2024年河南省洛阳市中考数学质检试卷（含解析）

这是一份2024年河南省洛阳市中考数学质检试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数：−1，0， 2，−12，其中最小的是( )
A. −1B. 0C. 2D. −12
2.下列运算正确的是( )
A. (−2a)2=−4a2B. (a+b)2=a2+b2
C. (a5)2=a7D. (−a+2)(−a−2)=a2−4
3.数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人．数据“3.46亿”用科学记数法表示是( )
A. 3.46×109B. 3.46×108C. 34.6×107D. 346×106
4.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O.若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 140°
5.如果a2+2a−1=0，那么代数式(a−4a)⋅a2a−2的值是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
6.如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为
( )
A. 35°B. 38°C. 40°D. 42°
7.若关于x的一元二次方程x2+x+k−1=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤54B. k>54C. k<54且k≠1D. k≤54且k≠1
8.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
A. 23B. 12C. 16D. 18
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=a−b+cx的图象在同一坐标系中大致为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图1，点F从四条边都相等的▱ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为( )
A. 5B. 2C. 52D. 2 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某种商品的原价每件a元，第一次降价打“八折”，第二次降价又减10元，则两次降价后的售价为______．
12.不等式组x−4<2(x−1)3x−2≤5的所有整数解的和为______．
13.根据如图所示的统计图，回答问题：

该超市2021年10月的水果类销售额______11月的水果类销售额(填“>”“<”或“=”)．
14.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点.若阴影部分周长的最小值为2 2+π3，则扇形的半径OB的长为______．
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.点D是BC上的中点．点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：4sin60°+(13)−1+|−2|− 12．
(2)先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)，其中a=18．
17.(本小题9分)
为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在5≤x<15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；
(2)统计图中E组对应扇形的圆心角为______度；
(3)C组数据的众数是______；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是______；
(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
18.(本小题9分)
如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°．
(1)请用尺规作图作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BF，求DF：DB的值．
19.(本小题9分)
如图1，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1,3)，点B(n,1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积；
(3)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
20.(本小题9分)
如图1是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839， 3≈1.732)
21.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．
22.(本小题10分)
跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)c的值为______；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为______；
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
23.(本小题10分)
综合与实践
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1.已知矩形纸片ABCD，其中AB=6，AD=11.(1)操作判断
将矩形纸片ABCD按图1折叠，使点B落在AD边上的点E处，可得到一个45°的角，请你写出一个45°的角．
(2)探究发现
将图1的纸片展平，把四边形EFCD剪下来如图2，取FC边的中点M，将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，延长EF′交CD于点N，求△EDN的周长．
(3)拓展应用：
改变图2中点M的位置，令点M为射线FC上一动点，按照(2)中方式将△EFM沿EM折叠得到△EF′M，EF′所在直线交CD于点N，若点N为CD的三分点，请直接写出此时NF′的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−1|=1，|−12|=12，
1>12，
∴−1<−12，
在−1，0， 2，−12这四个数中，
∵−1<−12<0< 2，
∴最小的数是−1，
故选：A．
根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：(−2a)2=4a2，故选项A不合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
(a5)2=a10，故选项C不合题意；
(−a+2)(−a−2)=a2−4，故选项D符合题意．
故选：D．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了科学记数法，一般形式为a×10n，确定a与n的值是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】
解：3.46亿=346000000=3.46×108．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了角的计算，垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
首先利用垂直的定义得∠EOD=90°，则可求∠BOD的度数，再根据对顶角的性质即可得出答案．
【解答】
解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠BOE=40°，
∴∠BOD=∠EOD−∠BOE=90°−40°=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a−1=0变形即可解答本题．
【解答】
解：a−4a·a2a−2
=a2−4a·a2a−2
=a+2a−2a·a2a−2
=a(a+2)
=a2+2a，
∵a2+2a−1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1．
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°−∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
【解答】
解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=70°，
∴∠ACD=90°−∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：因为关于x的一元二次方程x2+x+k−1=0有两个实数根，
