陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．64B．55C．D．65
3．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．3C．D．9
4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，现有下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②④C．①②③D．②③
7．某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时
D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等
8．在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（ ）

A．14B．21C．24D．36
9．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，执行如图所示的程序框图，则输入的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
12．若，，则的最小值为（ ）
A．B．6C．8D．12
二、填空题
13．向量，，．若三点共线，则 ．
14．已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
15．已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ．
16．若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ．
三、解答题
17．民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校学生有1000人，其中男学生600人，女学生400人，男女各有100名学生有报名意向．
(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率；
(2)判断是否有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：，其中：，
18．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
19．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．
(1)证明：．
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．
20．已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且虚轴长为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线和曲线的直角坐标方程；
(2)记直线与轴的交点为，与曲线的交点为，，求．
23．设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若方程有两个不等实数根，求的取值范围．
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】
根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
2．D
【分析】
先计算化简，然后求模.
【详解】,
则.
故选：D.
3．B
【分析】
设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，
所以，所以，
所以.
故选：B
4．A
【分析】
利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果，
分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝），
（黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝），
（白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）．
他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝），
故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为.
故选：A．
5．B
【分析】
根据函数的定义域和特殊区间的函数值的正负，数形结合即可判断和选择.
【详解】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；
对于C，当时，，不符合图象，排除；
对于D，当时，，不符合图象，排除.
故选：B
6．A
【分析】根据空间中的线面关系可判断①④正确，举反例可得②③错误，即可求解.
【详解】对于①，因为，，所以，又，所以，正确；
对于②，如图正方体中，
记平面为，平面为，为，为，
由正方体性质知，满足，，，但是此时，错误；
对于③，在②的正方体中，记平面为，平面为，
为，为，满足，，，但是此时，错误；
对于④，因为，，所以，正确.
故正确结论的序号是①④.
故选：A
7．C
【分析】
直接根据直方图来计算判断每一个选项.
【详解】对于A：估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有天，A错误；
对于B：估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：估计该学生每日完成作业时间的中位数为，
则，解得，D错误.
故选：C.
8．B
【分析】
设正四棱台的高为，结合棱锥体积公式可求得，根据面积比可表示出上下底面面积，代入棱台体积公式可求得结果.
【详解】设正四棱台的高为，则，，
，
又，，
正四棱台的体积
.
故选：B.
9．A
【分析】
过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，求出，利用列方程求解即可.
【详解】过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
则，
又，则，
所以，
解得，所以抛物线的方程为.
故选：A.

10．C
【分析】
根据题意，由三角恒等变换可得，再将的值代入计算，逐一检验，即可得到结果.
【详解】因为
，
当时，，不满足，故A错误；
当时，，不满足，故B错误；
当时，，满足，故C正确；
当时，，不满足，故D错误；
故选：C
11．C
【分析】
通过平移变换求出的解析式，由求出的范围，找出时，最大，进而求解.
【详解】
由题意得.
因为，所以.因为，即所以.
故选：.
12．C
【分析】设函数和，转化为切点到直线的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，设函数，直线，
设直线与函数的切点为
可得，可得，解得，可得，
即切点坐标为，则切点到直线的距离为，
又因为表示点到直线的距离为平方，
所以的最小值为.
故选：C.
13．/
【分析】
根据平面向量共线的坐标表示计算即可.
【详解】由题意易得，
若三点共线，则有，所以.
故答案为：
14．
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
15．
【分析】
根据题意，结合并项求和，即可求解.
【详解】由题意，数列的通项公式为，
可得
.
故答案为：.
16．
【分析】
根据椭圆的定义得到，再由平方差公式求出，即可求出.
【详解】对于椭圆，则，所以，
所以①，
又，即，
所以②，
由①②解得.
故答案为：
17．(1)列联表见解析，男学生有报名意向的概率为，女学生有报名意向的概率为
(2)有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关
【分析】（1）根据题意列出列联表，根据男、女学生有报名意向和总人数即可求得男、女学生有报名意向的概率；
（2）根据列联表求出判断即可.
【详解】（1）列联表如下：
男学生有报名意向的概率为，
女学生有报名意向的概率为；
（2）因为，
所以有的把握认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根据三角形中，将已知条件化简为，化简后再根据求解；
（2）由（1）结果结合已知条件，根据余弦定理求出，再利用面积公式求解.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，所以由，得.
因为，所以.
（2）由余弦定理知.
因为，所以，所以，
故的面积.
19．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）通过线面垂直的判定定理可证明平面，即可证；
（2）分别取，的中点，，连接，可得，连接，可证，所以直线与直线所成角即为异面直线与所成角，通过计算求解即可.
【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，，
因为为中点，所以，所以为等腰三角形，
所以，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）
分别取，的中点，，连接，，，，
因为，分别为，的中点，所以,
因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以直线与直线所成角即为异面直线与所成角，
因为是的中点，是边长为的等边三角形，所以，
因为平面，所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，，所以，
在中，由余弦定理可得
，
在中，，
在中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可.
【详解】（1）当时，，
令，
显然时，，则在上单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以；
（2）由，
令，
设，则，所以在上单调递增，
即，
若，则，即，
所以在上单调递增，则，
所以当时，在上单调递增.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）依题意可得、，即可求出、的值，从而得到双曲线方程；
（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
即，又，所以，，
则双曲线方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，
则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，.
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，即，
故的面积为定值，且定值为.

【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.
22．(1)；
(2)
【分析】
（1）根据题意，将参数方程化为普通方程，再由极坐标方程与直角坐标方程的转化关系将曲线化为直角坐标系方程即可；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再由直线参数方程的参数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）直线的参数方程为，转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
由，转化为直角坐标系方程为.
（2）直线与轴的交点为，令，则，所以，
将代入中，
可得，则，则均为负数，
所以.
23．(1)
(2)
【分析】
（1）首先将函数化为分段函数，再分两段得到不等式组，解得即可；
（2）首先分析，当时可得，令，画出的图象，数形结合求出的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以不等式即或，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）因为方程有两个不等实数根，
即方程有两个不等实数根，
显然不是方程的根，故，
令，
当时，，当且仅当时取等号，
又，且对勾函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
作出的图象，如图所示：
要使方程有两个不等实数根，
即与有两个交点，由图可知或，
即实数的取值范围为.
有报名意向
没有报名意向
合计
男学生
女学生
合计