中考数学二轮复习题型突破课件：题型七 二次函数综合题

这是一份中考数学二轮复习题型突破课件：题型七 二次函数综合题，共60页。PPT课件主要包含了2求bc的值，1求ac的值等内容，欢迎下载使用。
类型一　二次函数性质综合问题1.（2023·丽水）已知点（－m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2＋bx＋3（a，b是常数，a≠0）的图象上.（1）当m＝－1时，求a和b的值.∴a的值是－1，b的值是－2.
◉答案（1）解：当m＝－1时，二次函数y＝ax2＋bx＋3图象过点（1，0）和
∴a的值是－1，b的值是－2.
（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当－2＜m＜－1时，求n的取值范围.
（3）求证：b2＋4a＝0.
2.（2023·绍兴）已知二次函数y＝－x2＋bx＋c.（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标.②当－1≤x≤3时，求y的取值范围.（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式.◉答案　解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝－x2＋4x＋3＝－（x－2）2＋7，∴顶点坐标为（2，7）.　②∵－1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7.∵2－（－1）＞3－2，∴当x＝－1时，y有最小值为－2，∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
答案　解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝－x2＋4x＋3＝－（x－2）2＋7，∴顶点坐标为（2，7）.　
②∵－1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7.∵2－（－1）＞3－2，∴当x＝－1时，y有最小值为－2，∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
3.（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A（1，0），C（5，0），顶点坐标为E（m1，k）.抛物线L2交x轴于点B（2，0），D（10，0），顶点坐标为F（m2，k）.
（1）连接EF，求线段EF的长.
（3）若点P（n＋3，f1），Q（2n－1，f2）在抛物线L1上，f1＜f2，求n的取值范围.
（2）点M（－7，d1）在抛物线L1上，点N（16，d2）在抛物线L2上.比较大小：d1 　＞　⁠d2. 
（1）求点A，B的坐标.
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式.
类型二　二次函数与线段有关的问题考向1　二次函数图象与线段的交点问题
5.（2023·大庆）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表.
（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式.
答案　解：（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A（－1，0），B（3，0），
关于直线x＝1对称.∵点Q到x＝1的距离是m－1，∴PQ＝2（m－1）＝2m－2，
（2）如图①，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标.
（3）如图②，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，求出点Q的坐标.
∠MBN＝90°.∵∠QBO＋∠OQB＝90°，∴∠MBN＝∠OQB.∵BQ＝BM，
∴△BQO≌△MBN（AAS），∴QO＝BN，MN＝OB，∴M（3＋n，3），设直线
7.（2023·德阳）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，－4）.（1）求抛物线的解析式.
答案　解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋4）（x－2），将点C（0，－4）
（2）如图①，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.当平面内的直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，求k的值.
Δ＝（k＋1）2－4＝0，解得k＝1或k＝－3（舍），
部分的右侧有1个公共点，即直线y＝kx＋6与新图象有2个公共点，不符合题意.
－x＋4有一个解时，Δ＝（k＋1）2－4＝0，解得k＝1（舍）或k＝－3，当k＝－3时，
x－4未翻折部分有2个公共点（－10，36）和（2，0），即直线y＝kx＋6与新图象
只有2个公共点，不符合题意.当k＜－3时，直线y＝kx＋6与翻折后的抛物线部分只
有1个公共点，与原抛物线未翻折部分左侧有1个公共点，即直线y＝kx＋6与新图象
只有2个公共点，不符合题意.当－3＜k＜0时，直线y＝kx＋6与翻折后的抛物线部分
没有公共点，与原抛物线未翻折部分有2个公共点，即直线y＝kx＋6与新图象只有2
个公共点，不符合题意.综上所述，当直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，k＝1
考向3　线段的最值问题
8.（2023·金昌）如图①，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点B（4，－4），点C（0，－4）在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止.
（1）求抛物线y＝－x2＋bx的表达式.
