2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．（5分）已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1]
3．（5分）对任意实数x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣24，0）B．（﹣24，0]C．（0，24]D．[24，+∞）
4．（5分）函数y＝x2﹣3|x|的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．[0，+∞）D．
5．（5分）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m满足f（2）＞f（3），则m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
6．（5分）已知奇函数y＝f（x）在x≤0时的表达式为f（x）＝x2+3x，则x＞0时f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）＝x2+3xB．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x）＝﹣x2+3xD．f（x）＝﹣x2﹣3x
7．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣4，4]且为奇函数且在[0，4]是减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．（1，+∞）
8．（5分）已知函数f（x）的最小值为f（1），则a的取值范围是（ ）
A．[1，5]B．[5，+∞）
C．（0，5]D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）不表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1，
B．f（x）＝|x+1|，
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．，
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．“a＞1“是“”的充分不必要条件
B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
（多选）11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，；
③f（﹣1）＝0．
则下列选项成立的是（ ）
A．f（3）＞f（4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣1，3）
C．若，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃m∈R，使得f（x）≥m
（多选）12．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）B．f（4+x）＝f（﹣x）
C．f（x）为偶函数D．f（x﹣3）为偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U丨x2﹣mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ．
14．（5分）已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，则f（x）＝ ．
15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）不等式ax2，（a＞0）对∀x＞﹣1恒成立，实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知二次函数y＝f（x）满足f（0）＝3，且f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）．
19．（12分）已知函数，（a＞0）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试讨论关于x的方程|f（x）﹣3|＝k的根的个数情况．
20．（12分）已知函数f（x）＝mx2﹣（3m﹣1）x+m﹣2，（m∈R）．
（1）若f（x）在区间[2，3]上为单调递增，求m的取值范围；
（2）解关于x不等式f（x）+m＞0．
21．（12分）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P（x）（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量Q（x）（个）与时间x（天）部分数据如表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：（1）Q（x）＝ax+b，（2）Q（x）＝a|x﹣25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（元）的最小值．
22．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）＝﹣1．
（1）求f（1）和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）恒成立，求a的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
【解答】解：集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，
∴A∪B＝{1，2，4，6}，
则（A∪B）∩C＝{1，2，4}．
故选：B．
2．（5分）已知条件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，
若p是q的充分不必要条件，
则{x|﹣1＜x＜1}⫋{x|x＞m}，
则m≤﹣1，
故选：D．
3．（5分）对任意实数x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣24，0）B．（﹣24，0]C．（0，24]D．[24，+∞）
【解答】解：因为对任意实数x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，
当k＝0时，不等式化为﹣3＜0恒成立，
当k≠0时，只需，解得﹣24＜k＜0，
综上，实数k的范围为（﹣24，0]，
故选：B．
4．（5分）函数y＝x2﹣3|x|的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．[0，+∞）D．
【解答】解：y＝x2﹣3|x|＝|x|2﹣3|x|，其图象相当于函数y＝x2﹣3x的图象去掉x＜0部分的图象，再将x≥0部分的图象关于y轴对称而得到，
其大致图象如下：
由图象可知，其一个单调递减区间为．
故选：A．
5．（5分）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m满足f（2）＞f（3），则m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m，
故3m2﹣2m＝1，解得m＝1或m，
当m＝1时，f（x）＝x﹣1满足f（2）＞f（3），
当m时，f（x）不满足f（2）＞f（3）．
故选：D．
6．（5分）已知奇函数y＝f（x）在x≤0时的表达式为f（x）＝x2+3x，则x＞0时f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）＝x2+3xB．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x）＝﹣x2+3xD．f（x）＝﹣x2﹣3x
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，
又x≤0时，f（x）＝x2+3x，
∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3x＝x2﹣3x，
又f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+3x．
故选：C．
7．（5分）设a∈R，已知函数y＝f（x）的定义域是[﹣4，4]且为奇函数且在[0，4]是减函数，且f（a+1）＞f（2a），则a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．（1，+∞）