所以12−4(k−1)≥0，
解得k≤54．
故选：A．
利用根的判别式即可解决问题．
本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是212=16，
故选：C．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
9.【答案】A
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∵−b2a<0，
∴b<0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c>0，
∴直线y=bx+c经过一、二、四象限，
由图象可知，当x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
∴反比例函数y=a−b+cx的图象必在一、三象限，
故B、C、D错误，A正确；
故选：A．
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b<0，由抛物线交y的正半轴，可知c>0，由当x=−1时，y<0，可知a−b+c>0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD=a
∴12DE⋅AD=a
∴DE=2
当点F从点D到点B时，用时为 5s
∴BD= 5
Rt△DEB中，
BE= BD2−DE2= ( 5)2−22=1
∵▱ABCD的四条边都相等，
∴EC=a−1，DC=a
Rt△DEC中，
a2=22+(a−1)2
解得：a=52
故选：C．
通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求▱ABCD的高DE，再由图象可知，BD= 5，应用两次勾股定理分别求BE和a．
本题综合考查了▱ABCD性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
11.【答案】(0.8a−10)元
【解析】解：第一次降价打“八折”，为0.8a元，
第二次降价又减10元，为(0.8a−10)元，
故答案为：(0.8a−10)元．
先表示出打“八折”后售价为0.8a元，再表示出第二次降价又减10元的售价为(0.8a−10)元．
本题主要考查列代数式，列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式． ⑤正确进行代换．
12.【答案】2
【解析】解：x−4<2(x−1)①3x−2≤5②，
解不等式①得x>−2，
解不等式②得x≤73，
∴不等式组的解集是−2∴不等式组所有整数解是：−1，0，1，2，
∴不等式组所有整数解的和为−1+0+1+2=2．
故答案为：2．
利用一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再确定出不等式组所有整数解即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的解法，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
13.【答案】>
【解析】解：10月份的水果类销售额为60×20%=12(万元)，
11月份的水果类销售额为70×15%=10.5(万元)，
所以10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额，
故答案为：>．
根据题意先分别求出10月份的水果类销售额，11月份的水果类销售额，可得10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额．
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
设扇形的半径长为x，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，OD=OD′，
∴∠COD′=90°，
∴CD′= 2x，
∵CD的长=30πx180=πx6，
∴ 2x+πx6=2 2+π3，
解得x=2．
故答案为：2．
利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
15.【答案】5或165
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= 62+82=10，
∵D是BC中点，
∴CD=BD=4，
分两种情形：①当∠DPB=90°时，△DPB∽△ACB，
∴PBBC=BDAB，
∴BP8=410，
∴BP=165；
②当∠PDB=90°，易证：DP/​/AC，
∵CD=DB，
∴AP=PB=5．
综上所述，满足条件的PB的值为5或165．
故答案为：5或165．
16.【答案】解：(1)原式=4× 32+3+2−2 3
=2 3+3+2−2 3
=5．
(2)原式=4a2+4a+1−4a2+4a
=8a+1．
当a=18时，原式=8×18+1=1+1=2．
【解析】(1)代入特殊角的三角函数值，利用负整数指数幂、绝对值和二次根式的性质化简即可．
(2)先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将a的值代入计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)9；
(2)72；
(3)12；10；
(4)2000×10+950=760(人)，
答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．
【解析】【分析】
本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
(1)由总组人数减去其他组人数即可求解；
(2)利用360°×E组占比即可得E组对应扇形的圆心角度数；
(3)根据众数，中位数的定义求解即可；
(4)2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数占比即可求解．
【解答】
解：(1)方便筷使用数量在5≤x<15范围内的数据有17个，
∴a=50−14−17−10=9，
故答案为9；
(2)360°×1050=72°，
故答案为72；
(3)将方便筷使用数量在10≤x<15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，
由上述数据可得C组数据的众数是12，
B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，
∴第25，26个数均为10，
∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是10+102=10．
故答案为：12，10；
(4)见答案．
18.【答案】解：(1)如图所示，直线EF即为所求；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=75°，DC/​/AB，∠A=∠C，
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DFB=60°，
∴∠DBF=∠ABD−∠FBA=45°，
如图，过点D作DG⊥FB于G，
设FG=a，
则FD=2a，
∴DG= 3a，
∴DG=BG= 3a，
∴DB= 2DG= 6a，
∴DFDB=2a 6a= 63．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；
(2)根据菱形的性质求出∠DBF=45°，作DG⊥FB于G，设FG=a，则FD=2a，进而解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
19.【答案】解：(1)∵点A(1,3)，点B(n,1)在反比例函数y=mx(m≠0)上，
∴m=1×3=n×1，
∴m=3，n=3，
∴反比例函数为y=3x，点B(3,1)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
∴一次函数为：y=−x+4；
(2)令x=0，则y=−x+4=4，
∴C(0,4)，
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC
=12×4×(3−1)
=4；
(3)如图2，过A点作x轴的平行线CD，过F作FC⊥CD于C，过E作ED⊥CD于D，
设E(a,3a)(a>1)，
∵A(1,3)，
∴AD=a−1，DE=3−3a，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠EAD+∠CAF=90°，
∵∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CAF=∠AED，
在△ACF和△EDA中，
∠CAF=∠AED∠ACF=∠EDA=90°AF=EA，
∴△ACF≌△EDA(AAS)，
∴CF=AD=a−1，AC=DE=3−3a，
∴F(3a−2,4−a)，
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴(3a−2)(4−a)=3，
解得a=6或a=1(舍去)，
∴E(6,12).
