初中数学沪科版八年级下册16.1 二次根式教案

这是一份初中数学沪科版八年级下册16.1 二次根式教案，共50页。教案主要包含了师生活动等内容，欢迎下载使用。
单 元 备 课
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
16.2 二次根式
第2课时 二次根式的性质
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
16.2 二次根式的运算
16.2.1 二次根式的乘除
第3课时 二次根式比较大小
16.2 二次根式的运算
16.2.2 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
16.2 二次根式的运算
16.2.2 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
第 1单元
本单元所需课时数
8课时
课标要求
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
教材分析
本章是在第6章《实数》的基础上进一步研究二次根式的知识。它与已学内容“实数”“整式”联系紧密，同时也是后面的“勾股定理”，“一元二次方程”，“二次函数”等内容的重要基础。通过本章学习，学生将加深对二次根式概念的认识，通过学习二次根式的四则运算法则，对实数的四则运算有进一步的了解。因此，教学时应充分注意在“实数”一章的基础上进行，并加深对平方根和算术平方根的概念、无理数和实数的概念以及运算等的理解和应用.
主要内容
本章的主要内容是二次根式的相关概念、性质，二次根式的运算和运算法则。主要包括两节：第16.1节“二次根式”引入二次根式的概念，研究二次根式的基本性质，第16.2节“二次根式的运算”引导学生归纳总结二次根式的乘法法则、除法法则，并引入最简二次根式、同类二次根式的概念，进而学习二次根式的加减运算及运算法则。
教学目标
1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.理解最简二次根式、同类二次根式的概念。
3.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算.
课时分配
16.1 二次根式 2课时
16.2 二次根式的运算 5课时
教学活动
小结·评价 1课时
教与学建议
1.注意代数学的整体性。
2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程。
3.加强运算技能训练，提高运算能力。
课题
二次根式的概念
课型
新授课
教学内容
教材第2-5页的内容
教学目标
1.经历二次根式概念的探索和形成过程，了解二次根式是开平方运算引出的结果；
2.理解二次根式中被开方数a的实际意义，即a是非负数，以及的非负性.
教学重难点
教学重点：经历二次根式概念的探索和形成过程.
教学难点：理解二次根式中a的取值范围.
教 学 过 程
备 注
复习回顾，引入课题
教师活动：教师通过提问引导学生回顾已学知识，并举例说明.
【问题1】什么是一个数的平方根？如何表示？
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做二次方根.用表示.
（1）16的平方根是 ；±4
（2）0的平方根是 ； 0
（3）5的平方根是 ；
（4）–7有平方根吗？ 没有
【问题2】平方根的性质是什么？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；
负数没有平方根.
【师生活动】学生回答．教师引导学生回顾平方根的概念和性质。
【问题3】什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个数的算术平方根，用表示.
（1）16的算术平方根是 ；4
（2）0的算术平方根是 ； 0
（3）的算术平方根是 ；
【问题4】算术平方根的性质是什么？
一个正数有一个算术平方根；
0的算术平方根为0；
负数没有算术平方根.
【师生活动】学生思考回答．教师引导学生回顾算术平方根的概念和性质，并注意回顾平方根和算术平方根之间的联系。2.归纳总结，理解概念
教师活动：教师举出生活中的实例，先让学生自主思考作答，再一起探究写出的结果的共同特征，引出二次根式的概念，并鼓励学生用自己的语言描述概念.
【问题5】用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
如图①为正方形图片,若面积为2 m²，则边长为 m
如图②为长方形游泳池，若长是宽的2倍，面积为110 m2，则它的宽为 m.
（3）如图③为圆形花坛，花坛的面积为S(单位：m²) ，若用含S的式子表示半径r，则r应该表示为 m.
① ② ③
答案：，，.
【问题6】
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
答案：（1）分别表示，，的算术平方根.
（2）①都含有“”；②被开方数均为非负数.
【师生活动】学生回答，给出正确答案后，让学生思考并尝试归纳总结二次根式的特征，并尝试用语言描述二次根式的概念。教师针对学生的回答进行补充并给出二次根式的定义。
【归纳】
二次根式的定义
我们把形如的式子叫做二次根式.
符号叫做二次根号，a叫做被开方数.
两个必备特征：
外在特征：含有“”；
内在特征：被开方数a≥0.
两个特征缺一不可.
【想一想】
【问题7】 请你根据已有的知识，说说对的认识。
二次根式的特点：
1.表示a的算术平方根
2.二次根式从形式上看，必须含有“”
3.a≥0，（二次根式具有双重非负性）
4.被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数，若a代数式，则这个代数式的值必须是非负的
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的概念
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

