专题9.3 分式方程-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题9.3 分式方程-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共20页。


【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2021春•碑林区校级月考）解方程：
（1）32-13x-1=56x-2；
（2）xx-1-3(x-1)(x+2)=1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，
去括号得：9x﹣3﹣2＝5，
移项合并得：9x＝10，
解得：x=109，
检验：把x=109代入得：2（3x﹣1）≠0，
∴x=109是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【变式1-1】（2021•潍坊）若x＜2，且1x-2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ 1 ．
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：1x-2+|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为1x-2+2﹣x+x﹣1＝0，
即1x-2=-1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【变式1-2】（2021•宜都市一模）解方程：3x+6x-1-x+5x2-x=0．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，
移项合并得：8x＝8，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
【变式1-3】（2021•北碚区校级开学）解分式方程：
（1）3x-5-1=2x-1x-5．
（2）12x2-4-x-1x+2=6-xx-2．
【分析】（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
（2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5），
得3﹣x+5＝2x﹣1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解；
（2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2），
得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），
解得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．
【题型2 解分式方程（新定义问题）】
【例2】（2021春•宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2-ab，例如2#3=132-3×2=13，则方程x#2＝1的解为 x=32 ．
【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可．
【解答】解：根据题意得，
x#2=122-2x=1，
即22﹣2x﹣1＝0，
解得x=32，
经检验，x=32是原方程的解，
故答案为：32．
【变式2-1】（2021•怀化）定义a⊗b＝2a+1b，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
3⊗x＝2×3+1x，
4⊗2＝2×4+12，
∵3⊗x＝4⊗2，
∴2×3+1x=2×4+12，
解得：x=25，
经检验，x=25是分式方程的根．
故选：B．
【变式2-2】（2021春•甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=2a-b，a＞bbb-a，a＜b，如果5※x＝2，那么x的值为 4或10 ．
【分析】根据定义运算，分5＞x或5＜x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：①当5＞x时，
25-x=2，
去分母，可得：2＝2（5﹣x），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，5﹣x≠0，且符合题意，
∴x＝4是原方程的解；
②当5＜x时，
xx-5=2，
去分母，得：x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
检验：当x＝10时，x﹣5≠0，且符合题意，
∴x＝10是原方程的解；
综上，x的值为4或10，
故答案为：4或10．
【变式2-3】 （2021秋•信都区校级月考）运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：2111-x1x-1=1．
【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：
2x-1-11-x=1，
去分母得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
当x＝4时，x﹣1＝3≠0，
∴x＝4是分式方程的解，
故x的值为4．
【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】观察下面的变形规律：11×2=11-12；12×3=12-13；13×4=13-14；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)= 1n-1n+1 ．
（2）说明你猜想的正确性．
（3）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019= 20182019 ．
（4）解关于n的分式方程11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=n+7n+9．
【分析】（1）由题意可得1n(n+1)=1n-1n+1；
（2）利用通分即可证明等式成立；
（3）原式＝1-12+12-13+13-14+⋯+12018-12019，再计算即可求解；
（4）方程可以化简为1-1n+1=n+7n+9，再解分式方程即可求解．
【解答】解：（1）1n(n+1)=1n-1n+1，
故答案为：1n-1n+1；
（2）1n-1n+1
=n+1n(n+1)-nn(n+1)
=1n(n+1)，
∴1n(n+1)=1n-1n+1成立；
（3）11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019
＝1-12+12-13+13-14+⋯+12018-12019
＝1-12019
=20182019；
（4）11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
＝1-12+12-13+13-14+⋯+1n-1n+1
＝1-1n+1
=n+7n+9
＝1-2n+9，
∴1n+1=2n+9，
方程两边同时乘（n+1）（n+9），
得n+9＝2（n+1），
去括号，得n+9＝2n+2，
解得n＝7，
经检验，n＝7是方程的解，
∴原方程的解为n＝7．
【变式3-1】（2020春•京口区校级月考）观察下列算式：
16=12×3=12-13，112=13×4=13-14，120=14×5=14-15，……
（1）由此可推断：142= 16-17 ；
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 1m(m+1)=1m-1m+1 ；
（3）仿照以上方法解方程：1(x-1)(x-2)+1x(x-1)=1x．
【分析】（1）观察已知等式得到所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1）根据题意得：142=16×7=16-17；
（2）根据题意得：1m(m+1)=1m-1m+1；
（3）方程整理得：1x-2-1x-1+1x-1-1x=1x，
即1x-2=2x，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
故答案为：（1）16-17；（2）1m(m+1)=1m-1m+1