◉答案　解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx过点B（4，－4），∴－16＋4b＝－4，∴b＝3，∴y＝－x2＋3x.抛物线的表达式为y＝－x2＋3x.
答案　解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx过点B（4，－4），∴－16＋4b＝－4，∴b
＝3，∴y＝－x2＋3x.抛物线的表达式为y＝－x2＋3x.
（3）如图②，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值.
9.（2023·眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的解析式.
答案　解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），B（1，0）两
解析式为y＝－x2－2x＋3.　
如图①，设P（t，－t2－2t＋3），则E（－t2－2t，－t2－2t＋3），
∴PE＝－t2－2t－t＝－t2－3t.∵A（－3，0），B（1，0），∴AB＝1－（－3）＝
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连接PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M'恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标.
答案　解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），∴c＝4. ∵对称轴为直线x＝－
（2）如图①，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.
（2）如图，过B'作x轴的垂线，垂足为H，令－x2－3x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，∴A（－4， 0），
B（1，0），∴AB＝1－（－4）＝5，由翻折可得AB'＝AB＝5.∵对称轴为直
直线PE与x轴所成夹角为45°，设P（m，－m2－3m＋4），设PE所在直线的解析式
为y2＝－x＋b2，把点P代入得b2＝－m2－2m＋4，∴y2＝－x－m2－2m＋4，令y1＝
答案　解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x
考向2　面积间的数量关系问题
（1）求这两个函数的解析式.
答案　解：（1）∵二次函数y1＝x2＋mx＋1的图象与y轴相交于点A，与反比例函
（3）平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C，D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
（2）当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围.
13.（2023·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与坐标轴分别相交于点A，B，C（0，6）三点，其对称轴为直线x＝2.
（1）求该抛物线的解析式.
①当CD＝CE时，求CD的长.
②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＋S3＝2S2，求点F的坐标.
（2）点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E.
考向3　面积的最值问题14.（2023·荆州）已知，y关于x的函数y＝（a－2）x2＋（a＋1）x＋b.
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（－2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积.
∵y＝－x2＋2x＋8＝－（x－1）2＋9，点P为抛物线顶点，∴P（1，9）.∵B
（4，0），C（0，8），∴直线BC的解析式为y＝－2x＋8，∴F（1，6），∴PF＝9
②探究直线l在运动过程中，S1－S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
②S1－S2存在最大值，如图，设直线l：x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2， AB＝6，OC＝8，AH＝2＋m， P（m，－m2＋2m＋8），
∴PH＝－m2＋2m＋8.∵OD∥PH，∴△AOD∽△AHP，
15.（2023·山西）综合与探究
如图，二次函数y＝－x2＋4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C.
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标.
答案　解：（1）y＝－x2＋4x，当y＝0时，－x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.∵点
A在x轴正半轴上.∴点A的坐标为（4，0）.设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b
（k≠0）.将A，B两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入y＝kx＋b，得
－x＋4，得y＝4，∴点C的坐标为（0，4）.
（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值. b
类型四　二次函数与角度有关的问题
考向1　角度等于定值问题
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标.◉
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（－1，0），设点D的坐标
述，点D的坐标为（－4，4）或（－2，－4）或（4，4）.　
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
下方，也不可能在直线AC上，当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作
考向2　角度间的数量关系问题17.（2023·十堰）已知抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A.（1）求抛物线的解析式.
答案　解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋8过点B（4，8）和点C（8，4），
则OA＝8.∵B（4，8），∴AB∥x轴，AB＝4.∵点F是OA的中点，∴F（0，4），
∴AB＝AF＝4，设直线BC的解析式为y＝kx＋n.∵B（4，8），C（8，4），
＋12）（4＜m＜8），如图①，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，则∠G＝90°，
（2）如图①，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标.