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）的定义域是[﹣4，4]且为奇函数且在[0，4]上是减函数，
则f（x）在[﹣4，0]上也是减函数，
故函数y＝f（x）是定义在[﹣4，4]上的减函数，
若f（a+1）＞f（2a），则有﹣4≤a+1＜2a≤4，
解得：1＜a≤2，故a的取值范围为（1，2]；
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）的最小值为f（1），则a的取值范围是（ ）
A．[1，5]B．[5，+∞）
C．（0，5]D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
【解答】解：因为函数f（x）的最小值为f（1），
当x＞1时，f（x）＝x3a，由对勾函数的性质可知，函数在（1，4]上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
所以此时最小值为f（4）＝8﹣3a；
当x≤1时，f（x）＝x2﹣2ax+2，对称轴为x＝a，
当a＜1时，则f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，不满足最小值为f（1），
当a＝1时，则f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，4]上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
又f（1）＝1，f（4）＝5，满足题意；
当a＞1时，则f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，4]上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
要使函数的最小值为f（1），则必有f（1）≤f（4），
即3﹣2a≤8﹣3a，解得a≤5，
综上所述，a的范围为[1，5]．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）不表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1，
B．f（x）＝|x+1|，
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．，
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1的定义域是R，的定义域是{x|x≠﹣1}，
故A中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于B，f（x）＝|x+1|，的定义域和对应法则都相同，
故B中f（x）与g（x）表示同一函数；
对于C，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝（x+1）0的定义域是{x|x≠﹣1}，
故C中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于D，f（x）的定义域是{x|x≥0}，
故f（x）＝x，
而g（x）＝x的定义域是{x|x≥0}，
故D中f（x）与g（x）表示同一函数．
故选：AC．
（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．“a＞1“是“”的充分不必要条件
B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解答】解：对于A，当a＞1时，1，充分性成立；当1时，有a＜0或a＞1，必要性不成立，
所以“a＞1“是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”，故B正确；
对于C，x，y∈R，则x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立；x2+y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，
所以“a≠0”是“ab≠0”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，；
③f（﹣1）＝0．
则下列选项成立的是（ ）
A．f（3）＞f（4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣1，3）
C．若，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃m∈R，使得f（x）≥m
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，
又∵∀x∈R，f（﹣x）＝f（x），∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）为偶函数，
对于A，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（3）＜f（4），故A错误，
对于B，∵f（x）是偶函数，f（m﹣1）＜f（2），
∴|m﹣1|＜2，解得﹣1＜m＜3，故B正确，
对于C，∵是奇函数，且，f（﹣1）＝0
∴x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），故C正确，
对于D，∵函数f（x）的图象是连续不断的且是偶函数，
又∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴∀x∈R，∃m∈R，使得f（x）≥m，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）B．f（4+x）＝f（﹣x）
C．f（x）为偶函数D．f（x﹣3）为偶函数
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，
∴f（x）的图像关于点（1，0）对称，且关于直线x＝2对称，
对于A，若f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）成立，即f[﹣（x+1）]＝﹣f（x+1）成立，则函数f（x）为奇函数，不一定成立，故A错误；
对于B，∵f（x+2）为偶函数，∴f（2﹣x）＝f（2+x），用2+x替换x，得f（4+x）＝f（﹣x），故B正确；
对于C，∵f（x）的图象关于点（1，0）对称，∴f（2+x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（2+x）；①
用﹣x替换x，得f（x）＝﹣f（2﹣x），②
又f（x+2）为偶函数，∴f（2﹣x）＝f（2+x），③
联立①②③得f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数，y轴是函数f（x）的对称轴，故C正确；
对于D，由C知，f（x）为偶函数，结合①得f（2+x）＝﹣f（x）＝f（x）⇒f（x+4）＝f（x），即f（x）的周期为4，
又f（x+1）为奇函数，∴f（x﹣3）为奇函数，故D错误；
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U丨x2﹣mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ 3 ．
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，
A中的方程变形得：x（x﹣m）＝0，即x＝0或x＝m，
则m＝3．
故答案为：3
14．（5分）已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，则f（x）＝ x﹣1 ．
【解答】解：∵f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，
将式子f（x）+2f（﹣x）＝1+2x，①中的x换上﹣x得到：
f（﹣x）+2f（x）＝1﹣2x②；
①②联立解出f（x）x﹣1．
故答案为：x﹣1．
15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 [﹣2，2] ．
【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需Δ＝9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2a≤2．
