2024八年级数学下册第8章一元二次方程综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制）

这是一份2024八年级数学下册第8章一元二次方程综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制），共10页。

第八章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·青岛城阳区期中】下列式子是一元二次方程的是(　　)A．x2－5x－3 B．x2－1＝yC．5x＋1＝0 D．7－x(x－1)＝52．方程(x＋1)(x＋2)＝0化为一般形式后，常数项为(　　)A．6 B．－8 C．2 D．－4　3．观察下列表格，一元二次方程x2－x＝1.1的一个解x所在的范围是(　　)A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.94．关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋m2x＋m＝0的一次项的系数为1，则m的值为(　　)A．－1 B．±1 C．1 D．0　5．【2023·济宁曲阜市期末】用配方法解方程x2－8x＋10＝0，配方后的方程是(　　)A．(x－8)2＝6 B．(x－4)2＝－6 C．(x－4)2＝6 D．(x－8)2＝54 6．【2022·辽宁】下列一元二次方程无实数根的是(　　)A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0 C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝07．【2023·北京】若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)A．－9 B．－eq \f(9,4) C．eq \f(9,4) D．98．【2022·遂宁】已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，那么m3＋2m2－2 025m＋2 022的值为(　　)A．－2 022 B．0 C．2 022 D．4 0449．【2023·乐山】若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为(　　)A．4 B．8 C．12 D．1610．方程x(x－1)＝2的两根为(　　)A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝－1C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝211．【2023·滨州滨城区期末】九年级学生毕业时，每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2 070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为(　　)A．eq \f(1,2)x(x－1)＝2 070 B．eq \f(1,2)x(x＋1)＝2 070 C．x(x＋1)＝2 070 D．x(x－1)＝2 07012．【2022·湖北】若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m的值为(　　) A．2或6 B．2或8 C．2 D．6二、填空题(每题3分，共18分)13．【2023·临沂兰山区月考】方程x2－c＝0的一个根为x＝2 022，则另一个根为 x＝________．14．【2023·辽宁】若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．15．【2023·内蒙古】若x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＝0的两个实数根，则 eq \f(x1＋x2,x1x2)＝________．16．关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为2和－3，则分解因式：x2＋bx＋c＝____________．17．【2023·济南槐荫区一模】若菱形的两条对角线长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则该菱形的周长等于________．18．在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为________．三、解答题(19题6分，20～22题每题8分，23～25题每题12分，共66分)19．【2023·青岛胶州市校级月考】解方程：(1)x2－2x－2＝0(配方法)；(2)3x2－x－1＝0；(3)3x2＋5(2x＋1)＝0.20．【2023·荆州】已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围．(2)当k＝1时，用配方法解方程．21．【2023·大连】某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加，2020年购书费用为5 000元，2022年购书费用为7 200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．22．【新定义题】定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－ b＋c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．(1)判断一元二次方程2x2＋5x＋3＝0是否为黄金方程，并说明理由．(2)已知3x2－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．23．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0的两个根，第三边BC的长是10.(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．(3)当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？24．