专题6.1 平方根-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题6.1 平方根-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共14页。

【知识点1 平方根的概念及表示】
①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作-a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、
负根号a，其中a叫做被开方数.
【题型1 平方根的概念及表示】
【例1】（2021春•景县月考）“49的平方根是±23”用数学式子可表示为（ ）
A．49=±23B．49=23C．±49=±23D．-49=-23
【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法．
【解答】解：±49=±23，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根．
【变式1-1】（2020秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（ ）
A．10的平方根是100B．100的平方根是10
C．﹣2是﹣4的平方根D．49的平方根是±23
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、B、D进行判断；根据负数没有平方根可对C进行判断．
【解答】解：A、10的平方根是±10，所以A选项错误；
B、100的平方根是±10，所以B选项错误；
C、﹣4没有平方根，所以C选项错误；
D、49的平方根为±23，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±a（a≥0）．
【变式1-2】（2020春•潮南区期末）实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
【解答】解：∵实数1﹣3a有平方根，
∴1﹣3a≥0，
解得a≤13，
故选：A．
【点评】本题主要考查平方根，平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【变式1-3】（2021•九龙坡区期中）若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（ ）
A．2B．±2C．4D．±4
【分析】若﹣2xay与5x3yb的和是单项式，可知﹣2xay与5x3yb是同类项，根据同类项的定义求出a，b，再代入计算即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：﹣2xay与5x3yb是同类项，
∴a＝3，b＝1，
∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16的平方根是±4．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，解题的关键正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．
【知识点2 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型2 平方根的性质】
【例2】（2021春•阳谷县月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3B．64C．3或-15D．64或6425
【分析】3m﹣1与﹣2m﹣2相等或者互为相反数，分别求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值．
【解答】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，
解得：m=-15或3，
当m=-15时，
3m﹣1=-85，
∴a=6425；
当m＝3时，
3m﹣1＝8，
∴a＝64；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
【变式2-1】（2020春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，m的值是 ；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ ．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b
∴m+m+b＝0，
∵b＝8，
∴2m+8＝0
∴m＝﹣4；
（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，
∴（m+b）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+b）2x＝4，
∴x2+x2＝4，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x=2．
故答案为：（1）4；（2）2．
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【变式2-2】（2020春•高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根．
【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根．
【解答】解：∵2x﹣y的平方根为±3，
∴2x﹣y＝9，
又∵﹣4是3x+y的一个平方根，
∴3x+y＝16，
∴x＝5，y＝1，
因此x﹣y＝5﹣1＝4，
所以4的平方根为±2，
答：x﹣y的平方根为±2．
【点评】本题考查平方根的意义和计算方法，理解平方根的意义是解决问题的前提．
【变式2-3】（2021春•东城区校级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．
（1）当a＝6时，求n的值；
（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴n+n+a＝0，
∵a＝6，
∴2n+6＝0
∴n＝﹣3；
（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴（n+a）2＝x，n2＝x，
∵n2+（n+a）2＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝4，
∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，
∴a﹣n＝6，
a﹣n的平方根是±6．
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【知识点3 开平方】
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
【题型3 利用开平方解方程】
【例3】（2021春•巴楚县月考）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣5=49；
（2）3x2﹣15＝0；
（3）2（x+1）2＝128．
【分析】（1）移项后合并同类项，再开方即可；
（2）先移项，方程两边除以3，再开方即可；
（3）方程两边除以2，再开方即可．
【解答】解：（1）x2﹣5=49，
x2=499，
x=±499，
x1=73，x2=-73；
（2）3x2﹣15＝0，
3x2＝15，
x2＝5，
x=±5；
（3）2（x+1）2＝128，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x1＝﹣9；x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
【变式3-1】（2021春•岷县月考）求下列各式中x的值．
（1）（2x﹣1）2＝25．
（2）x2-12149=0．
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）先移项，再根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，
∴x＝3或x＝﹣2．
（2）∵x2-12149=0，
∴x2=12149，
∴x=117或x=-117．
【点评】此题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义是解题的关键．
【变式3-2】（2020秋•甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数x．
（1）（x﹣1）2﹣49＝0；
（2）18(x-2)2-8＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可得出答案；
（2）先把要求的式子化成（x﹣2）2＝64，再根据平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0，
∴（x﹣1）2＝49，
∴x﹣1＝±7，
∴x1＝8，x2＝﹣6．
（2）∵18(x-2)2-8＝0，
∴18(x-2)2=8，
∴（x﹣2）2＝64，
∴x﹣2＝±8，
∴x1＝10，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的求法是解题的关键．
【变式3-3】（2020春•中山区期末）定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程．
如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解．
如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±9，可得x1＝3，x2＝﹣3．
解决问题：
（1）解方程（x﹣2）2＝4．
解：∵x﹣2＝±4，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝ ．
∴x1＝4，x2＝ ．
（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵x﹣2＝±4，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．
