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2024年新高考数学题型全归纳讲义第六讲函数与导数压轴小题归类(原卷版+解析)
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这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第六讲函数与导数压轴小题归类(原卷版+解析)，共71页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 题型01 整数解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 题型02 函数零点构造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 题型03 同构: 方程零点型同构 PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 题型04 同构: 不等式型同构求参 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 题型05 恒成立求参：移项讨论型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 题型06 恒成立求参：虚设零点型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 题型07 “倍缩”型函数求参数 PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 题型08 恒成立求参：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 题型09 双变量型不等式范围最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 题型10 双变量型：凸凹反转型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 题型11多参型：代换型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 题型12 多参型：二次构造放缩型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 题型13 多参型：韦达定理求参型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 题型14 多参型：单峰函数绝对值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 题型15 导数与三角函数 PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考练场 PAGEREF _Tc21516 \h 13
热点题型归纳
题型01 整数解型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型02 函数零点构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .
【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型11多参型：代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A．B．C．D．0
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试 数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．或B．
C．存在实数a，使得D．
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为
A．B．1C．D．3
【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___.
【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
高考练场场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（ ）
A．B．C．D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。
如变形得到，从而构造进行求解.
常见同构：
①；
②；
③
④；
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
一般地，已知函数，
若，，有，则的值域是值域的子集．
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，
令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求
出相应函数的最值
第六讲 函数导数压轴小题归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 题型01 整数解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 题型02 函数零点构造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 题型03 同构: 方程零点型同构 PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 题型04 同构: 不等式型同构求参 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 题型05 恒成立求参：移项讨论型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 题型06 恒成立求参：虚设零点型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 题型07 “倍缩”型函数求参数 PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 题型08 恒成立求参：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 题型09 双变量型不等式范围最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 题型10 双变量型：凸凹反转型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 题型11多参型：代换型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 题型12 多参型：二次构造放缩型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 题型13 多参型：韦达定理求参型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 题型14 多参型：单峰函数绝对值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 题型15 导数与三角函数 PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考练场 PAGEREF _Tc21516 \h 13
热点题型归纳
题型01 整数解型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【解析】根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.
【详解】，，对任意的，存在实数满足，使得，
易得，即恒成立，，对于恒成立,
设，则，令，在恒成立，
，故存在，使得，即，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.,将代入得：
，，且，故选：A
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求导，由得可求出的范围，再考查与零的大小比较，在时，结合题意得出，以及当时，，解出实数的范围可得出答案．
【详解】，则，
由于函数在区间上存在极值点，令，得，
所以，，解得，
由于，且不等式恰有一整数解．
①当时，即当时，，
当时，；当时，．
此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意；
②当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，；
③当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，．
因此，实数的取值范围是，故选D．
【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
则实数的取值范围为.故选：D
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题
）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据偶函数满足，得到函数是以6为周期的周期函数，由时，，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有150个整数解，转化为在一个周期上有3个整数解分别为-2，2，3求解.
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：
因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
∵，
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减，
当a>0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<−a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a<0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<0或f(x)>−a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3)⩽−a题型02 函数零点构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.
【详解】解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图，
当时，或，因为，所以，，，
因为，所以，因为，所以，
所以，设 ，
所以，解得或（舍去），
当时，，单调递减；当时，，
单调递增，所以当时，，
由，所以取值范围为，
故答案为: .
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .
【答案】
【解析】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，又，可得，故 ，结合，可得，有，构造，利用导数研究单调性，可得，即得解
【详解】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，
由于，不妨设，可知故
不妨设
故在单调递减，在单调递增，
故可得的最小值为
故答案为：
【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】转化条件得，则，令，利用导数求得的取值范围即可得解.
【详解】由题意，，，则，，
作函数的草图如下，
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴，
设，，则，令，解得，
易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，即的取值范围是.故答案为：.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
【答案】1
【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得.
【详解】令，由图象如图所示可知．
因为，则，，得，所以．
令，则，∴当时，即时，，
∴在上单调递减，所以，解得；
∴当时，即时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得与矛盾，舍去．
综上可得，．故答案为：1.
