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专题8.9 整式乘法与因式分解章末重难点突破（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）
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这是一份专题8.9 整式乘法与因式分解章末重难点突破（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共32页。
【考点1幂的运算】
【例1】（2021春•叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2
【解题思路】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答过程】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；
D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2021春•海陵区校级月考）计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【解答过程】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【变式1-2】（2021春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【解题思路】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．
【解答过程】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），
＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），
＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，
＝0．
【变式1-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于 ．
【解题思路】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答过程】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019
＝82×42×（4×﹣0.25）2019
＝82×42×（﹣1）
＝﹣1024．
故答案为：﹣1024．
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2021秋•岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答过程】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x•2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3•（3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x•81y
＝33x•34y
＝33x+4y
＝33
＝27．
【变式2-1】（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【解题思路】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答过程】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【变式2-2】（2021春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【解题思路】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答过程】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【变式2-3】（2021•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【解题思路】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答过程】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
解得x＝4；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【考点3巧用幂的运算进行大小比较】
【例3】（2021春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
【解题思路】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．
【解答过程】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，
∵8＜9，
∴m＜n，
故选：B．
【变式3-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【解题思路】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答过程】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【变式3-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接） ．
【解题思路】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解答过程】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，
∴236＞233＞230，
∴418＞233＞810．
【变式3-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【解题思路】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以解答本题；
（3）根据题目中的例子可以解答本题；
（4）根据题目中的例子可以解答本题．
【解答过程】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131＝（34）31＝3124，
2741＝（33）41＝3123，
961＝（32）61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961；
（3）∵a2＝2，b3＝3，
∴a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b；
（4）∵312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
又∵32＜52，
∴312×510＜310×512．
【考点4 整式的乘法及其应用】
【例1】（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【解题思路】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答过程】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
【变式4-1】（2021春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1
【解题思路】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答过程】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
【变式4-2】（2021春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张B．4张C．5张D．6张
【解题思路】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【解答过程】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
【变式4-3】（2021春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【解题思路】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解答过程】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
【考点5利用乘法公式求值】
【例5】（2021春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【解题思路】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答过程】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x4+y4
＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝82﹣2×22
＝64﹣8
＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，
∴x﹣y＝±2．
【变式5-1】（2021春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【解题思路】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答过程】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
【变式5-2】（2021春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【解题思路】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答过程】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；
（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；
（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝（a+b）2﹣4ab
＝4+4×24
＝100．
【变式5-3】（2021春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【解题思路】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝34，
∴x2+y2＝17，
∴17+2xy＝25，
∴xy＝4；
（2）∵（a﹣b）2＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝3，
∵a2+b2＝15，
∴15﹣2ab＝3，
∴﹣2ab＝﹣12，
∴ab＝6，
∵a2+b2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15+12，
∴（a+b）2＝27．
【考点6 整式乘除的计算与化简】
【例6】（2021春•淄川区期中）（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②-4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2-(x+y)(y-x)-12x(2x-y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【解题思路】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；
③原式利用完全平方公式计算即可求出值；
④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；
（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）①原式＝﹣a8+16a8
＝15a8；
②原式＝﹣4xy3•（12xy）÷x2y4
＝﹣2x2y4÷x2y4
＝﹣2；
③原式＝16x2+24xy+9y2；
④原式＝4a2﹣b2+a2+4ab+4b2
＝5a2+4ab+3b2；
（2）①原式＝x2+2xy+y2﹣y2+x2﹣x2+12xy
＝x2+52xy，
当x＝﹣1，y=15时，原式＝1-12=12；
②原式＝（ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2）÷（﹣3a）
＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）
＝﹣a+4b
＝﹣（a﹣4b），
由2a﹣8b﹣6＝0，得到a﹣4b＝3，
则原式＝﹣3．
【变式6-1】（2021春•郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（-13ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=-12．
【解题思路】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（-13ab2）＝﹣36ab；
（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；
（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y=-12时，原式＝4-12=312．
【变式6-2】（2021春•竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【解题思路】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝a2﹣b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣5b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣x+12y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式=52．
【变式6-3】（2021春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【解题思路】（1）利用单项式乘多项式法则和完全平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；
（2）2010×2008变形为（2009+1）（2009﹣1），再利用平方差公式计算可得；
（3）先利用单项式的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得；
（4）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出3a2﹣9a＝﹣3，代入计算可得；
（5）先根据多项式除以单项式法则化简原式，再将n的值代入计算可得．
【解答过程】解：（1）原式＝4x2﹣2xy﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣2xy﹣4x2+4xy﹣y2
＝2xy﹣y2；
（2）原式＝20092﹣（2009+1）×（2009﹣1）
＝20092﹣20092+1
＝1；
（3）原式＝﹣27a6+16a6＝﹣9a6；
（4）原式＝9a2﹣12a+4﹣6a2+3a+5
＝3a2﹣9a+9，
∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴3a2﹣9a＝﹣3，
则原式＝﹣3+9＝6；
（5）原式＝6m2n÷（﹣3m2）﹣6m2n2÷（﹣3m2）﹣3m2÷（﹣3m2）
＝﹣2n+2n2+1，
当n＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+2×（﹣2）2+1
＝4+2×4+1
＝4+8+1
＝13．
【考点7 整式混合运算的应用】
【例7】（2021春•衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．100B．96C．90D．86
【解题思路】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
【解答过程】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝2，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
【变式7-1】（2020春•潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A．a=32bB．a＝2bC．a＝4bD．a＝3b
【解题思路】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答过程】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
故选：D．
【变式7-2】（2020春•瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（ ）
A．﹣2bB．2a﹣2bC．2aD．2b
【解题思路】根据平移的知识和面积的定义，列出算式S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]，再去括号，合并同类项即可求解．
【解答过程】解：图1中阴影部分的面积S1＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a），
图2中阴影部分的面积S2＝m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a），