∴G（m，8），∴GE＝8－（－m＋12）＝m－4，BG＝m－4，∴BG＝GE，
∴△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），则AD＝t，DG＝m－t.∵DE⊥FD，
∴∠FDE＝90°.∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，∴∠AFD＝90°－∠ADF＝
即（t－4）m＝（t－4）（t＋4）.∵m＞4，∴m＝t＋4，即m－t＝4，∴DG＝AF，
∴△AFD≌△GDE（ASA），∴DF＝DE.又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角
（3）如图②，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围.
18.（2023·泰安）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A（－4，0），B（－1，0），与y轴交于点C.
（1）求二次函数的解析式.
答案　解：（1）由题意，得C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x＋4）（x ＋1），
∴4＝a·4×1，∴a＝1，∴y＝（x＋4）（x＋1）＝x2＋5x＋4.　
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP的面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　（2）如图①，过点P作PT∥BC，
交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q，连接PC，PB，∴∠QTB＝ ∠CBO，
∵B（－1，0），C（0，4），A（－4，0），∴OC＝4，OB＝1，直线BC
（3）如图②，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由.
类型五　二次函数与特殊三角形的存在性问题
考向1　等腰三角形的存在性问题
（1）求该抛物线的表达式.
（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标.
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位长度，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.
考向2　直角三角形的存在性问题
20.（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B（4，0），C（－2，0）两点，与y轴交于点A（0，－2）.
（1）求该抛物线的函数解析式.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
21.（2023·广元）如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A（－2，0），B（4，0），与y轴交于点C.
考向3　等腰直角三角形的存在性问题
答案　解：（1）将点A（－2，0），B（4，0），代入y＝ax2＋bx＋4，得
直线l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，当F在x轴上方时，如图①.∵以B，E，
F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，∴EF＝BF.∵∠DFE＝90°
－∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，∴△DFE≌△GBF（AAS），
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标.
∴GF＝DE，GB＝FD，设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF＋FG＝GB＋FG＝3＋m，
（1＋m）＋4，解得m＝－3（舍去）或m＝1，∴F（1，1）.当F在x轴下方时，如图
②.同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，设F（1，n），则E
＋（1－n）＋4，解得n＝3（舍去）或n＝－5，∴F（1，－5）.当E点与A点重合时，
如图③所示，∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，
由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，综上所述，F（1，1）或（1，－5）或（1，－3）或（1，3）.
考向4　等边三角形的存在性问题
（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，连接AD，延长交抛物线于C，由已知可
∴∠PAB＝180°－∠OAB＝120°.∵△BCP是等边三角形，∴∠BCP＝60°，
∴∠PAB＋∠BCP＝180°，∴A，B，C，P四点共圆，∴∠BAC＝∠BPC＝60°.
∵BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴点D在AC上，BD
类型六　二次函数与特殊四边形的存在性问题考向1　平行四边形的存在性问题
答案　解：（1）在直线y＝－x＋4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴点B
（2）由题意，P（m，－m2＋3m＋4），∴PN＝－m2＋3m＋4，当四边形CDNP是
平行四边形时，PN＝CD，∴OD＝－m2＋3m＋4－4＝－m2＋3m，∴D（0，m2－
3m），N（m，0），设直线MN的解析式为y＝k1x＋m2－3m，把N（m，0）代入可
得k1m＋m2－3m＝0，解得k1＝3－m，∴直线MN的解析式为y＝（3－m）x＋m2－
（3－m，－m2＋3m＋4），∴（3－m）2＋m2－3m＝－m2＋3m＋4，解得m1＝
（3－m，－m2＋3m＋4），∵MN＝2ME，∴0－（－m2＋3m＋4）＝2（－m2＋
3m＋4＋a－4）　①，∴3－m－m＝2（a－3＋m）　②，联立①②并解得m＝
考向2　矩形的存在性问题
24.（2022·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋x＋c经过A（－2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C.
答案　解：（1）把A（－2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2＋x＋c中，得
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式.