【师生活动】教师让学生思考判断，并说出是或不是的原因。
对于(4)(5)(6)3个式子，部分学生可能会不太确定，教师对此类型的式子进行具体讲解和补充。
答案：(1)(5)(6)是二次根式，(2)(3)(4)不是二次根式.
如何判断一个式子是否为二次根式：
【延伸】
对二次根式的进一步认识：
①从形式上看必须含有“”；
②二次根式实质上是非负数的算术平方根；
③a既可以是一个数，也可以是一个式子；
④a≥0，且；
⑤形如的式子也是二次根式.
【思考】当a为何值时，下列根式有意义？
（1） （2）
分析：（1） a–2 ≥ 0 → a ≥2
（2） 2–3a ≥ 0 →
总结：二次根式有意义的条件：被开方数≥0
考点2 二次根式有意义的条件
【例2】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）； （2）.
解：（1）要使有意义，必须x+3≥0.
解这个不等式，得x≥–3.
即当x≥–3时，在实数范围内有意义.
（2） 因为x为任何实数时都有x2≥0.
所以当x为一切实数时，在实数范围内都有意义.
【变式】当x是什么实数时，下列各式有意义？

（3）
提示：①被开方数≥0.
②若分母中有字母，保证分母不等于0.
解：（1）由x+4≥0且x-2≠0，得x≥-4且x≠2；
（2）由6-2x>0得x0时，，
当a=0时，，
当a0，b>0）.
【追问】对于上面的式子，只能取正数吗？
不是，0同样适用. 因为非负数都有算术平方根.所以a≥0，b≥0.
【追问】这个猜想正确吗？能否证明这个猜想？
证明：因为当a≥0，b≥时，
又 ，
ab的算术平方根只有一个，所以
【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：
二次根式的性质3
如果a≥0，b≥0，那么有
文字语言：算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
由等式对称性，性质3也可以写成
文字语言：积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
【做一做】
判断下列各式是否正确？
答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)√.
【师生活动】学生独立完成，找学生代表进行回答，并解释正确与否的原因，教师针对学生回答情况进行补充。
【想一想】
现在你能算出长方形游泳池的面积吗？

长方形游泳池的面积为 m2.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的乘法运算
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)

(2)

小结：二次根式的运算过程中，可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简.
【拓展】
二次根式的乘法
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；根式与根式相乘，被开方数相乘的积作为积的被开方数.
考点2 逆用性质3（即）行化简
【例2】化简：
（1）； （2）；
（3） ； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3） ；
（4）.
【归纳】
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数)
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.
4.随堂训练，巩固新知
1.计算：
解：
2.化简：
解：
3.计算：
解：.
【拓展】
二次根式的乘法法则的推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用，即

5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）二次根式在进行乘法运算和化简时需要注意什么？
6.布置作业
教科书第12页习题16.2第1、2(1)(2) 题
通过对二次根式性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础.
通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，让学生体会二次根式乘法运算的应用价值，自然的提出二次根式的乘法问题.
要让学生自己计算，通过观察分析得出结论,引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的乘法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力，
帮助学生分析的必要性，注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.
通过证明熟悉性质3的推导过程，领会数学的严谨性.
通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及积的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力.
性质3的正用、逆用，逆用性质3可以对二次根式进行化简，注意化简后的结果一定是非负的.
通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的乘法法则，培养应用意识.
例1（1）进行的二次根式的乘法运算，在计算过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质
例2(2)属于复合二次根式的乘法运算，可类比整式的乘法中单项式与单项式相乘的运算法则进行计算.
利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方进行开平方计算，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
考查性质3
考查性质3的逆用
性质3的拓展应用
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）和逆用（积的算术平方根的性质）
板书设计
二次根式的乘法
二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）
算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
反过来，可得积的算术平方根的性质
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
3.拓展：
教后反思
本节课学习了二次根式的乘法和积的算术平方根的性质，两者是可逆的，它们成立的条件都是被开方数为非负数．在教学中通过情境引入激发学生的学习兴趣，让学生自主探究二次根式的乘法法则，鼓励学生运用法则进行二次根式的乘法运算
课题
二次根式的除法
课型
新授课
教学内容
教材第7-8页的内容
教学目标
1.了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算；
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性；
3.通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想；
4.在探索过程中鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养语言表达能力.
教学重难点
教学重点：了解二次根式的除法运算法则，并能用它进行有关实数的运算.
教学难点：二次根式除法运算法则的推导过程.
教 学 过 程
备 注
复习回顾
教师活动：通过提问引导学生回顾二次根式的乘法法则.
【问题1】二次根式的乘法法则是什么？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
【问题2】逆用二次根式的乘法法则可以得到什么？
预设答案：符号语言：
文字语言：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
【追问】二次根式的除法有类似的运算法则吗？
创设情境，引入课题
师生活动：教师给出问题，学生独立思考并给出算式，教师再通过追问引出本节课要学习的内容.
【问题3】如图，一个长方形游泳池的长为m，且长是宽的倍，则长方形游泳池的宽为多少？