S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]＝nm﹣na+n（a﹣b）﹣a（a﹣b）﹣mn+am﹣m（a﹣b）+a（a﹣b）＝b（m﹣n）＝2b．
故选：D．
【变式7-3】（2020春•丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．b＝5aB．b＝4aC．b＝3aD．b＝a
【解题思路】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系．
【解答过程】解：设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，
S＝S1﹣S2
＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]
＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2
＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．
∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，
∴5a﹣b＝0，
∴b＝5a．
故选：A．
【考点8 因式分解】
【例8】（2021春•玄武区期中）因式分解：
（1）a3﹣a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9．
【解题思路】（1）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣b，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答过程】解：（1）a3﹣a
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；
（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9
＝（y2﹣1）2﹣6 （y2﹣1）+9
＝（y2﹣1﹣3）2
＝（y+2）2（y﹣2）2．
【变式8-1】（2021秋•斗门区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【解题思路】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答过程】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【变式8-2】（2021春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【解题思路】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．
【解答过程】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）
＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）
＝（d﹣c）（a﹣b）
②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2
＝（x﹣3）2﹣y2
＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）
（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）（1+x）n
＝（1+x）n+1
【变式8-3】（2021春•高密市期末）把下列各式进行因式分解
（1）m（a﹣2）+n（2﹣a）
（2）（x+y）2+4（x+y+1）
（3）m（m﹣1）+m﹣1
（4）x2﹣2xy+y2﹣1．
【解题思路】（1）提取公因式a﹣2即可得；
（2）将原式变形为（x+y）2+4（x+y）+4，利用完全平方公式分解可得；
（3）提取公因式m﹣1可得；
（4）先利用完全平方公式变形为（x﹣y）2﹣1，再利用平方差公式分解可得．
【解答过程】解：（1）原式＝m（a﹣2）﹣n（a﹣2）＝（a﹣2）（m﹣n）；
（2）原式＝（x+y）2+4（x+y）+4＝（x+y+2）2；
（3）原式＝（m﹣1）（m+1）；
（4）原式＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【考点9利用因式分解求值】
【例9】（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝ ．
【解题思路】先运用提公因数法把多项式12x3y+x2y2+12xy3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解答过程】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴12x3y+x2y2+12xy3
=12xy(x2+2xy+y2)
=12xy(x+y)2
=12×(-1)×22
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式9-1】（2021春•碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11
【解题思路】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【解答过程】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11
（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11
（a﹣b）（a﹣c）＝11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，
∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．
故选：D．
【变式9-2】（2021秋•嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答过程】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
【变式9-3】（2021秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【解题思路】（1）直接将原式变形进而把已知代入得出答案；
（2）直接将原式变形进而把已知代入得出答案．
【解答过程】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2﹣a＝10，
2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2×（10﹣20）
＝﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1
＝2x2﹣4x2﹣8x+1
＝﹣2x2﹣8x+1
＝﹣2（x2+4x）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
【考点10因式分解的应用】
【例10】（2021春•常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
① ；② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为 ．
【解题思路】（1）根据提取公因式的方法分解因式便可；
（2）根据“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和”和“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和；
（3）利用总结的公式进行因式分解便可；
（4）先提公因式，再按新公式分解因式，再用完全平方公式将原式化成已知代数式的形式，最后代值计算便可．
【解答过程】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）①根据题意得，图1的立体图形的体积＝边长为a的正方体的体积﹣边长为b的正方体的体积，
即a3﹣b3；
②根据题意得，图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和，
即b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）．
故答案为：①a3﹣b3；②b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）；
思考：∵b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（3）x3﹣125＝x3﹣53＝（x﹣5）（x2+5x+25）；
（4）a4b﹣8ab4＝ab（a3﹣8b3）＝ab（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）＝ab（a﹣2b）[（a﹣2b）2+6ab]，
当a﹣2b＝6，ab＝﹣2时，原式＝﹣2×6×（36﹣12）＝﹣288．
故答案为：﹣288．