【变式3-2】（2020秋•五华区期末）观察下列式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14．
将以上三个等式两边分别相加的：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=34．
（1）猜想并填空：1n(n+1)= 1n-1n+1 ；11×2+12×3+13×4+⋯148×49= 4849 ．12+16+112+120+130+⋯+19900= 99100 ．
（2）化简：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)+⋯+1(n+2019)(n+2020)．
（3）探索并作答：
①计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020；
②解分式方程：1x-2+1(x-2)(x-3)+1(x-3)(x-4)=1．
【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；
（3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；
②方程利用拆项法变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1）1n(n+1)=1n-1n+1，
11×2+12×3+13×4+⋯+148×49=1-12+12-13+13-14+⋯+148-149=1-149=4849；
12+16+112+120+130+⋯+19900=11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+⋯+199×100=1-12+12-13+⋯+199-1100=1-1100=99100；
故答案为：1n-1n+1；4849；99100；
（2）原式=1n-1n+1+1n+1-1n+2+1n+2-1n+3+⋯+1n+2019-1n+2020=1n-1n+2020=2020n(n+2020)；
（3）①原式=12×（12-14+14-16+16-18+12018-12020）=12×（12-12020）=10094040；
②方程整理得：1x-2+1x-3-1x-2+1x-4-1x-3=1，即1x-4=1，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
【变式3-3】（2020秋•天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，
将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，
（1）猜想并写出：1n(n+1)= 1n-1n+1 ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017= 20062007 ；
②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= nn+1 ．
（3）若11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值．
【分析】（1）根据已知等式猜想得到所求即可；
（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；
（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值．
【解答】解：（1）猜想得：1n(n+1)=1n-1n+1；
（2）①原式＝1-12+12-13+⋯+12016-12017
＝1-12017
=20162017；
②原式＝1-12+12-13+⋯+1n-1n+1
＝1-1n+1
=nn+1；
（3）根据题意得：11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n-1)(2n+1)=1735，
整理得：12（1-13+13-15+15-17+⋯+12n-1-12n+1）=1735，
即1-12n+1=3435，
移项合并得：12n+1=135，即2n+1＝35，
解得：n＝17，
经检验n＝17是分式方程的解，
则n的值为17．
【知识点3 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型4 换元法解分式方程】
【例4】（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±2．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1=2，x2=-2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（x-1x）2﹣2（x-1x）﹣8＝0．
【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设x-1x=a，把分式方程化为整式方程，解出并验根即可．
【解答】解：（x-1x）2﹣2（x-1x）﹣8＝0，
设x-1x=a，
则a2﹣2a﹣8＝0，
解得a＝﹣2或a＝4，
当a＝﹣2时，x-1x=-2，解得x=13，经检验x=13是分式方程的解，
当a＝4时，x-1x=4，解得x=-13，经检验x=-13是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x1=13，x2=-13．
【变式4-1】（2021春•松江区期末）用换元法解方程2xx2-1-x2-1x+7＝0时，可设y=xx2-1，那么原方程可化为关于y的整式方程是 2y2+7y﹣1＝0 ．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设y=xx2-1，则x2-1x=1y，
∴原方程可变行为：2y-1y+7＝0，
去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，
故答案为：2y2+7y﹣1＝0．
【变式4-2】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x-1x-4xx-1=0．
解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴当y＝2时，x-1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x-14x-xx-1=0中，设y=x-1x，则原方程可化为： y4-1y=0 ；
（2）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=x-1x+1，则原方程可化为： y-4y=0 ；
（3）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0．
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x-1x+2，将原方程化为y-1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）将y=x-1x代入原方程，则原方程化为y4-1y=0；
（2）将y=x-1x+1代入方程，则原方程可化为y-4y=0；
（3）原方程化为：x-1x+2-x+2x-1=0，
设y=x-1x+2，则原方程化为：y-1y=0，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y-1y=0的解．
当y＝1时，x-1x+2=1，该方程无解；
当y＝﹣1时，x-1x+2=-1，解得：x=-12；
经检验：x=-12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-12．
【变式4-3】（2021春•玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，
解之得m=8n=4，即1x=8，1y=4.所以原方程组的解为x=18，y=14.．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：(1+111+113+117)×(111+113+117+119)-(1+111+113+117+119)×(111+113+117)= 119 ．
