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2024九年级数学下册第五章圆综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制）
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这是一份2024九年级数学下册第五章圆综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制），共16页。
第五章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，若∠EOF＝55°，则∠BOC的度数等于( )A．125° B．120° C．115° D．110°3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝41°，则∠ABC＝( )A．39° B．41° C．49° D．59°4．如图，已知AC是⊙O的直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝( )A．1 B．2 C．3 D．45．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为( )A．2 B．3 C．4 D．56．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是eq \o(AB,\s\up8(︵))上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是( )A．110° B．100° C．140° D．80°7．如图，从一块半径为8 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC，则扇形BAC中弧BC的长为( )A.eq \f(4π,3) cm B.eq \f(8π,3) cm C.eq \f(4\r(3)π,3) cm D.eq \f(8\r(3)π,3) cm8．如图，AB是⊙O的弦，且直径AC＝6，BD＝3，AC⊥BD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°，则DE的长为( )A．3 B．4 C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)9．如图，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB于D，点A，E关于CD所在的直线对称，若∠B＝38.20°，则∠DIE的度数是( )A．70.88° B．70.90° C．70.92° D．70.94°10．如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在eq \o(AB,\s\up8(︵))上的点C处，则图中阴影部分的面积为( )A.eq \f(16π,3)－4eq \r(3) B.eq \f(32π,3)－4eq \r(3)C.eq \f(16π,3)－8eq \r(3) D.eq \f(32π,3)－8eq \r(3)11．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，AB＝20 cm，BC＝15 cm，CD＝12eq \r(2) cm，DA＝13 cm，BD＝21 cm，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为( )A．21 cm B．15eq \r(2) cm C.eq \f(65,3) cm D．25 cm12．【2023·淄博张店区模拟】如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S.下面三个推断：①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题(每题3分，共18分)13．已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为______．14．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________．15．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，eq \o(AB,\s\up8(︵))是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB.“会圆术”给出eq \o(AB,\s\up8(︵))的长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq \f(CD2,OA) .当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l－s|＝________．(结果保留一位小数)17．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO，BO，CO，DO，记△AOD，△AOB，△COB，△DOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4的数量关系为____________.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为________．三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．20．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.(1)求证：BE∥AM；(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．21．【2023·烟台莱阳模拟】如图，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB.求证：(1)CD＝EF；(2)eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)).22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝5eq \r(3)，求图中阴影部分的面积．23.如图是一座圆弧形拱桥，水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC；(2)求证：AB∶AC＝BF∶CF；(3)求证：AF2＝AB·AC－BF·CF；(4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明)答案一、1.A2．D 【点拨】设OF交AC于点J.∵OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠OEJ＝∠AFJ＝90°.∵∠OJE＝∠AJF，∴∠FAJ＝∠EOF＝55°，∴∠BOC＝2∠CAB＝110°.3．C 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BAC＝∠BDC＝41°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝180°－90°－41°＝49°.4．B 【点拨】连接OB.∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD.∵OB＝OC，∴OD⊥BC，BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10.∴OB＝eq \f(1,2)AC＝5.∴OE＝eq \r(OB2－BE2)＝eq \r(52－42)＝3.∴DE＝OD－OE＝OB－OE＝5－3＝2.5．B 【点拨】∵半径OD⊥弦AB，∴AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝2.又∵OA＝OE，∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC.在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x－1.