第21节 双变量问题之极差计算 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通

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设、是区间D上的任意两个实数，不等式（其中k为给定常数）恒成立，求解析式中参数的取值范围.这类问题一般转化为来处理，此方法称为极差计算，解题的关键是求出函数在区间D上的最大最小值.
典型例题
【例题】（2015·新课标Ⅱ卷）设函数.
（1）证明：在上单调递减，在上单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围.
【解析】（1）解法1：由题意，，，
所以在R上单调递增，又，所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
解法2：由题意，，
（i）若，则当时，，所以，又，所以，
当时，，所以，又，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增；
（ii）若，则当时，，所以，又，所以，
当时，，所以，又，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，对任意的，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法1：，等价于当时，，
由（1）可得当时，，，而，设，
则，所以在R上单调递增，又，所以当时，，当时，，故当时，，所以应有，令，则，因为，所以在上单调递减，结合知当且仅当时，，
当时，，所以应有，
令，则，因为，所以在上单调递增，结合知当且仅当时，
综上所述，实数m的取值范围为
解法2：，等价于当时，，
由（1）可得，，
所以①，令，则不等式组①即为，因为，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，且，，
若，则且，符合题意；
若，则，不合题意；
若，则，所以，不合题意；
强化训练
l.已知函数，其中且，若对任意的,，不等式恒成立，则a的取值范围为______.
【解析】由题意，，故，
，
所以当时，，从而在上单调递增，
故，，
因为对任意的,恒成立，所以，故，从而，解得：，故a的取值范围为.
【答案】
2．已知函数
（1）求的极值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故有极大值，无极小值.
（2）对任意的，恒成立等价于当时，，当时，由（1）知在上单调递增，所以，，从而，解得：，结合知；
当时，由（1）知在上单调递减，所以，，从而，解得：，结合知；
当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
要使恒成立，只需，即，
不等式显然对任意的成立，令，则，所以在上单调递减，结合知恒成立，
从而不等式也恒成立，
综上所述，实数a的取值范围为.
3.已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当，时，对任意的，有成立，求实数b的取值范围.
【解析】（1）当时，，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，所以，故，
当时，，所以；当时，，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，，
，恒成立等价于当时，，
所以，故，从而
令，则，因为，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，且，，由知，此时，故，
综上所述，b的取值范围为.