2023年河南省洛阳市中考数学二模试卷（含解析）

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2023年河南省洛阳市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建个光子的量子计算原型机“九章”实验显示，当求解万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需秒．从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体，现将第个小正方体摆放在、、某个位置，下面说法有误的是(    )

A. 放在前面主视图不改变 B. 放在前面俯视图不改变
C. 放在前面主视图不改变 D. 放在左面左视图不改变

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件
B. 天气预报“明天降水概率，是指明天有一半的时间会下雨”
C. 甲、乙两人在相同的条件下各跳远次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定
D. 了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式

6.  如图，在平行四边形上，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是(    )

A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. 以上答案都不对

9.  如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图中点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个关于的函数解析式，使其经过点：______ ．

12.  若方程组的解，满足，则的取值范围为______．

13.  学校组织秋游，安排给九年级辆车，小明和小慧都可以从这辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为______．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，交于点则阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，矩形的边长为，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具，是初中物理中的一个著名案例，许多同学通过制作水火箭加深了学习物理的兴趣近目，某中学九年级举办了首届水火箭制作与放飞比赛，每班各支水火箭在操场上空“展翅高飞”，本次比赛以水火箭的飞行距离单位：作为比赛成绩，物理兴趣小组的同学们统计了一班和二班各支水火箭的比赛成绩比赛成绩均为整数但一班数据不完整，相关数据统计、整理如下：
一班部分、、、、、、、、、、、、、
二班：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
一班、二班水火箭比赛成绩统计表一班、二班全部水火箭比赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为该校一班和二班哪个班级的水火箭比赛整体成绩更好？请说明理由写出一条理由即可
参加此次活动的九年级一共有个班，估计这次活动中比赛成绩超过米的水火箭有多少支？

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
点是轴正半轴上一点，若，求的面积．

19.  本小题分
我市明堂天堂景区经复建后，以其高大挺拔，古朴雄浑，别具一格，深受国内外游客的喜爱小明想知道天堂的高度，在附近一高层酒店顶楼处，测得天堂塔顶处的俯角，塔底处俯角，小明所在位置高度．
求两栋建筑物之间的水平距离；
求天堂的高度结果精确到参考数据：，，，

20.  本小题分
双流某商场购进、两种服装共件，已知购进这件服装的费用不得超过元，且其中种服装不少于件，它们的进价和售价如表．

其中购进种服装为件，如果购进的、两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．
求获取总利润元与购进种服装件的函数关系式，并写出的取值范围；
该商场对种服装以每件优惠元的售价进行优惠促销活动，种服装售价不变，那么该商场应如何调整、服装的进货量，才能使总利润最大？

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
求证：．
若与相切，求的度数．
用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点不写作法，保留作图痕迹

22.  本小题分
掷实心球是某市中考体育考试的选考项目如图是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

求关于的函数表达式；
根据该市年中考体育考试评分标准男生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

23.  本小题分
【回顾思考】：用数学的思维思考
如图，在中，．
若，是的角平分线求证：．
若点，分别是边，的中点，连接，求证：．
从两题中选择一题加以证明
【猜想证明】：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在中，，为边上一动点不与点，重合对于点在边上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点，使得进而提出问题：若点，分别运动到边，的延长线上，与还相等吗？请解决下面的问题：
如图，在中，，点，分别在边，的延长线上，请添加一个条件不再添加新的字母，使，并证明．
【拓展探究】：用数学的语言表达
如图，在中，，，为边上任意一点不与点，重合，为边延长线上一点判断与能否相等若能，求的取值范围；若不能，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、；
B、；
C、；
D、，
．
故选：．
利用有理数的运算法则把数化为最简，比较大小即可得到结果．
本题考查有理数的比较，熟记有理数的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“百亿分之一”用科学记数法可以表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：放在前面主视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
B.放在前面俯视图发生变化，底层由原来的一个小正方形变为两个小正方形，原说法错误，故本选项符合题意；
C.放在前面主视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
D.放在左面左视图不改变，说法正确，故本选项不合题意；
故选：．
分别将第个小正方体摆放在、、某个位置，得出其三视图，依此即可作出判断．
本题考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：“打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，故此选项不合题意；
B.天气预报“明天降水概率，是指明天的可能会下雨”，故此选项不合题意；
C.甲、乙两人在相同的条件下各跳远次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，故此选项符合题意；
D.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽查的方式，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用概率的意义以及方差、全面调查与抽样调查的意义、随机事件的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义以及方差、全面调查与抽样调查的意义、随机事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
，，，
，
，
，
故选C．
证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查的是菱形的判定与性质、复杂尺规作图，掌握菱形的判定定理和性质定理、线段垂直平分线的作法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即，
解得，
是一元二次方程，
，
即，
故的值可以是，
故选：．
先根据根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，然后作答即可．
本题考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，
为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：．
由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与是反比例关系，可得为常数，即可得到答案．
本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
 