∵AO2＝OC2＋AC2，∴x2＝(x－1)2＋22，解得x＝eq \f(5,2)，∴OC＝eq \f(3,2)，∴EB＝2OC＝3.6．A 【点拨】连接OA，OB，作eq \o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角∠ADB.∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠APB＝140°.∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝70°.∴∠ACB＝180°－70°＝110°.7．D 【点拨】连接OB，OC，BC，过O作OD⊥BC交BC于点D.∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°.∵OD⊥BC，OB＝OC，∴BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝eq \f(1,2)∠BOC＝60°，∠BDO＝90°.∴BD＝OB· sin 60°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)(cm)．∴BC＝2BD＝8eq \r(3) cm.∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝8eq \r(3) cm.∴弧BC的长为eq \f(60π×8\r(3),180)＝eq \f(8\r(3)π,3)(cm)．8．C 【点拨】连接OE.∵直径AC＝6，BD＝3，∴OD＝OB＝BD＝3，∴△BOD为等边三角形．∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°.∵AC⊥BD，∴∠BOC＝eq \f(1,2)∠BOD＝30°.∴∠A＋∠ABO＝30°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝15°.∴∠ABD＝∠ABO＋∠OBD＝75°.∵∠ABD＝eq \f(1,2)∠AOD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°，∴∠ABD＋∠EDB＝180°，即∠ABD＋∠ODE＋∠ODB＝180°.∴∠ODE＝45°.又∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED＝45°，即△DOE为等腰直角三角形．∴DE＝eq \r(2)OD＝3eq \r(2).9．B 【点拨】∵∠B＝38.20°，∴∠BAC＋∠ACB＝180°－∠B＝180°－38.20°＝141.80°.∵点I是△ABC的内心，∴∠DAI＝∠CAI＝eq \f(1,2)∠BAC，∠ACI＝∠ECI＝eq \f(1,2)∠ACB，∴∠CAI＋∠ACI＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)＝70.90°.∵点A，E关于CD所在的直线对称，∴AI＝EI，AD＝ED.在△ADI和△EDI中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝ED，,AI＝EI，,DI＝DI，))∴△ADI≌△EDI(SSS)，∴∠AID＝∠EID.∵∠AID＝∠CAI＋∠ACI＝70.90°，∴∠EID＝70.90°.10．C 【点拨】连接OC交AB于点H.∵△OAB沿AB折叠得到△CAB，∴AB垂直平分OC，△OAB≌△CAB，∴OH＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,2)×4＝2，△OAB的面积＝△CAB的面积．∵cos∠AOH＝eq \f(OH,OA)＝eq \f(1,2)，∴∠AOH＝60°.∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH.∴扇形AOB的面积＝eq \f(120π×42,360)＝eq \f(16π,3).易得AH＝eq \r(3)OH＝2eq \r(3)，∴AB＝4eq \r(3)，∴△OAB的面积＝eq \f(1,2)AB·OH＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2＝4eq \r(3)，∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积－△OAB的面积×2＝eq \f(16π,3)－8eq \r(3).11．D 【点拨】过A作AE⊥BD于点E，过C作CF⊥BD于点F，连接AC交BD于点G.在Rt△ABE中，AE2＝AB2－BE2，在Rt△ADE中，AE2＝AD2－DE2.设BE＝x cm，则DE＝(21－x)cm，∴202－x2＝132－(21－x)2，解得x＝16，即BE＝16 cm，∴AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(202－162)＝12(cm)．在Rt△BCF中，CF2＝BC2－BF2，在Rt△DCF中，CF2＝DC2－DF2.设BF＝y cm，则DF＝(21－y)cm，∴152－y2＝(12eq \r(2))2－(21－y)2，解得y＝9，即BF＝9 cm，∴CF＝eq \r(BC2－BF2)＝eq \r(152－92)＝12(cm)．∵∠BGC＝∠AGD，∠CFG＝∠AEG＝90°，CF＝AE＝12 cm，∴△CFG≌△AEG(AAS)，∴FG＝EG，AG＝CG.又∵FE＝BE－BF＝16－9＝7(cm)，∴FG＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(7,2) cm，∴CG＝eq \r(CF2＋FG2)＝eq \r(122＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))＝eq \f(25,2)(cm)．∴AC＝2CG＝2×eq \f(25,2)＝25(cm)，∵AC＞BD，∴此圆形纸板的直径为25 cm.12．D 【点拨】①∵α＝eq \f(360°,n)，∴α是n的反比例函数，故①正确．②如图，过点O作OB⊥A1A2于点B，则d＝OB.∵OA1＝OA2，∴∠BOA1＝eq \f(1,2)∠A1OA2＝eq \f(1,2)α，∴d＝r·coseq \f(1,2)α.∵α为定值，即coseq \f(1,2)α为定值，∴d是r的正比例函数，故②正确．③∵n为定值，α＝eq \f(360°,n)，∴α为定值．易得BA1＝eq \f(1,2)A1A2.∵BA1＝r·sineq \f(1,2)α，d＝r·coseq \f(1,2)α，∴S＝eq \f(1,2)·A1A2·d＝r·sineq \f(1,2)α·r·coseq \f(1,2)α＝(sin eq \f(1,2) α·coseq \f(1,2) α)·r2，∴S为r的二次函数，故③正确．二、13.60π cm2 【点拨】圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，由勾股定理得，底面半径为6 cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60π(cm2)．14．120° 【点拨】设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°.15．24 【点拨】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r.则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)，∴k＝2ar.易知S△ACD＝eq \f(1,2)AC·AE，∴eq \f(1,2)·r·a＝6，即ar＝12，∴k＝2ar＝24.16．0.1 【点拨】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝2eq \r(2).∵C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB，∴延长DC可得O在直线DC上，OC＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2).