【变式10-1】（2021春•新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 张，长方形纸片 张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
【解题思路】（1）根据（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【解答过程】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；
（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【变式10-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
【解题思路】（1）根据定义解答即可；
（2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，因为a能被（b﹣1）整除，所以对表达式进行变形，得到（b﹣1）能整除2，求出b的值，进而得到a的值；
（3）根据条件写出m，n的表达式，根据m﹣n＝18写出等式，进行变形得（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，因为18＝3×6＝2×9＝18×1，分别列出方程组即可求解．
【解答过程】解：（1）十字点为7的十字数a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，
∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，
∴130的十字点为12．
故答案为：40，12；
（2）∵b是a的十字点，
∴a＝（b+1）（b﹣2）（b＞2且为正整数），
∴a＝（b﹣1+2）（b﹣1﹣1）＝（b﹣1）2+（b﹣1）﹣2，
∵a能被（b﹣1）整除，
∴（b﹣1）能整除2，
∴b﹣1＝1或b﹣1＝2，
∵b＞2，
∴b＝3，
∴a＝（3+1）（3﹣2）＝4．
（3）∵m的十字点为p，
∴m＝（p+1）（p﹣2）（p＞2且为正整数），
∵n的十字点为q，
∴n＝（q+1）（q﹣2）（q＞2且为正整数），
∵m﹣n＝18，
∴（p+1）（p﹣2）﹣（q+1）（q﹣2）＝18，
∴p2﹣p﹣2﹣q2+q+2＝18，
∴（p+q）（p﹣q）﹣（p﹣q）＝18，
∴（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，
∵m﹣n＝18＞0，p＞2，q＞2且p、q为正整数，
∴p＞q，p+q＞4，
∴p+q﹣1＞3，
∵18＝3×6＝2×9＝18×1，
∴p+q-1=6p-q=3或p+q-1=9p-q=2或p+q-1=18p-q=1，
解得：p=5q=2（不合题意，舍去），或p=6q=4，或p=10q=9，
∴p+q＝10或19．
【变式10-3】（2021秋•沙坪坝区校级月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m）=m-m'2，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
【解题思路】（1）读懂“七上八下数”的意思，再根据定义代入2571和4425进行验证即可；
（2）先表示出F（m）=m-m'2的一般代数式，再根据F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，探究出符合要求的“七上八下数”．
【解答过程】解：（1）2571是“七上八下数”，4425是“七上八下数”，理由如下：
∵2571 的千位数字与百位数字的和为：2+5＝7，十位数字与个位数字的和为：7+1＝8，
∴2571是一个“七上八下数”，
∵4425 的千位数字与百位数字的和为：4+4＝8≠7，十位数字与个位数字的和为：2+5＝7≠8，
∴4425不是一个“七上八下数”；
（2）设“七上八下数”m＝1000a+100b+10c+d，其中a+b＝7，c+d＝8，
1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a，b，c，d为整数，则：
交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝1000a+100c+10b+d，
∴F（m）=m-m'2
=(1000a+100b+10c+d)-(1000a+100c+10b+d)2
=1000a+100b+10c+d-1000a-100c-10b-d2
=90b-90c2
=90(b-c)2
＝45（b﹣c），
∵F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设F（m）+135d＝n2，n为正整数，
∴45（b﹣c）+135d＝n2，
∴b﹣c+3d=n245，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且b，c，d为整数，
∴n245是正整数，
∴n能被3×5整除，
∵c+d＝8，
∴c＝8﹣d，
∴b﹣（8﹣d）+3d=n245，
即b+4d=n245+8，
∴b=n245+8﹣4d，
当d＝0时，b=n245+8＞8，不合题意，舍去；
当d＝1时，b=n245+4，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合条件的n；
当d＝2时，b=n245，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴只有n245=5满足条件，
此时，b＝5，d＝2，a＝7﹣b＝2，c＝8﹣d＝6，
∴m＝2562；
当d＝3时，b=n245-4，
∵0≤b≤6，
∴n245=4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴只有n245=5满足条件，
此时，b＝1，d＝3，a＝7﹣b＝6，c＝8﹣d＝5，
∴m＝6153；
当d＝4时，b=n245-8，
∵0≤b≤6，
∴n245=8或9或10或11或12或13或14，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝5时，b=n245-12，
∵0≤b≤6，
∴n245=12或13或14或15或16或17或18，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝6时，b=n245-16，
∵0≤b≤6，
∴n245=16或17或18或19或20或21或22，
∵n为正整数，
∴只有n245=20满足条件，
此时，b＝4，d＝6，a＝7﹣b＝3，c＝8﹣d＝2，
∴m＝3426；
当d＝7时，b=n245-20，
∵0≤b≤6，
∴n245=20或21或22或23或24或25或26，
∵n为正整数，
∴只有n245=20满足条件，
此时，b＝0，d＝7，a＝7﹣b＝7，c＝8﹣d＝1，
∴m＝7017；
当d＝8时，b=n245-24，
∵0≤b≤6，
∴n245=24或25或26或27或28或29或30，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
综上所述，满足条件的所有“七上八下数”m为2562、6153、3426、7017．
【考点1幂的运算】
【例1】（2021春•叶集区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2
【解题思路】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答过程】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；
D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．
故选：C．
【变式1-1】（2021春•海陵区校级月考）计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【解答过程】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【变式1-2】（2021春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【解题思路】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．
【解答过程】解：原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），
＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），
＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，
＝0．
【变式1-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于 ．
【解题思路】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答过程】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019
＝82×42×（4×﹣0.25）2019
＝82×42×（﹣1）
