高考数学专题练 专题一 微专题9　导数中函数的构造问题（含答案）

这是一份高考数学专题练 专题一 微专题9　导数中函数的构造问题（含答案），共16页。

典例1 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________．
典例2 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则( )
A．e－2 024f(－2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)a
4．(2023·滁州模拟)已知a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln 1.2，c＝0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
5．(多选)(2023·南阳模拟)定义在(0，π)上的函数f(x)满足f′(x)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))) B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2))) D.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))g(x)，∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，则下列不等式中一定成立的是( )
A．g(x1x2)g(x1)＋g(x2)
C．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))eq \f(x2,x1)g(x1)＋eq \f(x1,x2)g(x2)
7．(2023·成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意x>0，xf′(x)－f(x)2x＋4的解集为________________．
9．(2023·淄博模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)－f(x)ex－1的解集是________________．
10．(2023·临沂模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f′(－x)>2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________________．
微专题9 导数中函数的构造问题
[考情分析] 导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性问题，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．这一部分内容在近几年中高考频频出现，成为高考热点，难度中等，有时较大．

考点一 构造F(x)＝xnf(x)或F(x)＝eq \f(fx,xn)(n∈Z，且n≠0)型
典例1 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0成立的x的取值范围是________________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 构造F(x)＝eq \f(fx,x2)，
则F′(x)＝eq \f(f′x·x－2fx,x3)，
当x>0时，xf′(x)－2f(x)0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
跟踪训练1 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足当x>0时，恒有xf′(x)＋2f(x)eq \f(1,e)>eq \f(1,3)，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，即a>c>b.
考点二 构造F(x)＝enxf(x)或F(x)＝eq \f(fx,enx)(n∈Z，且n≠0)型
典例2 (1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则( )
A．e－2 024f(－2 024)>f(0)，e2 024f(2 024)0，
所以F(x)在R上是增函数，
所以F(－2 024)F(x2)，
即eq \f(gx1＋x2,x1＋x2)>eq \f(gx2,x2)，
∴eq \f(x2,x1＋x2)g(x1＋x2)>g(x2)，②
由①＋②得g(x1＋x2)>g(x1)＋g(x2)，故B正确；
对于C，取g(x)＝x2，x>0，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))2，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x1x2)))＝x1x2，
geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))－geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x1x2)))>0，故C错误；
对于D，∵g(x1)－eq \f(x2,x1)g(x1)＝eq \f(x1－x2,x1)g(x1)，③
eq \f(x1,x2)g(x2)－g(x2)＝－eq \f(x2－x1,x2)g(x2)，④
由③－④得
g(x1)－eq \f(x2,x1)g(x1)－eq \f(x1,x2)g(x2)＋g(x2)
＝eq \f(x1－x2,x1)g(x1)＋eq \f(x2－x1,x2)g(x2)
＝(x1－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(gx1,x1)－\f(gx2,x2)))>0，
∴g(x1)＋g(x2)>eq \f(x2,x1)g(x1)＋eq \f(x1,x2)g(x2)，故D正确．
7．(2023·成都模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意x>0，xf′(x)－f(x)2，所以g′(x)>0，所以g(x)为增函数，
又由f(－1)＝2，可得g(－1)＝2＋2－4＝0，
所以当x>－1时，g(x)>0，即不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
9．(2023·淄博模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)－f(x)ex－1的解集是________________．
答案 (－∞，2)
解析 设g(x)＝eq \f(fx,ex)，∴g′(x)＝eq \f(f′x－fx,ex)ex－1，∴eq \f(fx,ex)>eq \f(1,e)，
即g(x)>g(2)，∴xex－1的解集是(－∞，2)．
10．(2023·临沂模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f′(－x)>2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________________．
答案 (－3,0)∪(3，＋∞)
解析 因为f(x)为奇函数，定义域为R，
所以f(－x)＝－f(x)⇒－f′(－x)＝－f′(x)⇒f′(－x)＝f′(x)，f(0)＝0，
又因为当x>0时，f′(－x)>2f(x)，
所以f′(x)>2f(x)，
构造函数h(x)＝eq \f(fx,e2x)，
所以h′(x)＝eq \f(f′x－2fx,e2x)，
所以当x>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为f(3)＝0，所以h(3)＝0，h(x)在(3，＋∞)上大于零，在(0,3)上小于零，
又因为e2x>0，所以当x>0时，f(x)在(3，＋∞)上大于零，在(0,3)上小于零，
因为f(x)为奇函数，所以当x0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)