（2）方程组6x+y+3x-y=59x+y-2x-y=1的解为 x=2y=1 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ （x+2）4 ．
（4）解方程组3×2x+2-3y+1=111，2x+1+2×3y=86.．
（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，求关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2的解．
【分析】（1）设111+113+117=a，代入原式化简即可得出结论；
（2）设1x+y=a，1x-y=b，将原方程组变形，求得a，b，进而求出原方程组的解；
（3）设x2+4x+3＝m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；
（4）将原方程组变形为12×2x-3×3y=1112×2x+2×3y=86，设2x＝m，3y＝n，解关于m，n的方程组，进而求得x．y的值；
（5）将关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2，变为a1(x2-2x+1)+b1y=c1a2(x2-2x+1)+b2y=c2，利用关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，可得：x2-2x+1=9y=5，解这个方程组可得原方程组的解．
【解答】解：（1）设111+113+117=a，
原式＝（1+a）（a+119）﹣（1+a+119）a＝a+119+a2+119a﹣a﹣a2-119a=119．
故答案为：119．
（2）设1x+y=a，1x-y=b，原方程组变为：
6a+3b=59a-2b=1．
解得：a=13b=1．
∴x+y=3x-y=1．
解得：x=2y=1．
经检验，x=2y=1是原方程组的解．
故答案为：x=2y=1．
（3）设x2+4x+3＝m，
原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2+4x+3+1）2＝[（x+2）2]2＝（x+2）4．
故答案为：（x+2）4．
（4）原方程组变形为：12×2x-3×3y=1112×2x+2×3y=86，
设2x＝m，3y＝n，则12m-3n=1112m+2n=86．
解得：m=16n=27．
∴2x=163y=27．
∴x=4y=3．
（5）将关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2整理得：
a1(x2-2x+1)+b1y=c1a2(x2-2x+1)+b2y=c2．
∵关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，
∴x2-2x+1=9y=5．
即：(x-1)2=9y=5．
解这个方程组得：
x1=4y1=5，x2=-2y2=5．
∴原方程组的解为：
x1=4y1=5，x2=-2y2=5．
【知识点4 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型5 增根的讨论】
【例5】（2020秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x=k+17，
根据题意得：k+17＜0，且k+17≠1且k+17≠-1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【变式5-1】（2021•岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故选：D．
【变式5-2】（2021春•桐城市期末）已知关于x的分式方程m-2xx-2=13．
（1）若该方程有增根，则增根是 2 ．
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 m＞53，且k≠4． ．
【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵这个方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故答案为：2；
（2）分式方程去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括号合并得：7x﹣2＝3m，即x=3m+27，
根据题意得：3m+27＞1，且3m+27≠2，
解得：m＞53，且m≠4．
故答案为：m＞53，且m≠4．
【变式5-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1）2x-3+mxx2-9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
【例6】（2021•市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 a≥1且a≠4 ．
【分析】解分式方程用a表示|x|，根据关于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式组求解集．
【解答】解：|2x|-a|x|-2=12，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|=2a-23，
∵关于x的分式方程有解，
∴2a-23≥0，且|x|﹣2≠0，即2a-23≠2，
解得a≥1且a≠4．
故答案为：a≥1且a≠4．
【变式6-1】（2021秋•北碚区校级期中）关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（ ）
A．3B．﹣4C．﹣6D．﹣12
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
【解答】解：∵3x-46+1＜x+23，
∴3x﹣4+6＜2（x+2）．
∴3x+2＜2x+4．
∴3x﹣2x＜4﹣2．
∴x＜2．
∵x-2a2≥2-x2-1，
∴x﹣2a≥2﹣x﹣2．
∴x+x≥2a+2﹣2．
∴2x≥2a．
∴x≥a．
∴a≤x＜2．
∵关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，
∴﹣4＜a＜2．
∵ay+3y-3+2=2y-33-y，
∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y．
∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y．
∴ay+2y+2y＝3+6﹣3．
∴（a+4）y＝6．
∴y=6a+4．
∵关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，
∴a+4＝1或6或2或3．
∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．
∵﹣4＜a＜2，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1．
∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣2）×（﹣1）＝﹣6．
故选：C．
【变式6-2】（2020秋•雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3-2xx-3+2-nx3-x=-1无解，求n的取值范围．
【分析】（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：（1）解关于x的分式方程得：x=32m-1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m-1＜032m-1≠-2，
∴m＜12且m≠-14；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
当n﹣1＝0时，方程无解，此时n＝1；
当n﹣1≠0时，解得：x=2n-1，要使方程无解，则有2n-1=3，即n=53，
综上，n＝1或n=53．
【变式6-3】（2021秋•岱岳区校级月考）如果关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a=-12，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或-12时方程无解．