＝﹣1024．
故答案为：﹣1024．
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2021秋•岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【解题思路】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答过程】解：（1）∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x•2y＝ab；
（2）∵3m＝5，3n＝2，
∴33m+2n+1＝（3m）3•（3n）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；
（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，
∴27x•81y
＝33x•34y
＝33x+4y
＝33
＝27．
【变式2-1】（2021春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【解题思路】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答过程】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【变式2-2】（2021春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【解题思路】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答过程】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【变式2-3】（2021•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【解题思路】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；
（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解答过程】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，
∴1﹣3x+4x＝5，
解得x＝4；
（2）∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【考点3巧用幂的运算进行大小比较】
【例3】（2021春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞nB．m＜n
C．m＝nD．大小关系无法确定
【解题思路】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．
【解答过程】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，
∵8＜9，
∴m＜n，
故选：B．
【变式3-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433B．433＜344＜255
C．255＜433＜344D．344＜433＜255
【解题思路】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答过程】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【变式3-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接） ．
【解题思路】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解答过程】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，
∴236＞233＞230，
∴418＞233＞810．
【变式3-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【解题思路】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以解答本题；
（3）根据题目中的例子可以解答本题；
（4）根据题目中的例子可以解答本题．
【解答过程】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
522＝（52）11＝2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131＝（34）31＝3124，
2741＝（33）41＝3123，
961＝（32）61＝3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961；
（3）∵a2＝2，b3＝3，
∴a6＝8，b6＝9，
∵8＜9，
∴a6＜b6，
∴a＜b；
（4）∵312×510＝（3×5）10×32，
310×512＝（3×5）10×52，
又∵32＜52，
∴312×510＜310×512．
【考点4 整式的乘法及其应用】
【例1】（2021春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【解题思路】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．
【解答过程】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2
＝﹣4x3+（a+3）x2+x，
因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
【变式4-1】（2021春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1
【解题思路】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．
【解答过程】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，
（a2﹣ma+2n）（a+1）
＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n
＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n
所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，
2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．
或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．
故选：A．
【变式4-2】（2021春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张B．4张C．5张D．6张
【解题思路】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．
【解答过程】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
【变式4-3】（2021春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【解题思路】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解答过程】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：
【考点5利用乘法公式求值】
【例5】（2021春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【解题思路】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解答过程】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2
＝x2+y2+2xy
＝8+2×2
＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴x4+y4
＝（x2+y2）2﹣2x2y2
＝82﹣2×22
＝64﹣8
＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，
∴x﹣y＝±2．
【变式5-1】（2021春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【解题思路】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．
【解答过程】解：（1）∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2
＝a2+b2﹣2ab
＝1，
∵a2+b2＝13，
∴13﹣2ab＝1，
∴ab＝6；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝13+12
