
    20.(8分)某学校为了进一步丰富学生的体育活动,欲增购一些体育器材,为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查(每人只选一项)(不完整):请根据图中提供的信息完成下列问题:
    (1)在这次问卷调查中,一共抽查了 200 名学生,并在图中补全条形统计图.
    (2)如果全校有3600名学生,那么全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有多少人?
    【解答】解:(1)在这次问卷调查中,一共抽查学生:80÷40%=200(名),
    跳绳人数为200﹣80﹣30﹣40=50(人),
    补全条形统计图如下:
    故答案为:200;
    (2)3600×=540(人),
    答:全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有540人.
    21.(8分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,3),B(n,2)
    (1)求一次函数表达式和反比例函数表达式;
    (2)直接写出关于x的不等式kx+b<的解集;
    (3)求△AOB的面积.
    【解答】解:(1)把A(1,3)代入,
    ∴反比例函数的解析式为y=;
    把B(n,2)代入y=,
    ∴B(,2),
    把A(1,6),2)代入y=kx+b,
    解得:,
    ∴一次函数的解析式为y=﹣2x+5;
    (2)观察图象,关于x的不等式kx+b<;
    (3)令y=0,即﹣3x+5=0,
    解得:x=,
    ∴C(,0),
    ∴S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=×5﹣.
    22.(8分)2023年杭州亚运会胜利闭幕,本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌,位居奖牌榜第一位,买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛,成为了体育迷们的“仪式感”.商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤,四月份的销售量为192件,六月份的销售量为300件.
    (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率.
    (2)从七月份起,商场决定采用降价销售回馈顾客,经试验,每降1元,月销售量就会增加20件.如何定价才能使利润最大?
    【解答】解:(1)设4月份到6月销售量的月平均增长率为a,
    则192(4+a)2=300,
    解得:,(舍去),
    答:4月份到8月份销售量的月平均增长率为25%;
    (2)设定价为x元,利润为y元,
    则y=(x﹣40)[300+20(60﹣x)]=﹣20x2+2300x﹣60000,
    对称轴为,
    ∵﹣20<0,
    ∴当x=57.5时,y有最大值,
    ∴定价为57.6元时利润最大.
    23.(8分)“五一”节期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,BF=3m.
    (1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1m);
    (2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1m).
    (参考数据:sin65°≈0.90,cs65°≈0.42,tan65°≈2.14,≈1.41)
    【解答】解:(1)由对称知,CD=2OD,∠AOD=90°,
    在Rt△AOD中,∠OAD=α=65°,
    ∴sinα=,
    ∴OD=AD•sinα=2×sin65°≈5×0.90=1.80m,
    ∴CD=6OD=3.6m,
    答:遮阳宽度CD约为6.6米;
    (2)如图,
    过点E作EH⊥AB于H,
    ∴∠BHE=90°,
    ∵AB⊥BF,EF⊥BF,
    ∴∠ABF=∠EFB=90°,
    ∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
    ∴EH=BF=3m,
    在Rt△AHE中,tana=,
    ∴AH=,
    当∠α=65°时,AH=≈,
    当∠α=45°时,AH=,
    ∴当∠α从65°减少到45°时,点E下降的高度约为3﹣1.40=4.6m.
    24.(10分)综合与实践
    如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发,同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发,沿CA方向向终点A匀速运动
    (1)求AQ的长(用含t的代数式表示).
    (2)当t=3秒时,求△APQ的面积.
    (3)如图2,连结BQ,当△BPQ为直角三角形时
    【解答】解:(1)∵∠C=90°,AB=10,
    ∴AC===8,
    ∵CQ=6×t=t,
    ∴AQ=AC﹣CQ=8﹣t,
    ∴AQ的长为8﹣t.
    (2)如图7,作PD⊥AC于点D,
    ∵t=3秒,
    ∴AP=2t=8×3=6,AQ=5﹣t=8﹣3=5,
    ∵==sinA==,
    ∴PD=AP=,
    ∴S△APQ=AQ•PD==9,
    ∴△APQ的面积是8.
    (3)如图2,△BPQ为直角三角形,则∠APQ=90°,
    ∵=csA===,
    ∴AP=AQ,
    ∴2t=(8﹣t),
    解得t=;
    如图4,△BPQ为直角三角形,作PE⊥AC于点E,
    ∵∠PEQ=∠PEA=∠C=90°,
    ∴∠EQP=∠CBQ=90°﹣∠BQC,
    ∴=tan∠EQP=tan∠CBQ=,
    ∵=sinA=,,
    ∴PE=AP=t,AE=×6t=t,
    ∴QE=AQ﹣AE=6﹣t﹣t=8﹣t,
    ∴=,
    解得t=;
    ∵∠PBQ≤∠ABC,且∠ABC是锐角,
    ∴∠PBQ是锐角,
    ∴不存在以∠BPQ为直角的直角三角形BPQ,
    综上所述,t的值为或.
    25.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(﹣1,0)、B(4,0)两点,连接BC,直线BM:y=2x+m交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点,分别交直线BC、BM于点E、F.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)当点P落在抛物线的对称轴上时,求△PBC的面积;
    (3)若点N为y轴上一动点,当四边形BENF为矩形时,求点N的坐标.
    【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1、B(4,
    ∴抛物线的表达式为:,
    ∴;
    (2)∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵B(4,0),5),
    ∴直线BC的表达式为:,
    把代入,
    ∴;
    ∵点P落在抛物线的对称轴上,
    ∴P为抛物线的顶点,
    ∵,
    ∴,
    在中,令x=4得y=2,
    ∴C(0,8)
    由B(4,0),6)得直线BC的表达式为y=﹣,
    把x=代入y=﹣,
    ∴E(,),
    ∴PE=﹣=,
    ∴S△PBC=PE•|xB﹣xC|=××4=,
    答:△PBC的面积是;
    (3)过点N作NG⊥EF于点G,如图1:
    ∵y=2x+m过点B(8,0),
    ∴0=7×4+m,
    解得m=﹣8,
    ∴直线BM的表达式为:y=8x﹣8,
    ∴M(0,﹣2),
    设E(a,﹣a+5),2a﹣8),
    ∵四边形BENF为矩形,
    ∴∠NEG=∠BFH,NE=BF,
    在△NEG和△BFH中,

    ∴△NEG≌△BFH(AAS),
    ∴NG=BH,EG=FH,
    而NG=a,BH=OB﹣OH=6﹣a,
    ∴a=4﹣a,
    解得a=2,
    ∴F(6,﹣4),1),
    ∴EH=5,
    ∵EG=FH,
    ∴EF﹣EG=EF﹣FH,即GF=EH=1,
    ∵F(2,﹣5),
    ∴G(2,﹣3),
    ∴N(3,﹣3).
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