分析：长方形游泳池的宽
【追问】如何计算这个式子呢？这节课我们一起来研究这个问题.
2.合作探究，探索新知
师生活动：教师引导学生独立完成教材第7页【思考】部分的计算题，并观察思考算式中存在的规律. 让学生进行分组探究，得出二次根式的除法法则.
计算下列各题，观察有何规律？
答案：(1) ，； (2) ，.
【问题4】观察(1)(2)中的两组算式及其运算结果，你能发现他们之间有什么关系？
eq \f(\r(36),\r(49)) = eq \r(\f(36,49))；eq \f(\r(9),\r(16)) = eq \r(\f(9,16)).
分析：①被开方数都是正数
②算术平方根的商=商的算术平方根
猜想：（a≥0，b≥0）.
【追问】对于上面的式子，a，b都能取到非负数吗？
不是，a可以，b不可以.因为式子中b作为分母，若b=0，则无意义，因此a≥0，b>0.
【追问】你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗？
证明：因为当a≥0，b＞0时，
又 ，
的算术平方根只有一个，所以
【师生活动】师生共同总结归纳上述性质：
二次根式的性质4
如果a≥0，b＞0，那么有
文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根.
由等式对称性，性质4也可以写成
文字语言：商的算术平方根等于算术平方根的商.
【想一想】
现在你能算出长方形游泳池的宽吗？
利用二次根式的除法法则得：

长方形游泳池的宽为 m.
3.学以致用，应用新知
考点1 二次根式的除法运算
【例1】计算：
(1) ； (2) .
解：(1)

(2)
【交流】
例1（1）还有其它的计算方法吗？
小结：二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行. 把分母中的根号化去，就是分母有理化.
考点2 逆用性质4（即）行化简
【例2】化简：
(1)； (2) .
解：(1)
(2)
【交流】
教师活动：先让学生分组探究交流，找出这几个运算结果的特征，然后分组作答，最后教师补充完善，给出最简二次根式的概念.
观察例题中几个式子的运算结果有什么特征？