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先做出函数，的大致图象，利用图像的对称性得到， ，
再由得，，所以．
规定函数设，利用导数判断单调性，求出的取值范围
【详解】作出，的大致图象如图所示，
由，的图象都关于直线对称可得，，
由得，，
所以．
设，则，
所以在上单调递增，的取值范围是．
故答案为：
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案.
【详解】，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，
所以，所以.
故选：B.
【典例1-2】
（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，化简得到，设，得到，求得，得到为增函数，转化为方程在上有实根，设，利用导数求得函数的单调性，结合，进而求得的范围.
【详解】由，可得，即，
因为，可得，所以，其中，设，则，
又因为，所以在上为增函数，所以，即，
所以问题转化为方程在上有实根，
设（），则，所以在上是减函数，
所以，解得．故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】解法一 根据题意，转化为，令，利用导数得到在上为增函数，得到，即，即可求解；
解法二 根据题意，转化为，令，利用导数求得在上为增函数，得到，即可求解.
【详解】解法一 因为是方程的一个根，所以，
即，整理得，
令，则恒成立，所以在上为增函数，
由，可得，所以，
所以．
解法二 因为是方程的一个根，所以，
即，所以，所以，
令，可得，
所以函数在上为增函数，
由，可得，所以，所以．
故选：D．
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为 所以，
所以 ，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
因为所以，
则 所以，即，故A正确；故B错误；
因为，所以，
因为，所以不确定，故CD错误.
故选：A.
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.
【详解】∵，∴即，
设，则，且，所以在上，单调递增，
正实数，，∴，即，所以等价于，即，∴，设，∴，∴，
设，，所以单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，
所以，即最大值为0，故选：A.
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案.
【详解】变形为， 即，其中，，故，
令，则有，因为在上恒成立，故在上单调递增，故，两边取对数得：，则，令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.故选：C
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，所以，即，
构造函数，所以，
令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以
故a的最小值是．故选：C
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】依题意，．令，则．令，，
则，所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．所以，实数的取值范围是.故选：D
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到，从而利用导函数研究，求出最大值，从而求出，得到答案.
【详解】变形为：，令（）则上式可化为：，其中，所以（）单调递增，故，即，令，则，当时，，当时，，所以在处取得极大值，也是最大值，故，所以，解得：，综上：有最小值，无最大值.
故选：B
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.
【详解】令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，因为，，所以，，
因为，所以，两边取对数得，即，故，
令，，，当时，，当时，，
故在上取得最大值，，故，
综上：的最小值为.故选：C.
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，
，由于函数有唯一零点，
则，由，解得，
所以，，
令，其中，
，，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【详解】令，，所以，因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，所以，，
所以
所以，考虑函数，
其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，原不等式转化为成立，利用导数研究函数的最小值，利用最小值不小于0，可求出a的范围，从而求其最小值.
【详解】设，，下面先求，且；
当时，，设，，在增，故，
当时，故，满足题设；
当时，，，则使，即，
且在减，在增，则，记，
则，，在减，由，即，
知，即，故，设，则，
故在减，故，即，因此的最小值是.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数求导得出，由题意得出函数在上存在极小值点，然后对参数分类讨论，在时，函数单调递增，无最小值；在时，根据函数的单调性得出，从而求出实数的取值范围.
【详解】，，
构造函数，其中，则.
①当时，对任意的，，则函数在上单调递减，
此时，，则对任意的，.
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
②当时，解方程，得.
当时，，当时，，
此时，.
（i）当时，即当时，则对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
（ii）当时，即当时，，当时，，
由零点存在定理可知，存在和，使得，
即，且当和时，，此时，；
当时，，此时，.
所以，函数在处取得极大值，在取得极小值，
由题意可知，，
，
可得，又，可得，构造函数，其中，
则，此时，函数在区间上单调递增，
当时，则，.
因此，实数的取值范围是，故选C.