＝25，
∴a+b＝5或﹣5，
∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，
∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；
当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．
【变式5-2】（2021春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【解题思路】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答过程】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；
（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；
（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝（a+b）2﹣4ab
＝4+4×24
＝100．
【变式5-3】（2021春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【解题思路】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝34，
∴x2+y2＝17，
∴17+2xy＝25，
∴xy＝4；
（2）∵（a﹣b）2＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝3，
∵a2+b2＝15，
∴15﹣2ab＝3，
∴﹣2ab＝﹣12，
∴ab＝6，
∵a2+b2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15+12，
∴（a+b）2＝27．
【考点6 整式乘除的计算与化简】
【例6】（2021春•淄川区期中）（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②-4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2-(x+y)(y-x)-12x(2x-y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【解题思路】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值；
③原式利用完全平方公式计算即可求出值；
④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；
（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）①原式＝﹣a8+16a8
＝15a8；
②原式＝﹣4xy3•（12xy）÷x2y4
＝﹣2x2y4÷x2y4
＝﹣2；
③原式＝16x2+24xy+9y2；
④原式＝4a2﹣b2+a2+4ab+4b2
＝5a2+4ab+3b2；
（2）①原式＝x2+2xy+y2﹣y2+x2﹣x2+12xy
＝x2+52xy，
当x＝﹣1，y=15时，原式＝1-12=12；
②原式＝（ab﹣3b2﹣3a2﹣2ab+6a2﹣9ab﹣2ab+3b2）÷（﹣3a）
＝（3a2﹣12ab）÷（﹣3a）
＝﹣a+4b
＝﹣（a﹣4b），
由2a﹣8b﹣6＝0，得到a﹣4b＝3，
则原式＝﹣3．
【变式6-1】（2021春•郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（-13ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=-12．
【解题思路】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（-13ab2）＝﹣36ab；
（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；
（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，
当x＝﹣2，y=-12时，原式＝4-12=312．
【变式6-2】（2021春•竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【解题思路】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；
（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；
（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答过程】解：（1）82019×（﹣0.125）2020
＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）
＝0.125；
（2）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）
＝20202﹣20202+1
＝1；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）
＝（3x﹣y）（3x+y）（9x2+y2）
＝（9x2﹣y2）（9x2+y2）
＝81x4﹣y4；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2
＝a2﹣b2﹣（a2﹣4ab+4b2）
＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2
＝4ab﹣5b2；
（5）[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x）
＝（x2+6xy+9y2﹣3x2+xy﹣6xy+2y2﹣11y2）÷2x
＝（﹣2x2+xy）÷2x
＝﹣x+12y，
当x＝﹣2，y＝1时，原式=52．
【变式6-3】（2021春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【解题思路】（1）利用单项式乘多项式法则和完全平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；
（2）2010×2008变形为（2009+1）（2009﹣1），再利用平方差公式计算可得；
（3）先利用单项式的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得；
（4）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出3a2﹣9a＝﹣3，代入计算可得；
（5）先根据多项式除以单项式法则化简原式，再将n的值代入计算可得．
【解答过程】解：（1）原式＝4x2﹣2xy﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣2xy﹣4x2+4xy﹣y2
＝2xy﹣y2；
（2）原式＝20092﹣（2009+1）×（2009﹣1）
＝20092﹣20092+1
＝1；
（3）原式＝﹣27a6+16a6＝﹣9a6；
（4）原式＝9a2﹣12a+4﹣6a2+3a+5
＝3a2﹣9a+9，
∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴3a2﹣9a＝﹣3，
则原式＝﹣3+9＝6；
（5）原式＝6m2n÷（﹣3m2）﹣6m2n2÷（﹣3m2）﹣3m2÷（﹣3m2）
＝﹣2n+2n2+1，
当n＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+2×（﹣2）2+1
＝4+2×4+1
＝4+8+1
＝13．
【考点7 整式混合运算的应用】
【例7】（2021春•衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．100B．96C．90D．86
【解题思路】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
【解答过程】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝2，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
【变式7-1】（2020春•潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（ ）
A．a=32bB．a＝2bC．a＝4bD．a＝3b
【解题思路】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答过程】解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
故选：D．
【变式7-2】（2020春•瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（ ）
A．﹣2bB．2a﹣2bC．2aD．2b