9.【答案】 

【解析】解：将绕点，逆时针旋转，每秒旋转，
每旋转次回到原来位置，
，
则第秒旋转后与旋转第次位置相同，
即相当于将绕点，逆时针旋转，
如图所示：
，，，
第秒旋转结束时，点在第四象限，坐标为．
故选：．
直接利用旋转的性质得出对应点位置，结合勾股定理得出答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出对应点位置是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，
当时，即点运动了，
此时点在线段上，，
则点为的中点，
又因为，
所以．
所以图中的坐标为．
故选：．
图中的图象有三段，正好对应图中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图中点的纵坐标．
本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图中的点的并不是最小值，另外不要求成图中的点的坐标．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：可以设函数解析式为，
图象过点，
，
，
．
故答案为：答案不唯一．
可以设函数为一次函数，解析式为，图象过点，可得，即可得到．
本题考查了函数的综合应用，熟练掌握利用待定系数法求函数的解析式是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：得：，
，
，
解得：，故答案为：．
方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：列表如下三辆车分别用，，表示：

所有等可能的情况有种，其中小明和小慧同车的情况有种，
则．
故答案为：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，，，，而，
，
又，
是正三角形，
，，


，
故案为：．
根据锐角三角函数可求出的度数，再根据等边三角形的判定和性质求出的度数，最后由进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，锐角三角函数以及等边三角形的判定和性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】或 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
将沿对角线翻折得到，
，，
将进行翻折，得到，
，，
当点恰好落在上时，如图，

在和中，
，
≌，
，
为等腰三角形，
，
点为中点，
，
在中，根据勾股定理得：
；
当点恰好落在上时，如图，

，
四边形是矩形，
，
由翻折可知：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
分两种情况画图讨论：当点恰好落在上时，如图，当点恰好落在上时，如图，然后利用翻折性质证明≌，再利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

16.【答案】解：原式
；
原式



． 

【解析】先根据乘方的意义和负整数指数幂的意义计算，然后把化简即可；
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了实数运算．
 

17.【答案】     

【解析】解：一班和二班的总人数：人，
二班的人数有人，
一班的人数：人，
一班水火箭比赛成绩的中位数，
根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数，
一班和二班的人数有人，所对应圆心角的度数为：，
，
故答案为：，，；
一班，
因为一班和二班的平均数相同，但是中位数或众数高于二班；
被调查的个数据中，成绩超过米的有支，
个班中，每班按支参赛计算，
则支，
答：估计这次活动中比赛成绩超过米的水火箭有支．
根据扇形统计图中的数据可以计算一班和二班的总人数，减去出二班的人数可得一班的人数，然后根据中位数的定义求出的值，根据整理的数据可得二班水火箭比赛成绩的众数的值，根据一班和二班的人数可得的值；
根据统计图中的数据一班、二班水火箭比赛成绩的平均数相等，利用中位数和众数可以解答本题；
根据统计图中的数据可知一班和二班成绩超过米的水火箭有支，求出所占比例从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图，掌握利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，作出正确的判断是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

过点作轴，垂足为，则．
一次函数的图像与轴交于点，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
由得出，从而得出，然后利用求得即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，
在中，，
，
，
两建筑物底部之间水平距离的长度约为；
在中，，，
，
，
，
天堂的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意，得，
解得：，
；

由题意，得，
方案：当时，，随的增大而增大，所以当时，有最大值，则购进种服装件，种服装件；
方案：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案：当时，，随的增大而减小，所以当时，有最大值，则购进种服装件，种服装件． 

【解析】根据题意列出函数解析式解答即可；
找出利润关于购进种服装之间的关系式，分的情况讨论．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据题意列出一次函数解析式；找出利润关于购进种服装的关系式，由函数的性质分的情况讨论．本题属于中档题，难度不大，需要分的情况讨论．
 

21.【答案】证明：是直径，
，
，
，
；
解：与相切，为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；
解：如图，

作的角平分线交于点，则点即是劣弧的中点． 

【解析】由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可证明；
由切线的性质得出，由，得出是等腰直角三角形，即可求出；
利用尺规作图，作的平分线交于点，则点即是劣弧的中点．
本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，尺规作图等知识是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意设关于的函数表达式为：
，
把代入解析式得，
，
解得：
关于的函数表达式为：；
该生在此项考试中得不到满分，理由：
当，则，，
解得：，舍去，
，
该生在此项考试中得不到满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
 

23.【答案】证明：，
，
，是的角平分线，
，，
，
，，
≌，
；
，点，分别是边，的中点，
，，
，
，，
≌，
；
解：添加条件，证明如下：
，，
，
即，
，，
≌，
；
解：能，理由如下：
如图，在线段上取一点，使得，

若，则，反之也成立．
，
，
显然越大，就越大，也越大，
假设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
，
，，
，
整理，得：，
解得：，不符合题意，舍去，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
，
与不重合，
． 

【解析】证≌，再由全等三角形的性质即可得出结论；
证≌，再由全等三角形的性质即可得出结论；
证≌，再由全等三角形的性质即可得出结论；
设，假设，利用相似三角形的性质求出的值，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．