【2023·泰安肥城市开学】某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1 500件，市场前期调查反映，如调整价格，每件每涨价1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1 200件．(1)每件售价最高为多少元？(2)实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每月销量比最低销量1 200件多卖120件，要使利润达到25 920元，则每件应降价多少元？25．【2022·黄石】阅读材料，解答问题：材料1　为了解方程(x2)2－13x2＋36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2　已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数关系可知m＋n＝1，mn＝－1.根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程x4－5x2＋6＝0的解为______________________________．(2)间接应用：已知实数a，b满足：2a4－7a2＋1＝0，2b4－7b2＋1＝0且a≠b，求a4＋b4的值．(3)拓展应用：已知实数m，n满足：eq \f(1,m4)＋eq \f(1,m2)＝7，n2－n＝7且n＞0，求eq \f(1,m4)＋n2的值．答案一、1．D　【点拨】A．x2－5x－3是代数式；B．x2－1＝y中含有两个未知数，不是一元二次方程；C．5x＋1＝0是一元一次方程；D．7－x(x－1)＝5是一元二次方程．2．C　【点拨】(x＋1)(x＋2)＝0化为一般形式后为x2＋3x＋2＝0，常数项为2.3．B　【点拨】∵0.96＜1.1＜1.19，∴1.6＜x＜1.7.4．C　【点拨】∵关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋m2x＋m＝0的一次项的系数为1，∴m2＝1，∴m＝±1.∵m＋1≠0，∴m≠－1，∴m＝1.5．C　【点拨】x2－8x＋10＝0，x2－8x＝－10，x2－8x＋16＝－10＋16，即(x－ 4)2＝6.6．C　【点拨】A．Δ＝12－4×1×(－2)＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根；B．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；C．Δ＝12－4×1×5＝－19＜0，则该方程无实数根；D．Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根．7．C　【点拨】∵关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4m＝0，解得m＝eq \f(9,4).8．B　【点拨】∵m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，∴m2＋3m－2 022＝0，∴m2＋3m＝2 022，∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－2 022m＋2 022＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－2 022m＋2022＝2 022m－2 022－2 022m＋2 022＝0.9．C　【点拨】∵一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，∴x1＋x2＝8. 又∵x1＝3x2，∴3x2＋x2＝8，解得x2＝2，∴x1＝6，∴m＝x1x2＝12.10．D11．D　【点拨】根据“x名同学都将自己的相片送给全班其他同学，共送出x(x－1)张”可列方程．12．A　【点拨】∵关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝(－2m)2－4(m2－4m－1)≥0，即m≥－eq \f(1,4)，x1x2＝m2－4m－1，x1＋x2＝2m，∵(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4－2x1x2＝17，即 2(x1＋x2)＋4－x1x2＝17，∴4m＋4－m2＋4m＋1＝17，即m2－8m＋12＝0，解得m＝2或m＝6.二、13．－2 022　【点拨】形如x2－c＝0的方程的两个根互为相反数，所以另一个根为x＝－2 022.14．k≤－eq \f(3,4)　【点拨】根据题意得Δ＝(－1)2－4×(k＋1)≥0，解得k≤－eq \f(3,4) .15．－eq \f(1,4)　【点拨】根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝－8，则eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(2,－8)＝－eq \f(1,4) .16．(x－2)(x＋3)17．10　【点拨】原方程可化为(x－3)(x－4)＝0，∴x＝3或x＝4，∵菱形的两条对角线长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，∴菱形的两条对角线长为3，4，∴菱形的边长为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))\s\up12(2))＝2.5，∴菱形的周长为4×2.5＝10.18．1个或2个　【点拨】∵直线y＝－x＋m不经过第一象限，∴m≤0.当m＝0时，方程mx2＋x＋1＝0为x＋1＝0，解得x＝－1；当m＜0时，Δ＝1－4m＞0，∴方程有两个不相等的实数根，综上所述，关于x的方程mx2＋x＋1＝0的实数根的个数为1个或2个．三、19．【解】(1)x2－2x－2＝0，x2－2x＝2，x2－2x＋1＝3，即(x－1)2＝3，∴x－ 1＝±eq \r(3)，∴x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3)；(2)3x2－x－1＝0，这里a＝3，b＝－1，c＝－1，∴b2－4ac＝(－1)2－4×3× (－1)＝13＞0，∴x＝eq \f(1±\r(13),2×3)＝eq \f(1±\r(13),6)，∴x1＝eq \f(1＋\r(13),6)，x2＝eq \f(1－\r(13),6)；(3)3x2＋5(2x＋1)＝0，3x2＋10x＋5＝0，这里a＝3，b＝10，c＝5，∴b2－ 4ac＝102－4×3×5＝40＞0，∴x＝eq \f(－10±\r(40),2×3)＝eq \f(－5±\r(10),3)，∴x1＝eq \f(－5＋\r(10),3)，x2＝eq \f(－5－\r(10),3).20．