【解题思路】根据平移的知识和面积的定义，列出算式S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]，再去括号，合并同类项即可求解．
【解答过程】解：图1中阴影部分的面积S1＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a），
图2中阴影部分的面积S2＝m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a），
S1﹣S2＝n（m﹣a）+（a﹣b）（n﹣a）﹣[m（n﹣a）+（a﹣b）（m﹣a）]＝nm﹣na+n（a﹣b）﹣a（a﹣b）﹣mn+am﹣m（a﹣b）+a（a﹣b）＝b（m﹣n）＝2b．
故选：D．
【变式7-3】（2020春•丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．b＝5aB．b＝4aC．b＝3aD．b＝a
【解题思路】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系．
【解答过程】解：设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，
S＝S1﹣S2
＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]
＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2
＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．
∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，
∴5a﹣b＝0，
∴b＝5a．
故选：A．
【考点8 因式分解】
【例8】（2021春•玄武区期中）因式分解：
（1）a3﹣a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9．
【解题思路】（1）直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式﹣b，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答过程】解：（1）a3﹣a
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣y）（a+3b）（a﹣3b）；
（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9
＝（y2﹣1）2﹣6 （y2﹣1）+9
＝（y2﹣1﹣3）2
＝（y+2）2（y﹣2）2．
【变式8-1】（2021秋•斗门区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【解题思路】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答过程】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【变式8-2】（2021春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【解题思路】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．
【解答过程】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）
＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）
＝（d﹣c）（a﹣b）
②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2
＝（x﹣3）2﹣y2
＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）
（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）（1+x）n
＝（1+x）n+1
【变式8-3】（2021春•高密市期末）把下列各式进行因式分解
（1）m（a﹣2）+n（2﹣a）
（2）（x+y）2+4（x+y+1）
（3）m（m﹣1）+m﹣1
（4）x2﹣2xy+y2﹣1．
【解题思路】（1）提取公因式a﹣2即可得；
（2）将原式变形为（x+y）2+4（x+y）+4，利用完全平方公式分解可得；
（3）提取公因式m﹣1可得；
（4）先利用完全平方公式变形为（x﹣y）2﹣1，再利用平方差公式分解可得．
【解答过程】解：（1）原式＝m（a﹣2）﹣n（a﹣2）＝（a﹣2）（m﹣n）；
（2）原式＝（x+y）2+4（x+y）+4＝（x+y+2）2；
（3）原式＝（m﹣1）（m+1）；
（4）原式＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【考点9利用因式分解求值】
【例9】（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3＝ ．
【解题思路】先运用提公因数法把多项式12x3y+x2y2+12xy3因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解答过程】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴12x3y+x2y2+12xy3
=12xy(x2+2xy+y2)
=12xy(x+y)2
=12×(-1)×22
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式9-1】（2021春•碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11
【解题思路】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【解答过程】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11
（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11
（a﹣b）（a﹣c）＝11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，
∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．
故选：D．
【变式9-2】（2021秋•嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可．
【解答过程】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
【变式9-3】（2021秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【解题思路】（1）直接将原式变形进而把已知代入得出答案；
（2）直接将原式变形进而把已知代入得出答案．
【解答过程】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2﹣a＝10，
2（a+4）（a﹣5）
＝2（a2﹣a﹣20）
＝2×（10﹣20）
＝﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
＝2x2（x2+4x）﹣4x2﹣8x+1
＝2x2﹣4x2﹣8x+1
＝﹣2x2﹣8x+1
＝﹣2（x2+4x）+1
＝﹣2+1
＝﹣1．
【考点10因式分解的应用】
【例10】（2021春•常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝ ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
① ；② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为 ．
【解题思路】（1）根据提取公因式的方法分解因式便可；
（2）根据“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和”和“图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和；
（3）利用总结的公式进行因式分解便可；
（4）先提公因式，再按新公式分解因式，再用完全平方公式将原式化成已知代数式的形式，最后代值计算便可．
【解答过程】解：（1）a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）①根据题意得，图1的立体图形的体积＝边长为a的正方体的体积﹣边长为b的正方体的体积，
即a3﹣b3；
②根据题意得，图1的立体图形的体积＝图3的三个立体图形的体积之和，
即b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）．
故答案为：①a3﹣b3；②b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）；