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得，
所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增；
所以，即在上存在使得，即有解，
即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.
故选：A.
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
则时，，单调递减，时，，单调递增.所以
根据，
所以，所以.
故选：A.
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】解：设，则对一切正实数恒成立，即，
由，令，则恒成立，所以在上为增函数，
当时，，当时，，则在上，存在使得，
当时，，当时，，故函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在处取得最小值为，因为，即，
所以恒成立，即，又，当且仅当，即时取等号，
故，所以．故选：C．
【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.
【详解】令，只需要上恒成立，∵且，
∴，即在上单调递增，∵，，
∴，使，即，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知.故选：C
【变式1-2】.已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，
则，所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
由于函数有唯一零点，则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【详解】令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，
所以，，所以
所以，
考虑函数，其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】
因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根。令
则，令解得代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为
所以选B
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】
因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即所以方程有两个不等的实根，且两根都大于0
则，解得所以实数的取值范围是.故答案为：
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.
【详解】
解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
问题转化为有两个不等的实数根，设，换元有两个不等的正实数根，记，求导则，结合图象得出结论.
【详解】
解：由函数为“3倍函数”，且函数单调递增，得，即，有两个不等的实数根，设，则问题转化为关于的方程有两个不等的正实数根.记，则，
令，得，当时，，
故可画出函数与的草图，如下图所示：
由图可知，，时，有两个交点，
即有两个不等的实数根.故选：A.
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出
【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，
设，则，又，所以，则当时，，
当时，，所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，
则需，即 所以， 所以 所以
所以 所以 即 又，所以 故选A
.
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直接对和进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出在区间上是单调减函数和在区间上是单调增函数，由于，使得，则，即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为函数，，
，在区间上是单调减函数，所以，
，在区间上是单调增函数，所以，
由于使得，所以，
当时，得或，
所以或，所以，得．故选：B．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【答案】C
【分析】根据不等式恒成立的等价形式，求的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.
【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，
对于，当时，，，，
当时，，，，当且仅当时，，
当时，，即，令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
，，的最小值为.故选：C.
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据恒成立转化不等式为，再分离转化为求最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果.
【详解】，，∴令，解得，单调递增，
∴令，解得，单调递减，∵
因为对，使得成立，所以使得成立，
因为，所以，使得成立，
令，所以
，
在单调递增，，因此，在单调递增，
，，故选：A
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【答案】
【分析】
解题的关键在于读懂“对任意的，总存在使得成立”这一恒成立问题，即要恒成立，先通过求导求出，再通过恒成立问题分离参数，被分离部分再构造函数求最值，即可求出
【详解】
解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴当时，，函数单调递减，
∴当时，，函数单调递增，
∴
当时，，则
记，，，
在上单减，，所以单减，则
，单增，，单减，所以
故当时，．
故实数a的取值范围为．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点
【答案】C
【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D.
【详解】由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
对A，则，且，
所以，解得，所以A正确；
对B，，且，，故，，
所以，所以B正确；
对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定，
所以C不正确；
对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，所以D正确；
故选：C.
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.
【详解】，则，令，
当时，单调递减，当时，单调递增，
在上，且，，，即.
综上，的图象如下：结合，，令，
如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；
又，故，则不一定成立，B错误；
令，
则，
当时，，得，则；
当时，，得，则，
所以函数在R上单调递增，且，
所以在R上恒成立，得，
即，又，所以，
由，且函数在单调递减，得，即，D正确.
又，则，即，故，C错误.
故选：D.
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题得，分析得到对都成立，
再求函数，的最小值得解.
【详解】由题得函数的导数.
由题意可得（，且）.即有，
化为，而，∴，
化为对都成立，令，，
，对恒成立，即在递增，
∴，∴，∴，即的取值范围是.选：B.
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，不妨设，代入方程消去得到关系，令，用表示，进而将用表示，构造函数判断与的大小关系，即可求出结论.