【解析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)求得点C的坐标，然后根据S△AOB=S△BOC−S△AOC求得即可；
(3)过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E(a,3a)(a>1)，通过证得△ACF≌△EDA(AAS)，得到F(3a−2,4−a)，代入y=3x，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
20.【答案】解：如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC=80，CD=80，∠DCB=80°，∠CDE=60°，
在Rt△CDN中，CN=CD⋅sin∠CDE=80× 32=40 3mm=FM，
∠DCN=90°−60°=30°，
又∵∠DCB=80°，
∴∠BCN=80°−30°=50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM/​/CN，
∴∠A=∠BCN=50°，
∴∠ACF=90°−50°=40°，
在Rt△AFC中，AF=AC⋅sin40°=80×0.643≈51.44(mm)，
∴AM=AF+FM=51.44+40 3≈120.7(mm)，
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm．
【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离．
本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．
21.【答案】(1)证明：连接OA，则OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∵AG=GD，
∴OF⊥AD，
∴∠AGF=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°，
∵OA是⊙O半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
(2)解：∵OAAD=58，AD=2AG，
∴OA2AG=58，
∴OAAG=54，
设AG=4m，则OA=5m，
∴OF=OA=5m，
∵∠AGO=90°，
∴OG= OA2−AG2= (5m)2−(4m)2=3m，
∴FG=OF−OG=5m−3m=2m，
∵∠AED=∠AGF=90°，
∴∠ADB=∠AFG=90°−∠DAE，
∴tan∠ADB=tan∠AFG=AGFG=4m2m=2，
∴tan∠ADB的值是2．
【解析】(1)连接OA，则∠OAF=∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF=90°，由菱形的性质得AB=AD，AC⊥BD，则∠BAE=∠DAE，所以∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°，即可证明AB是⊙O的切线；
(2)由OAAD=58，AD=2AG，得OAAG=54，设AG=4m，则OF=OA=5m，由勾股定理得OG= OA2−AG2=3m，则FG=2m，再证明∠ADB=∠AFG，则tan∠ADB=tan∠AFG=AGFG=2．
此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)66；
(2)①∵a=−150，b=910，
∴y=−150x2+910x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm
∴h=−150×752+910×75+66=21，
∴基准点K的高度h为21m；
②b>910；
(3)他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为(25,76)，
设抛物线解析式为y=a(x−25)2+76，
把(0,66)代入得：
66=a(0−25)2+76，
解得a=−2125，
∴抛物线解析式为y=−2125(x−25)2+76，
当x=75时，y=−2125×(75−25)2+76=36，
∵36>21，
∴他的落地点能超过K点．
【解析】解：(1)∵起跳台的高度OA为66m，
∴A(0,66)，
把A(0,66)代入y=ax2+bx+c得：
c=66，
故答案为：66；
(2)①见答案；
②∵a=−150，
∴y=−150x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x=75时，y>21，
即−150×752+75b+66>21，
解得b>910，
故答案为：b>910；
(3)见答案．
(1)根据起跳台的高度OA为66m，即可得c=66；
(2)①由a=−150，b=910，知y=−150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21，故−150×752+75b+66>21，即可解得答案；
(3)运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线解析式为y=a(x−25)2+76，可得抛物线解析式为y=−2125(x−25)2+76，当x=75时，y=36，从而可知他的落地点能超过K点．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAE=90°，
∵将矩形纸片ABCD按图1折叠，使点B落在AD边上的点E处，
∴AB=AE，∠B=∠AEF=90°，
∴∠B=∠BAE=∠AEF=90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∵AB=AE，
∴四边形AEFB是正方形，
∴∠BAF=∠EAF=∠BFA=∠EFA=45°，
∴45°的角有∠BAF(或∠EAF或∠BFA或∠EFA)；
(2)连结MN，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=11，CD=AB=6，∠C=∠D=90°，
∵四边形AEFB是正方形，
∴EF=AB=6，∠FED=∠FEA=90°，
∴∠FED=∠D=∠C=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴EF=CD=6，FC=ED=AD−AE=11−6=5，
由折叠性质得：MF′=MF，EF′=EF，∠MF′N=∠MF′E=90°，
∵M为FC的中点，
∴MF=MC，
∴MF′=MC，
在Rt△MF′N与Rt△MCN中，
MF′=MCMN=MN，
∴Rt△MF′N≌Rt△MCN(HL)，
∴F′N=CN，
∴△EDN的周长为：DE+EN+ND=DE+EF′+F′N+ND=DE+EF+(CN+ND)=DE+EF+CD=5+6+6=17；
(3)①如图3，当点N为CD的三分点且靠近点C时，连接MN，

∴CN=13CD=13×6=2，
∴DN=CD−CN=6−2=4，
在Rt△DNE中，EN= DE2+DN2= 52+42= 41，
∴NF′=EN−EF′= 41−6；
②如图4，当点N为CD的三分点且靠近点D时，连接MN，

∴DN=13CD=13×6=2，
在Rt△DNE中，EN= DE2+DN2= 52+22= 29，
∴NF′=EF′−EN=6− 29；
综上所述，NF′的长为 41−6或6− 29．
【解析】(1)利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形AEFB是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
(2)周长为定值．连结MN，先证明四边形CDEF是矩形，可得EF=CD=6，FC=ED=5，由折叠性质并结合M为FC的中点可得到MF′=MC，EF′=EF，∠MF′N=∠MF′E=90°，然后证明Rt△MF′N≌Rt△MCN(HL)可得到F′N=CN，最后计算DE+EN+ND可知是一常数，结论得证；
(3)分两种情况计算：①当点N为CD的三分点且靠近点C时，②当点N为CD的三分点且靠近点D时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．组别
使用数量(双)
频数
A
0≤x<5
14
B
5≤x<10
C
10≤x<15
D
15≤x<20
a
E
x≥20
10
合计
50