故答案为：[﹣2，2]
16．（5分）不等式ax2，（a＞0）对∀x＞﹣1恒成立，实数a的取值范围是 （0，4] ．
【解答】解：不等式ax2，（a＞0）对∀x＞﹣1恒成立，
即对∀x＞﹣1恒成立，
只需即可，
因为x＞﹣1，，当且仅当即时等号成立，
所以，即，解得0＜a≤4．
故答案为：（0，4]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝3时，A＝[﹣1，5]，又B＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），
∴A∩B＝[﹣1，1]∪[4，5]；
（2）若a＞0，则A＝[2﹣a，2+a]，由（1）可知∁RB＝（1，4），
∵“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，
∴A⫋∁RB，∴，
∴0＜a＜1，
∴实数a的取值范围为（0，1）．
18．（12分）已知二次函数y＝f（x）满足f（0）＝3，且f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）．
【解答】解：（1）因为f（0）＝3，则可设函数的解析式为f（x）＝ax2+bx+3（a≠0），
由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1可得：a（x+1）2+b（x+1）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝2ax+a+b＝2x﹣1，
则，解得a＝1，b＝﹣2，
所以函数的解析式为f（x）＝x2﹣2x+3；
（2）因为函数f（x）＝x2﹣2x+3的对称轴为x＝1，
则当1，即﹣2＜t≤4时，g（t）＝f（﹣2）＝4+4+3＝11，
当1，即t＞4时，g（t）＝f（t）＝t2﹣2t+3，
综上，g（t）．
19．（12分）已知函数，（a＞0）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试讨论关于x的方程|f（x）﹣3|＝k的根的个数情况．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即，整理可得2b＝0，即b＝0，
所以当x＞0时，f（x），
设0＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），
由a＞0可得则x2﹣x1＞0，ax1x2＞0，
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2﹣1＜0，所以0，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0即f（x2）＜f（x1），f（x）为减函数，
当l＜x1＜x2时，x1x2﹣1＞0，所以0，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1），f（x）为增函数，
因此f（x）≥f（1），又因为f（x）的最小值为2，所以2解得a＝1，
所以f（x）＝x，
（2）根据f（x）为奇函数，其增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间为（﹣1，0），（0，1），
所以f（x）≥2或f（x）≤﹣2，所以f（x）﹣3≥﹣1或f（x）﹣3≤﹣5，
令g（x）＝|f（x）﹣3|，作出函数g（x）的图像如图所示，
由图可知，当k＝0或l＜k＜5时，|f（x）﹣3|＝k有2个根，
当k＝1或k＝5时，|f（x）﹣3|＝k有3个根，
当0＜k＜1或k＞5时，lf（x）﹣3|＝k有4个根．
20．（12分）已知函数f（x）＝mx2﹣（3m﹣1）x+m﹣2，（m∈R）．
（1）若f（x）在区间[2，3]上为单调递增，求m的取值范围；
（2）解关于x不等式f（x）+m＞0．
【解答】解：（1）当m＝0时，函数f（x）＝x﹣2满足在[2，3]上单调递增，
当m≠0时，函数的对称轴为x，
当m＞0时，要满足题意，只需，解得m≥﹣1，所以m＞0，
当m＜0时，要满足题意，只需，解得，
综上，实数m的范围为[，+∞）；
（2）不等式f（x）+m＞0，即mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＞0，
当m＝0时，不等式化为x﹣2＞0，解得x＞2，
当m≠0时，不等式化为（x﹣2）[mx﹣（m﹣1）]＞0，
当2，即m＝﹣1时，不等式化为（x﹣2）2＜0，无解，
当，解得﹣1＜m＜0时，解不等式可得2，
当m＜﹣1，即，解不等式可得，
当m＞0时，，解不等式可得x＞2或x，
综上，当m＝0时，不等式的解集为（2，+∞），
当m＞0时，不等式的解集为（）∪（2，+∞），
当﹣1＜m＜0时，不等式的解集为（2，），
当m＝﹣1时，不等式的解集为∅，
当m＜﹣1时，不等式的解集为（）．
21．（12分）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P（x）（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量Q（x）（个）与时间x（天）部分数据如表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：（1）Q（x）＝ax+b，（2）Q（x）＝a|x﹣25|+b，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（元）的最小值．
【解答】解：（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以P（10）•Q（10）＝（1）•110＝121，
解得k＝1．
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②Q（x）＝a|x﹣25|+b，
代入数据可得：，
解得a＝﹣1，b＝125，
所以Q（x）＝125﹣|x﹣25|（1≤x≤30，x∈N*）．
（3）由（2）可得，Q（x）＝125﹣|x﹣25|，
所以，f（x）＝P（x）•Q（x），
所以当1≤x＜25，x∈N*时，f（x）＝101+x在区间[1，10]上单调递减，在区间[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）有最小值，且为121；
当25≤x≤30，x∈N*时，f（x）＝149x为单调递减函数，所以当x＝30时，f（x）有最小值，且为124，
综上，当x＝10时，f（x）有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
22．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）＝﹣1．
（1）求f（1）和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）令a＝b＝1，可得2f（1）＝f（1），解得f（1）＝0；
令a＝b＝2，又f（2）＝﹣1，可得f（4）＝2f（2）＝﹣2，
令a＝4，b，可得f（4）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（4）＝2；
（2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
可得1，即有f（）＜0，
则f（x2）＝f（x1•）＝f（x1）+f（）＜f（x1），，所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若对∀x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）即为f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）恒成立．
由（2）可得x2+1＞ax对x∈[2，3]恒成立，即为a＜（x）min．
而y＝x在[2，3]单调递增，可得x＝2时，y取得最小值．
所以0＜a．
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Q（x）
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20
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Q（x）
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