思考：∵b2（a﹣b）+ab（a﹣b）+a2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（3）x3﹣125＝x3﹣53＝（x﹣5）（x2+5x+25）；
（4）a4b﹣8ab4＝ab（a3﹣8b3）＝ab（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）＝ab（a﹣2b）[（a﹣2b）2+6ab]，
当a﹣2b＝6，ab＝﹣2时，原式＝﹣2×6×（36﹣12）＝﹣288．
故答案为：﹣288．
【变式10-1】（2021春•新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 张，长方形纸片 张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
【解题思路】（1）根据（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
（2）正方形、长方形硬纸片共8块的面积等于长为a+3b，宽为a+b的矩形面积，所以a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）；
（3）正方形、长方形硬纸片共9块的面积等于长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积，则2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【解答过程】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；
（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【变式10-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28＝（6+1）×（6﹣2）＝7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；
（2）若b是a的“十字点”，且a能被（b﹣1）整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；
（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
【解题思路】（1）根据定义解答即可；
（2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，因为a能被（b﹣1）整除，所以对表达式进行变形，得到（b﹣1）能整除2，求出b的值，进而得到a的值；
（3）根据条件写出m，n的表达式，根据m﹣n＝18写出等式，进行变形得（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，因为18＝3×6＝2×9＝18×1，分别列出方程组即可求解．
【解答过程】解：（1）十字点为7的十字数a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，
∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，
∴130的十字点为12．
故答案为：40，12；
（2）∵b是a的十字点，
∴a＝（b+1）（b﹣2）（b＞2且为正整数），
∴a＝（b﹣1+2）（b﹣1﹣1）＝（b﹣1）2+（b﹣1）﹣2，
∵a能被（b﹣1）整除，
∴（b﹣1）能整除2，
∴b﹣1＝1或b﹣1＝2，
∵b＞2，
∴b＝3，
∴a＝（3+1）（3﹣2）＝4．
（3）∵m的十字点为p，
∴m＝（p+1）（p﹣2）（p＞2且为正整数），
∵n的十字点为q，
∴n＝（q+1）（q﹣2）（q＞2且为正整数），
∵m﹣n＝18，
∴（p+1）（p﹣2）﹣（q+1）（q﹣2）＝18，
∴p2﹣p﹣2﹣q2+q+2＝18，
∴（p+q）（p﹣q）﹣（p﹣q）＝18，
∴（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，
∵m﹣n＝18＞0，p＞2，q＞2且p、q为正整数，
∴p＞q，p+q＞4，
∴p+q﹣1＞3，
∵18＝3×6＝2×9＝18×1，
∴p+q-1=6p-q=3或p+q-1=9p-q=2或p+q-1=18p-q=1，
解得：p=5q=2（不合题意，舍去），或p=6q=4，或p=10q=9，
∴p+q＝10或19．
【变式10-3】（2021秋•沙坪坝区校级月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和是7，十位数字与个位数字的和为8，那么我们把这样的数称为“七上八下数”．例如：3453 的千位数字与百位数字的和为：3+4＝7，十位数字与个位数字的和为：5+3＝8，所以3453是一个七上八下数”：3452的十位数字与个位数字的和为：5+2≠8，所以3452不是一个“七上八下数”．
（1）判断2571和4425是不是“七上八下数”？并说明理由；
（2）若对于一个七上八下数 m，交换其百位数字和十位数字得到新数m'，并且定义F（m）=m-m'2，若F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，求出满足条件的所有“七上八下数”m，并说明理由．
【解题思路】（1）读懂“七上八下数”的意思，再根据定义代入2571和4425进行验证即可；
（2）先表示出F（m）=m-m'2的一般代数式，再根据F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，探究出符合要求的“七上八下数”．
【解答过程】解：（1）2571是“七上八下数”，4425是“七上八下数”，理由如下：
∵2571 的千位数字与百位数字的和为：2+5＝7，十位数字与个位数字的和为：7+1＝8，
∴2571是一个“七上八下数”，
∵4425 的千位数字与百位数字的和为：4+4＝8≠7，十位数字与个位数字的和为：2+5＝7≠8，
∴4425不是一个“七上八下数”；
（2）设“七上八下数”m＝1000a+100b+10c+d，其中a+b＝7，c+d＝8，
1≤a≤7，0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且a，b，c，d为整数，则：
交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝1000a+100c+10b+d，
∴F（m）=m-m'2
=(1000a+100b+10c+d)-(1000a+100c+10b+d)2
=1000a+100b+10c+d-1000a-100c-10b-d2
=90b-90c2
=90(b-c)2
＝45（b﹣c），
∵F（m）与m个位数字的135倍的和刚好为一个正整数的平方，
∴设F（m）+135d＝n2，n为正整数，
∴45（b﹣c）+135d＝n2，
∴b﹣c+3d=n245，
∵0≤b≤6，0≤c≤8，0≤d≤8，且b，c，d为整数，
∴n245是正整数，
∴n能被3×5整除，
∵c+d＝8，
∴c＝8﹣d，
∴b﹣（8﹣d）+3d=n245，
即b+4d=n245+8，
∴b=n245+8﹣4d，
当d＝0时，b=n245+8＞8，不合题意，舍去；
当d＝1时，b=n245+4，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2，
∵n为正整数，
∴没有符合条件的n；
当d＝2时，b=n245，
∵0≤b≤6，
∴n245=0或1或2或3或4或5或6，
∵n为正整数，
∴只有n245=5满足条件，
此时，b＝5，d＝2，a＝7﹣b＝2，c＝8﹣d＝6，
∴m＝2562；
当d＝3时，b=n245-4，
∵0≤b≤6，
∴n245=4或5或6或7或8或9或10，
∵n为正整数，
∴只有n245=5满足条件，
此时，b＝1，d＝3，a＝7﹣b＝6，c＝8﹣d＝5，
∴m＝6153；
当d＝4时，b=n245-8，
∵0≤b≤6，
∴n245=8或9或10或11或12或13或14，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝5时，b=n245-12，
∵0≤b≤6，
∴n245=12或13或14或15或16或17或18，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
当d＝6时，b=n245-16，
∵0≤b≤6，
∴n245=16或17或18或19或20或21或22，
∵n为正整数，
∴只有n245=20满足条件，
此时，b＝4，d＝6，a＝7﹣b＝3，c＝8﹣d＝2，
∴m＝3426；
当d＝7时，b=n245-20，
∵0≤b≤6，
∴n245=20或21或22或23或24或25或26，
∵n为正整数，
∴只有n245=20满足条件，
此时，b＝0，d＝7，a＝7﹣b＝7，c＝8﹣d＝1，
∴m＝7017；
当d＝8时，b=n245-24，
∵0≤b≤6，
∴n245=24或25或26或27或28或29或30，
∵n为正整数，
∴此时没有满足条件的n；
综上所述，满足条件的所有“七上八下数”m为2562、6153、3426、7017．
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