【详解】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，不妨设，,
两式相减得，令，，
，令，
令恒成立，
在是单调递增，恒成立，
在是单调递增，恒成立，
，.故选:B.
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对A，分别作出函数，，的图象，通过图象观察易得成立；利用基本不等式可证B成立；构造函数可证C成立；构造函数可得，再利用函数的单调性，可证得D不成立；
【详解】对A，如图，作出函数、和的草图，因为A，B关于C对称，且，因为，所以，故A正确；
对B，由基本不等式，，因为，所以等号不成立，故B正确；
对C，因为，所以，记，
则，故时，，所以在上单调递增，所以，即，即，故C正确；
对D，记，则，，则，又，易知在上单调递增，故，故D错误．
故选：D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【答案】B
【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.
【详解】解：易知等价于．令，则．
令得．当时；当时．所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值．令，则．
当时不符合，舍去，所以．则，．当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值．
若成立，只需，即，即．
两边取自然对数可得．当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．故选：B．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，设，则，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，
又，则，此时，则.故选：A
【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2。故选A
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值。所以可得，进而根据极限值情况可得m的取值范围。
【详解】令，可化为，令，，令，得，
当时，；当时，，
所以，
先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即所以选B
题型11多参型：代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围
【详解】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：
令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以 故选：D
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】对任意正实数恒成立，
即恒成立，
对任意正实数恒成立，
令则.
设则令
则在上单调递增，
又当时，当时，
在(0，1)上单调递减，在上单调递增，
故答案为：
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【答案】
【分析】先对函数求导，二次求导，求出，不等式恒成立问题即二次不等式恒成立问题，根据图像可得且，可得出，分和讨论，利用不等式的性质和基本不等式可求得的最大值．
【详解】因为，所以，即.
因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，则.①当时，；②当时，当且仅当时，取得最大值为.故答案为
【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.
【详解】解：，
令，又，，且，令，则，
再令，在上单调递增
又，在上，；在上，，
则在上，；在上，，
且当时，；当时，，或或
所以结合选项，可知答案选B.故选：B
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试 数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令， 所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以
令 ，
令 ，解得，此时递增。 ，解得，此时递减，
所以此时 故答案为
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值.
【详解】关于的不等式恒成立，即，
令，则，，
当时，，则在上递增，所以无最大值，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上递增，在上递减，所以，
所以，得，所以，即，所以当时，，
令，所以此时取最小值为，
当时，，综上，的最小值为，故选：C
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先构造函数，求出，讨论确定出得，则有，再构造出函数，同样利用导数确定出的最大值，从而得到值.
【详解】设，则，当时，，所以在上递增，不符合条件，故，令得，
所以在上递增，上递增，
故有，即，则有，
令，，则在上递减，且，所以在上递增，上递减，所以，此时取得最大值，且，所以.故选：D
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，令，
所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，所以，令，则，
所以，当时，当时，，
所以当时，取得最小值，所以的最小值是故选：D
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.
【详解】因为函数，则，
由题可知，对，恒有成立，
令，则，
当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，，
当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；
所以，
故，
令，则，且，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故，
综上所述，的最大值为.故选：C
【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得在定义域内恒成立，求导，利用导数判断单调性和最值结合恒成立问题可得，进而利用二次函数求的最大值.
【详解】构建，由题意可得在定义域内恒成立，
可得的定义域为，且因为，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减；
所以，令，则，
构建，则，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，所以，若，则，即，
所以，当时，取到最小值.故选：A.
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数的定义域为，
由，得，因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，所以，即．
故BCD正确，A错误．故选：A．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.
【详解】因为，所以函数定义域为，
，
由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，
则，解得，即的取值范围为，故选：A.
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.
【详解】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得，令，得，
由题意知在上有两个根，，∴，得．
由根与系数的关系得，由求根公式得，
∵，∴，∵，∴．则，
令，则．设，则，
易知在上单调递增，∴，
∴当时，函数为减函数，∴，且，
∴，故选：D.