【解】(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋4)2－4k(k－6)＞0，且k≠0，解得k＞－eq \f(2,5) 且k≠0；(2)当k＝1时，原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，即x2－6x－5＝0，移项得x2－6x＝5，配方得x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14，直接开平方得x－3＝ ±eq \r(14)，解得x1＝3＋eq \r(14)，x2＝3－eq \r(14).21．【解】设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)．答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%.22．【解】(1)一元二次方程2x2＋5x＋3＝0是黄金方程，理由如下：由题意得a＝2，b＝5，c＝3，∴a－b＋c＝2－5＋3＝0，∴一元二次方程2x2＋5x＋3＝0是黄金方程；(2)∵3x2－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，∴3＋b－(－a)＝0，∴b＝－a－3，∴原方程为3x2－ax－a－3＝0，∵a是此黄金方程的一个根，∴3a2－a2－a－ 3＝0，即2a2－a－3＝0，∴(a＋1)(2a－3)＝0，解得a＝－1或a＝eq \f(3,2).23．(1)【证明】∵Δ＝[－2(n－1)]2－4(n2－2n)＝4＞0，∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)【解】由(1)知无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．又∵第三边BC的长是10，∴当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，把x＝10代入x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0，得100－20(n－1)＋n2－2n＝0，解得n1＝12，n2＝10.①当n＝12时，原方程可化为x2－22x＋120＝0，设等腰三角形的底边长为m，由根与系数的关系，得m＋10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为10＋10＋12＝32；②当n＝10时，原方程可化为x2－18x＋80＝0，设等腰三角形的底边长为q，由根与系数的关系，得10＋q＝18，解得q＝8， ∴△ABC的周长为10＋10＋8＝28.综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28.(3)【解】∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－2(n－1)x＋n2－2n＝0的两个根，∴AB＋AC＝2(n－1)，AB·AC＝n2－2n，∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，即4(n－1)2－2(n2－2n)＝100，解得n1＝8，n2＝－6.当n＝8时，AB＋AC＝2×(8－1)＝14，符合题意，当n＝－6时，AB＋AC＝2×(－6－1)＝－14，不符合题意．综上，当n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．24．【解】(1)设每件的售价为x元，依题意得1 500－60(x－45)≥1 200，解得x≤50.答：每件售价最高为50元．(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(50－y－30)元，每月的销量为 (1 200＋120y)件，依题意得(50－y－30)(1 200＋120y)＝25 920，解得y1＝2， y2＝8.又∵要尽快减少库存，∴y＝8.答：每件应降价8元．25．【解】(1)x1＝eq \r(2)，x2＝－eq \r(2)，x3＝eq \r(3)，x4＝－eq \r(3)(2)∵a≠b，∴a2≠b2或a2＝b2.①当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n.∴m≠n，2m2－ 7m＋1＝0，2n2－7n＋1＝0，∴m，n是方程2x2－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝\f(7,2)，,mn＝\f(1,2)，))此时a4＋b4＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝eq \f(45,4).②当a2＝b2 (a＝－b)时，a2＝b2＝eq \f(7±\r(41),4)，此时a4＋b4＝2a4＝2(a2)2＝eq \f(45±7\r(41),4)，综上所述，a4＋b4＝eq \f(45,4)或eq \f(45±7\r(41),4).(3)令eq \f(1,m2)＝a，－n＝b，则a2＋a－7＝0，b2＋b－7＝0，∵n＞0，∴eq \f(1,m2)≠－n，即a≠b，∴a，b是方程x2＋x－7＝0的两个不相等的实数根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－1，,ab＝－7，))故 eq \f(1,m4)＋n2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝15.x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2－x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71