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，
∠PBF＝∠BFG＝90°，∴∠CFG＋∠BFO＝∠BFO＋∠OBF＝∠CFG＋∠CGF＝
∠OBF＋∠PBH＝90°，∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF.∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH＝CF，∴CF＝PH＝t，OF＝3－t.∵∠PBH＝∠OFB，
t2＝1，∴F（2，0）.如图②，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，同①可
考向3　菱形的存在性问题
25.（2023·广安）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝－1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N.
（1）求这个二次函数的解析式.
答案　解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝－1，点B的坐标为（1，0），∴点A
的坐标为（－3，0），∴二次函数解析式为y＝（x－1）（x＋3）＝x2＋2x－3.　
（2）连接ON，BC，AN，如图，设P（m，0），则N（m，m2＋2m－3），在y＝
x2＋2x－3中，令x＝0得y＝－3，∴C（0，－3），∴OC＝3，∴S四边形ABCN＝S△AON
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
（3）在y轴上存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形是菱形.由A（－3，0），
C（0，－3）得直线AC解析式为y＝－x－3，设Q（0，t），P（n，0），则M（n，
－n－3），N（n，n2＋2n－3）.∵MN∥CQ，∴当M，N，C，Q为顶点的四边形是
菱形时，MN，CQ是一组对边.①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ＝CM，
考向4　正方形的存在性问题
26.（2023·岳阳）已知抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）.
（1）请求出抛物线Q1的解析式.
答案　解：（1）∵抛物线Q1：y＝－x2＋bx＋c经过A（－3，0），C（0，3）两
（2）如图①，在y轴上有一点D（0，－1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形.如图，过点E作EG⊥x轴于点G，则
∠AGE＝90°＝∠AOD，∵A（－3，0），D（0，－1），∴OA＝3，OD＝1.∵四
边形DAEF是正方形，∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°.∵∠EAG＋
∠DAO＝90°，∠DAO＋∠ADO＝90°，∴∠EAG＝∠ADO，∴△EAG≌△ADO
（AAS），∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，∴E（－2，3），当x＝－2时，y＝－x2
－2x＋3＝－（－2）2－2×（－2）＋3＝3，∴点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于
点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，∴OL＝DL
－OD＝3－1＝2，∴F（1，2）.　
（3）如图②，将抛物线Q1向右平移2个单位长度，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，连接CH，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK.∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2
＋4，∴抛物线Q1的顶点坐标为（－1，4）.∵将抛物线Q1向右平移2个单位长度，得
到抛物线Q2，∴抛物线Q2的解析式为y＝－（x＋1－2）2＋4＝－（x－1）2＋4.
∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，∴K（1，4），H（3，0），设直线
设KP交直线HC于M，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，
则T（0，4），∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，∴△CKT是等腰直角三角形，
∴∠CBK＝∠BCO，∴∠CBK＝∠CHK，即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK，
与点C关于直线x＝－1对称，∴P（－2，3）.综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得
∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（－2，3）.
类型七　二次函数与三角形相似有关的问题
27.（2023·齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM.
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式.
答案　解：（1）∵点M在y轴负半轴且OM＝2，∴M（0，－2），将A（0，2）,
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标.
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标.
（3）∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形.又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N，∴∠CNQ≠90°，即点N与点O不是对应点.故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论：如图②，当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴，∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上.又∵点Q在抛物线上，∴此时点B与点Q和点D重合，此时∠CQN＝∠COM＝90°.又∵∠QCN＝∠OCM，∴△CQN∽△COM，
类型八　二次函数与圆有关的问题28.（2023·株洲）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）.（1）若a＝1，c＝－1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值.
答案（1）解：∵a＝1，c＝－1，∴二次函数解析式为y＝x2＋bx－1.∵该二次函
（2）（Ⅰ）证明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，∴△DOF∽△DEO，
（Ⅱ）解：∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，
∴OA＝－x1，OB＝x2.∵BE＝1，∴OE＝x2－1.∵☉O的半径长为线段OA的长度的2
二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴x1，x2是方程ax2＋bx＋c