被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式是最简二次根式.
注意：在二次根式的运算中，一般把最后结果化成最简二次根式.
【做一做】
将下列根式化为最简二次根式？
(1) (2)
解：(1)
(2)
化简时应注意：
①有时需将被开方数分解因式；
②当一个式子的分母中含有二次根式时，
一般应把分母有理化.
4.随堂训练，巩固新知
1.化简：
答案：
2.计算：
答案： ；
；
.
3. 把下列各式的分母有理化：
答案：；
.
4.下列根式中，哪些是最简二次根式？
答案： 最简二次根式有
5.课堂小结，自我完善
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）二次根式的性质3和性质4有什么区别？
（3）二次根式在进行除法运算和化简时需要注意什么？
（4）什么是分母有理化？
（5）最简二次根式的两个特征是什么？
6.布置作业
教科书第10页 练习第2题 第12页习题16.2第2(3)(4)题
回顾二次根式的乘法法则，为后面类比二次根式的乘法法则探索二次根式的除法法则作准备.
通过实际生活中的问题引出本节课要学习的内容，感受二次根式除法运算的重要性.
类比乘法法则的推导过程，引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的除法法则，锻炼学生的观察及归纳总结能力
引导学生注意比较与性质3中a，b的取值范围的不同之处
注意引导学生与导出性质3的情况作类比
通过归纳进一步熟悉二次根式的性质及商的算术平方根的性质，同时鼓励学生用文字语言描述性质，培养语言表达能力.
通过解决前面提出的实际问题，进一步巩固二次根式的除法法则，培养应用意识.
中两个被开方数可以整除，直接应用性质4进行运算；
（2）中被两个被开方数不能整除，需先将除法转化为乘法运算.注意最后的结果都应为最简形式。
通过不同的计算方法引出分母有理化，让学生了解分母有理化的过程，明确此类题型的做法。
让学生进一步加深对商的算术平方根的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
通过认真观察并分组探究交流，让学生发现运算结果的特征，引出最简二次根式的概念，并让学生明白运算结果一般要化成最简二次根式.
考查性质4的逆用
考查性质3,（1）中 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
（a≥0，b>0，n≠0）
考查分母有理化
考查二次根式的识别
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
板书设计
二次根式的除法
1.二次根式的性质4（二次根式的除法法则）
算术平方根的商等于商的算术平方根.
2.反过来，可得商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于算术平方根的商.
3.分母有理化
4.最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式
5.拓展：（a≥0，b>0，n≠0）
提纲挈领，重点突出.
教后反思
本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.要注意二次根式乘除法的计算公式的逆用.乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式.
课题
二次根式比较大小
课型
新授课
教学内容
教材第9-10页的内容
教学目标
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法；
2.经历探究二次根式的大小比较的过程，感受类比、转化的数学思想；
3.运用多种方法比较二次根式的大小，了解数学解题方法的多样性；
4.鼓励学生积极探究，乐于合作与交流，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
教学重难点
教学重点：掌握二次根式的大小比较的四种基本方法.
教学难点：灵活选择合适的方法进行二次根式的大小比较.
教 学 过 程
备 注
1.复习回顾，引入课题
【师生活动】教师带领学生回顾二次根式的乘法法则（性质3）和除法法则（性质4），并通过抢答的形式利用已学知识填空，为本节课要学习的内容作准备.
【问题1】二次根式的乘法法则是什么（性质3）？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
【问题2】二次根式的除法法则是什么（性质4）？
预设答案：符号语言：
文字语言：算术平方根的商等于商的算术平方根.
抢答：
根据已学知识填空，看谁又快有准：
(1)如果a＞0，b＞0，当a＞b时，则a2 b2；反之，如果a＞0，b＞0，当a2＞b2时，则a b；
(2)如果a-b＞0，则a b；
(3)如果a＞0，b＞0，且＜1，则a b；
(4)如果a＞b＞0，则 .
答案：(1)＞；＞；(2)＞；(3)＜；(4)＞.
2.合作探究，探索新知
【师生活动】教师给出问题，学生先独立思考，然后教师带领学生一起探究，并找学生回答问题，引导学生分析出比较二次根式的大小的方法.
【问题3】一个正方形的边长为 cm，另一个正方形的边长为 cm，问：哪个正方形的面积大？它们的边长又有什么关系？
分析：
∵ ，
∴边长为 cm的正方形面积大.
正方形的面积越大，边长越长.
∴.
【追问1】能否从刚才的探究中发现比较与的大小的方法？

思路归纳：将无理数通过平方转化为有理数，比较有理数的大小即可.
【追问2】现在知道如何比较与的大小吗？
解：，，
∵
∴ .
小结：平方法.
依据：当a＞0，b＞0时，①a2＞b2，则a＞b；
②a2＜b2，则a＜b；
【追问3】还有其他的方法来比较二次根式的大小吗？
【师生活动】学生积极思考，教师适当进行点拨（依据抢答环节的题目进行思考）
3.学以致用，应用新知
【例】比较与的大小.
方法1 解：
∵ 12＜18，
∴
∴
小结：被开方数比较法.
依据：当a＞0，b＞0时，
①a＞b，则；
②a＜b，则.
方法2 解：
＜0
∴
小结：作差法.
注意：先作差，有公因式先提公因式，再与0进行比较.
依据：①若a-b＞0，则a＞b；②若a-b＜0，则a＜b.
方法3 解：＜1.
∴
小结：作商法.
依据：当a＞0，b＞0时，
①，则a＞b；②，则a＜b.
【归纳】
二次根式的大小比较的基本方法：
①平方法（同时去掉二次根号）
②被开方数比较法（转化为同为二次根号的式子）
③作差法（与0进行比较）
④作商法（与1进行比较）
4.随堂训练，巩固新知
1.选择合适的方法比较与的大小.
解法1：
∵ 50＞48，
∴
解法2：
∵ 50＞48，
∴
∴
2.用作差法比较与的大小.
解：∵.
∴
3.比较与的大小.
解：
∵75＞72，∴ ∴
4.比较与的大小.
解：∵， ，
∴， ∴>.
（选做）
5.比较与的大小.
解：∵
,
又∵-=.
∴>，
∴>.
比较与的大小.
解：∵
,
又∵.
∴>，∴