∴x1＝4，x2＝0．
（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0
∴（3x﹣1）2＝25，
∴3x﹣1＝±25，
∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．
∴x1＝2，x2=-43．
故答案为：﹣2，0．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关键．
【知识点4 算术平方根的概念】
正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．
【题型4 算术平方根的概念】
【例4】（2021春•红桥区期中）8116的算术平方根是 ．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵8116=94，
∴8116的算术平方根是：32．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式4-1】（2021春•郧西县月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根
B．±4是（﹣4）2的算术平方根
C．16的平方根是﹣2
D．﹣2是16的一个平方根
【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可．
【解答】解：A，﹣4是（﹣4）2的负的平方根，故此说法不符合题意；
B，±4是（﹣4）2的平方根，故此说法不符合题意；
C，16的平方根是±2，故此说法不符合题意；
D，﹣2是16的一个平方根，故此说法符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了算术平方根、平方根，熟记算术平方根、平方根的定义是解题的关键．
【变式4-2】（2021春•巴南区期中）已知99225=315，x=3.15，则x＝（ ）
A．9.9225B．0.99225C．0.099225D．0.0099225
【分析】直接利用平方根的定义将原式变形得出答案．
【解答】解：∵99225=315，
∴9.9225×10000=9.9225×10000=3.15×100，
∵x=3.15，
∴x＝9.9225，
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式4-3】（2020秋•玄武区期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根D．b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，
则a﹣1是5的算术平方根．
故选：C．
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为a；平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【知识点5 算术平方根的性质】
①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；
②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；
③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.
【题型5 算术平方根的非负性】
【例5】（2021春•安宁市校级期中）若x-1+（y+2）2＝0，则（x+y）2021等于 ．
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x-1+（y+2）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2，
则原式＝（1﹣2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了非负数的性质：算术平方根，以及偶次方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【变式5-1】（2021春•浦东新区月考）若x-1与|2x+y﹣6|互为相反数，则（x+y）2的平方根是 ．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式求解，再根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵x-1与|2x+y﹣6|互为相反数，
∴x-1+|2x+y﹣6|＝0，
∴x-1=02x+y-6=0，
解得x=1y=4，
∴（x+y）2＝（1+4）2＝25，
∴（x+y）2的平方根是±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了平方根以及非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式5-2】（2021春•海淀区校级期中）当x＝ 时，代数式x-2+1取最小值为 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式x-2+1取最小值，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
故当x＝2时，代数式x-2+1取最小值为：1．
故答案为：2，1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x的值是解题关键．
【变式5-3】（2021春•蜀山区校级期中）若a，b，c为实数，且|a+1|+b-1+（c﹣1）2＝0，则（abc）2021的值是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】利用非负数的性质，以及绝对值的代数意义求出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵a，b，c为实数，且|a+1|+b-1+（c﹣1）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝1，
∴（abc）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是非负数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【题型6 算术平方根的应用】
【例6】（2021春•武昌区期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长；
（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是2×52=52（cm）；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x•3x＝48，
解得：x=4cm＝2（cm），
4x＝8cm＞52cm，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2．
【点评】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【变式6-1】（2021春•越秀区校级期中）如图，有一个面积为400cm2的正方形．
（1）正方形的边长是多少？
（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．
【分析】（1）根据正方形的面积等于边长乘以边长．利用算术平方根的意义进行计算．
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【解答】解：（1）∵正方形的面积为400cm2，
∴正方形的边长是400=20（cm2）；
（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，
则5x•4x＝360，
解得：x=40，
5x＝540=1000＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．
【点评】本题考查算术平方根的意义，正确理解算术平方根的意义是解题的关键．
【变式6-2】（2021春•天心区月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长．
（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）400=20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝300，
解得：a=±20，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a=20，
∴这个长方形场地的周长为 2(3a+5a)=16a=1620（m），
∵80=16×5=16×25＞1620，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
【变式6-3】（2021春•江岸区期中）列方程解应用题
小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294cm2．
（1）请你帮小明求出纸片的周长．
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14）
【分析】（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意得出方程3x•2x＝294，求出长方形的长和宽，即可求出周长．
（2）计算出圆的半径，再与宽的一半作比较即可解答．
【解答】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，
3x•2x＝294，
6x2＝294，
x2＝49，
x＝±7，
∵x＞0，
∴x＝7，
∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，
（21+14）×2＝70厘米．
答：纸片的周长是70厘米．
（2）设圆形纸片的半径为r，
S＝πr2＝157，
r2＝50，
由于长方形纸片的宽为14厘米，则圆形纸片的半径最大为7，
72＝49＜50，
所以不能出想要的圆形纸片．
【点评】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．