∴CD＝OD－OC＝2－eq \r(2)，∴s＝AB＋eq \f(CD2,OA)＝2eq \r(2)＋eq \f(（2－\r(2)）2,2)＝3，又∵l＝eq \f(90×π×2,180)＝π，∴|l－s|＝|π－3|≈0.1.17．S1＋S3＝S2＋S4 【点拨】如图，设⊙O的半径为r，切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，易知OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC，OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r.设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，则S1＝eq \f(1,2)r(a＋b)，S2＝eq \f(1,2)r(b＋c)，S3＝eq \f(1,2)r(c＋d)，S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)，∴S1＋S3＝eq \f(1,2)r(a＋b)＋eq \f(1,2)r(c＋d)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，S2＋S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)＋eq \f(1,2)r (b＋c)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，∴S1＋S3＝S2＋S4.18.eq \f(6,7) 【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB.∵AB，BC是⊙O的切线，∴OE，OF是⊙O的半径．∴OE＝OF.∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4.∵D是BC边的中点，∴BD＝CD＝2.∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)BD·OF＝eq \f(1,2)BD·AC，即5OE＋2OE＝2×3，解得OE＝eq \f(6,7).∴⊙O的半径为eq \f(6,7).三、19.【解】∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠OAP＝90°.∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝30°.20．(1)【证明】∵MC是⊙O的直径，∴∠MAC＝90°.∴MA⊥AC.又∵BE⊥AC，∴BE∥MA.(2)【解】连接MB.∵MC是⊙O的直径，∴∠MBC＝90°.∴MB⊥BC.∵AD⊥BC，∴BM∥AD.又∵BE∥MA，∴四边形AMBH是平行四边形．∴AH＝MB.∵圆的半径是2，∴MC＝4.∴MB＝eq \r(MC2－BC2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).∴AH＝eq \r(7).21．【证明】(1)如图，过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD，OE.∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON.又∵OE＝OD，∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL)．∴DN＝EM.∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EM＝eq \f(1,2)EF，DN＝eq \f(1,2)CD.∴CD＝EF.(2)∵CD＝EF，∴eq \o(CD,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵)).∴eq \o(CD,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))，即eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)).22．(1)【证明】如图，连接OD. ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2.∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC.∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC.∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线．(2)【解】如图，过点O作OG⊥BC于点G，连接OE，则BG＝EG，四边形ODCG为矩形，∴OG＝CD＝5eq \r(3).在Rt△OBG中，由勾股定理得BG＝eq \r(OB2－OG2)＝eq \r(102－（5\r(3)）2)＝5，∴BE＝2BG＝10，∴OB＝BE＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴S阴影＝S扇形BOE－S△BOE＝eq \f(60π×102,360)－eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝eq \f(50π,3)－25eq \r(3).23．【解】(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点C，连接AE，则CF＝20 m.由垂径定理知AF＝FB＝eq \f(1,2)AB＝40 m.设半径是r m，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.∴桥拱所在圆的半径为50 m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：如图，假设MN＝60 m，且MN∥AB.连接EM，设EC与MN的交点为D，则DE⊥MN，∴DM＝30 m.∴DE＝eq \r(EM2－DM2)＝eq \r(502－302)＝40(m)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)【证明】过点F作FH⊥AC于H，FG⊥AB于G.∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线．又∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH.∵S△ABF＝eq \f(1,2)·AB·FG，S△ACF＝eq \f(1,2)·AC·FH，∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)·AB·FG)∶(eq \f(1,2)·AC·FH)＝AB∶AC.(2)【证明】过点A作AM⊥BC于点M.∵S△ABF＝eq \f(1,2)BF·AM，S△ACF＝eq \f(1,2)FC·AM，∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)BF·AM)∶(eq \f(1,2)FC·AM)＝BF∶FC，由(1)可得S△ABF ∶S△ACF＝AB ∶AC.∴AB ∶AC＝BF ∶FC.(3)【证明】连接DB，DC.∵eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AB,\s\up8(︵))，eq \o(DC,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴eq \f(BF,AF)＝eq \f(DF,CF)，即BF·CF＝AF·DF.∵eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∴∠FBA＝∠ADC.又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC.∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AF,AC)，即AB·AC＝AD·AF.∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF2＋AF·DF，∴AF2＝AB·AC－AF·DF＝AB·AC－BF·CF.(4)【解】DE2＝DA·DF.
第五章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，若∠EOF＝55°，则∠BOC的度数等于( )A．125° B．120° C．115° D．110°3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝41°，则∠ABC＝( )A．39° B．41° C．49° D．59°4．如图，已知AC是⊙O的直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝( )A．1 B．2 C．3 D．45．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为( )A．2 B．3 C．4 D．56．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是eq \o(AB,\s\up8(︵))上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是( )A．110° B．100° C．140° D．80°7．如图，从一块半径为8 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC，则扇形BAC中弧BC的长为( )A.eq \f(4π,3) cm B.eq \f(8π,3) cm C.eq \f(4\r(3)π,3) cm D.eq \f(8\r(3)π,3) cm8．如图，AB是⊙O的弦，且直径AC＝6，BD＝3，AC⊥BD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°，则DE的长为( )A．3 B．4 C．3eq \r(2) D．4eq \r(2)9．如图，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB于D，点A，E关于CD所在的直线对称，若∠B＝38.20°，则∠DIE的度数是( )A．70.88° B．70.90° C．70.92° D．70.94°10．如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在eq \o(AB,\s\up8(︵))上的点C处，则图中阴影部分的面积为( )A.eq \f(16π,3)－4eq \r(3) B.eq \f(32π,3)－4eq \r(3)C.eq \f(16π,3)－8eq \r(3) D.eq \f(32π,3)－8eq \r(3)11．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，AB＝20 cm，BC＝15 cm，CD＝12eq \r(2) cm，DA＝13 cm，BD＝21 cm，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为( )A．21 cm B．15eq \r(2) cm C.eq \f(65,3) cm D．25 cm12．【2023·淄博张店区模拟】如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S.下面三个推断：①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题(每题3分，共18分)13．已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为______．14．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________．15．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，eq \o(AB,\s\up8(︵))是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB.“会圆术”给出eq \o(AB,\s\up8(︵))的长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq \f(CD2,OA) .当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l－s|＝________．(结果保留一位小数)17．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO，BO，CO，DO，记△AOD，△AOB，△COB，△DOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4的数量关系为____________.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为________．三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数．20．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.(1)求证：BE∥AM；(2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长．21．【2023·烟台莱阳模拟】如图，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB.求证：(1)CD＝EF；(2)eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)).22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝5eq \r(3)，求图中阴影部分的面积．23.如图是一座圆弧形拱桥，水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证：S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC；(2)求证：AB∶AC＝BF∶CF；(3)求证：AF2＝AB·AC－BF·CF；(4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明)答案一、1.A2．D 【点拨】设OF交AC于点J.∵OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠OEJ＝∠AFJ＝90°.∵∠OJE＝∠AJF，∴∠FAJ＝∠EOF＝55°，∴∠BOC＝2∠CAB＝110°.3．C 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BAC＝∠BDC＝41°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝180°－90°－41°＝49°.4．B 【点拨】连接OB.∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD.∵OB＝OC，∴OD⊥BC，BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10.∴OB＝eq \f(1,2)AC＝5.∴OE＝eq \r(OB2－BE2)＝eq \r(52－42)＝3.∴DE＝OD－OE＝OB－OE＝5－3＝2.5．B 【点拨】∵半径OD⊥弦AB，∴AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝2.又∵OA＝OE，∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC.在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x－1.∵AO2＝OC2＋AC2，∴x2＝(x－1)2＋22，解得x＝eq \f(5,2)，∴OC＝eq \f(3,2)，∴EB＝2OC＝3.6．A 【点拨】连接OA，OB，作eq \o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角∠ADB.∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠APB＝140°.∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝70°.∴∠ACB＝180°－70°＝110°.7．D 【点拨】连接OB，OC，BC，过O作OD⊥BC交BC于点D.∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°.∵OD⊥BC，OB＝OC，∴BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝eq \f(1,2)∠BOC＝60°，∠BDO＝90°.∴BD＝OB· sin 60°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)(cm)．∴BC＝2BD＝8eq \r(3) cm.∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝8eq \r(3) cm.∴弧BC的长为eq \f(60π×8\r(3),180)＝eq \f(8\r(3)π,3)(cm)．8．C 【点拨】连接OE.∵直径AC＝6，BD＝3，∴OD＝OB＝BD＝3，∴△BOD为等边三角形．∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°.∵AC⊥BD，∴∠BOC＝eq \f(1,2)∠BOD＝30°.∴∠A＋∠ABO＝30°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝15°.∴∠ABD＝∠ABO＋∠OBD＝75°.∵∠ABD＝eq \f(1,2)∠AOD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°，∴∠ABD＋∠EDB＝180°，即∠ABD＋∠ODE＋∠ODB＝180°.∴∠ODE＝45°.又∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED＝45°，即△DOE为等腰直角三角形．∴DE＝eq \r(2)OD＝3eq \r(2).9．B 【点拨】∵∠B＝38.20°，∴∠BAC＋∠ACB＝180°－∠B＝180°－38.20°＝141.80°.∵点I是△ABC的内心，∴∠DAI＝∠CAI＝eq \f(1,2)∠BAC，∠ACI＝∠ECI＝eq \f(1,2)∠ACB，∴∠CAI＋∠ACI＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)＝70.90°.∵点A，E关于CD所在的直线对称，∴AI＝EI，AD＝ED.在△ADI和△EDI中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝ED，,AI＝EI，,DI＝DI，))∴△ADI≌△EDI(SSS)，∴∠AID＝∠EID.∵∠AID＝∠CAI＋∠ACI＝70.90°，∴∠EID＝70.90°.10．C 【点拨】连接OC交AB于点H.∵△OAB沿AB折叠得到△CAB，∴AB垂直平分OC，△OAB≌△CAB，∴OH＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,2)×4＝2，△OAB的面积＝△CAB的面积．∵cos∠AOH＝eq \f(OH,OA)＝eq \f(1,2)，∴∠AOH＝60°.∵OA＝OB，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH.∴扇形AOB的面积＝eq \f(120π×42,360)＝eq \f(16π,3).易得AH＝eq \r(3)OH＝2eq \r(3)，∴AB＝4eq \r(3)，∴△OAB的面积＝eq \f(1,2)AB·OH＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2＝4eq \r(3)，∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积－△OAB的面积×2＝eq \f(16π,3)－8eq \r(3).11．D 【点拨】过A作AE⊥BD于点E，过C作CF⊥BD于点F，连接AC交BD于点G.在Rt△ABE中，AE2＝AB2－BE2，在Rt△ADE中，AE2＝AD2－DE2.设BE＝x cm，则DE＝(21－x)cm，∴202－x2＝132－(21－x)2，解得x＝16，即BE＝16 cm，∴AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(202－162)＝12(cm)．在Rt△BCF中，CF2＝BC2－BF2，在Rt△DCF中，CF2＝DC2－DF2.设BF＝y cm，则DF＝(21－y)cm，∴152－y2＝(12eq \r(2))2－(21－y)2，解得y＝9，即BF＝9 cm，∴CF＝eq \r(BC2－BF2)＝eq \r(152－92)＝12(cm)．∵∠BGC＝∠AGD，∠CFG＝∠AEG＝90°，CF＝AE＝12 cm，∴△CFG≌△AEG(AAS)，∴FG＝EG，AG＝CG.又∵FE＝BE－BF＝16－9＝7(cm)，∴FG＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(7,2) cm，∴CG＝eq \r(CF2＋FG2)＝eq \r(122＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))＝eq \f(25,2)(cm)．∴AC＝2CG＝2×eq \f(25,2)＝25(cm)，∵AC＞BD，∴此圆形纸板的直径为25 cm.12．D 【点拨】①∵α＝eq \f(360°,n)，∴α是n的反比例函数，故①正确．②如图，过点O作OB⊥A1A2于点B，则d＝OB.∵OA1＝OA2，∴∠BOA1＝eq \f(1,2)∠A1OA2＝eq \f(1,2)α，∴d＝r·coseq \f(1,2)α.∵α为定值，即coseq \f(1,2)α为定值，∴d是r的正比例函数，故②正确．③∵n为定值，α＝eq \f(360°,n)，∴α为定值．易得BA1＝eq \f(1,2)A1A2.∵BA1＝r·sineq \f(1,2)α，d＝r·coseq \f(1,2)α，∴S＝eq \f(1,2)·A1A2·d＝r·sineq \f(1,2)α·r·coseq \f(1,2)α＝(sin eq \f(1,2) α·coseq \f(1,2) α)·r2，∴S为r的二次函数，故③正确．二、13.60π cm2 【点拨】圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，由勾股定理得，底面半径为6 cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60π(cm2)．14．120° 【点拨】设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°.15．24 【点拨】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r.则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)，∴k＝2ar.易知S△ACD＝eq \f(1,2)AC·AE，∴eq \f(1,2)·r·a＝6，即ar＝12，∴k＝2ar＝24.16．0.1 【点拨】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝2eq \r(2).∵C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB，∴延长DC可得O在直线DC上，OC＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2).∴CD＝OD－OC＝2－eq \r(2)，∴s＝AB＋eq \f(CD2,OA)＝2eq \r(2)＋eq \f(（2－\r(2)）2,2)＝3，又∵l＝eq \f(90×π×2,180)＝π，∴|l－s|＝|π－3|≈0.1.17．S1＋S3＝S2＋S4 【点拨】如图，设⊙O的半径为r，切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，易知OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC，OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r.设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，则S1＝eq \f(1,2)r(a＋b)，S2＝eq \f(1,2)r(b＋c)，S3＝eq \f(1,2)r(c＋d)，S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)，∴S1＋S3＝eq \f(1,2)r(a＋b)＋eq \f(1,2)r(c＋d)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，S2＋S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)＋eq \f(1,2)r (b＋c)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，∴S1＋S3＝S2＋S4.18.eq \f(6,7) 【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB.∵AB，BC是⊙O的切线，∴OE，OF是⊙O的半径．∴OE＝OF.∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4.∵D是BC边的中点，∴BD＝CD＝2.∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)BD·OF＝eq \f(1,2)BD·AC，即5OE＋2OE＝2×3，解得OE＝eq \f(6,7).∴⊙O的半径为eq \f(6,7).三、19.【解】∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠OAP＝90°.∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝30°.20．(1)【证明】∵MC是⊙O的直径，∴∠MAC＝90°.∴MA⊥AC.又∵BE⊥AC，∴BE∥MA.(2)【解】连接MB.∵MC是⊙O的直径，∴∠MBC＝90°.∴MB⊥BC.∵AD⊥BC，∴BM∥AD.又∵BE∥MA，∴四边形AMBH是平行四边形．∴AH＝MB.∵圆的半径是2，∴MC＝4.∴MB＝eq \r(MC2－BC2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).∴AH＝eq \r(7).21．【证明】(1)如图，过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD，OE.∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON.又∵OE＝OD，∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL)．∴DN＝EM.∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EM＝eq \f(1,2)EF，DN＝eq \f(1,2)CD.∴CD＝EF.(2)∵CD＝EF，∴eq \o(CD,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵)).∴eq \o(CD,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))，即eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)).22．(1)【证明】如图，连接OD. ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2.∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC.∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC.∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线．(2)【解】如图，过点O作OG⊥BC于点G，连接OE，则BG＝EG，四边形ODCG为矩形，∴OG＝CD＝5eq \r(3).在Rt△OBG中，由勾股定理得BG＝eq \r(OB2－OG2)＝eq \r(102－（5\r(3)）2)＝5，∴BE＝2BG＝10，∴OB＝BE＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴S阴影＝S扇形BOE－S△BOE＝eq \f(60π×102,360)－eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝eq \f(50π,3)－25eq \r(3).23．【解】(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点C，连接AE，则CF＝20 m.由垂径定理知AF＝FB＝eq \f(1,2)AB＝40 m.设半径是r m，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.∴桥拱所在圆的半径为50 m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：如图，假设MN＝60 m，且MN∥AB.连接EM，设EC与MN的交点为D，则DE⊥MN，∴DM＝30 m.∴DE＝eq \r(EM2－DM2)＝eq \r(502－302)＝40(m)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)【证明】过点F作FH⊥AC于H，FG⊥AB于G.∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线．又∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH.∵S△ABF＝eq \f(1,2)·AB·FG，S△ACF＝eq \f(1,2)·AC·FH，∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)·AB·FG)∶(eq \f(1,2)·AC·FH)＝AB∶AC.(2)【证明】过点A作AM⊥BC于点M.∵S△ABF＝eq \f(1,2)BF·AM，S△ACF＝eq \f(1,2)FC·AM，∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)BF·AM)∶(eq \f(1,2)FC·AM)＝BF∶FC，由(1)可得S△ABF ∶S△ACF＝AB ∶AC.∴AB ∶AC＝BF ∶FC.(3)【证明】连接DB，DC.∵eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AB,\s\up8(︵))，eq \o(DC,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴eq \f(BF,AF)＝eq \f(DF,CF)，即BF·CF＝AF·DF.∵eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∴∠FBA＝∠ADC.又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC.∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AF,AC)，即AB·AC＝AD·AF.∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF2＋AF·DF，∴AF2＝AB·AC－AF·DF＝AB·AC－BF·CF.(4)【解】DE2＝DA·DF.
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