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．或B．
C．存在实数a，使得D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，，即在上有两个不等的实根，因此，解得，A错误；
由韦达定理得，则，B错误；
，
令，，即函数在上单调递减，
，因此恒成立，C错误；
，令，
，令，，即函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
于是，所以，D正确.
故选：D
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
不等式可化为不等式，等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，等价于存在实数a，b，不等式成立，分别讨论，，的情况，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解决.
【详解】
不等式可化为不等式，
原题等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，
等价于存在实数a，b，不等式成立，令，则，
（1）在上，当，即时，函数单调递减，此时，
当时，，且，则，
当时，，且，则，从而当时，设，
则在单调递减，在单调递增，所以时，取最小值，最小值为；
（2）当时，由可得，y在上单调递减，在上单调递增，
①在时，，则，同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，最小值为；
②在时，，则，
同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，最小值为，
根据对勾函数的性质可得，.综上所述，，即，
.故答案为.
【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【答案】2
【分析】
将函数变形为，设，
，画出函数图像，当时取最值，得到答案.
【详解】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2。答案为2
【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
首先设在上的最大值为，因为存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，所以可以得到，所以只需求的最小值即可求出实数的取值范围.通过取端点值和中间的特值，得到可得，
，，然后寻找合适的系数进行组合，并利用绝对值不等式的性质化为常数，得到其最小值.
【详解】∵，∴在上的最大值为，可得，
，，可得
，即，∴，
∵存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，
∴.故答案为：.
【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【答案】
【分析】
先分类讨论的最小值，再分类讨论研究函数的单调性，根据题意得到关于的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a的取值范围．
【详解】
解：（1）①当时，，，，恒成立，
在上增函数，故当时，
②当时，，，
（I）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数，
故当时，，且此时
（II）当，即时，在时为负数，在时为正数，
所以在区间上为减函数，在上为增函数，
故当时，，且此时
（III）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，
故当时，．综上所述，．
由于当趋近于时，的趋近于，
①当时，在上,，单调递增，
在的取值范围是[g,由题意得，
解得；
②当时，.，即时，在上减，在上增，当趋近于时，g的趋近于，由题意得，
即(*)设，，，，所以单调递增,
∴，当且仅当时取等号.∴由得,即，∴时符合题意；
③当时在递增，在递减，在递增，当趋近于时，g的趋近于，
若时，由题意得。得（**），
设，.则，所以递增，且，
所以恒成立，∴此时不等式（**）无解；
若当时，由题意得得，即（***）
由于，∴,而，
∴不等式（***）无解．综上，所求a的取值范围是．故答案为：
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
【答案】
【分析】
根据函数的最大值,依据可求出的两种情况.讨论的不同取值,去掉内层的绝对值,利用导数分析三次函数的极值点,进而求得最大值与最小值.通过函数的上下平移,结合最值即可求得的所有取值.
【详解】
因为函数.若在上的最大值为2所以,即
当时,不等式化为,解得
当时,不等式化为,解得由以上可知:
(1) 当时,函数解析式可化为令,则
当时解得
当时, ,即在上单调递增
当时, ,即在上单调递减
当时, ,即在上单调递增.
所以,
当时, 向下平移个单位可得的图像
因为在上的最大值为2。所以只需满足即可,即,解得,或(舍)
当时, 向上平移个单位可得到的图像。由在上的最大值为2。可知只需满足即可.即,解得,符合题意
(2) 当,函数解析式可化为令,则
所以在上单调递增则
当时,向下平移个单位可得
由在上的最大值为2只需,即解得或(舍)
当时, 向上平移个单位可得
由在上的最大值为2只需,即解得或(舍)
综上可知,满足条件的所有可能的为和故答案为:
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据周期性只需考虑函数最值，结合得时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值.
【详解】
由题，只需考虑函数最值即可，
，所以当即时函数取得最大值，
，
考虑函数，，所以必存在唯一零点，，
且递减，递增，
记，由正弦函数单调性可得：函数递增，函数递减，
所以函数
，解得，
所以.故选：A
【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】
首先判断的单调性，假设，将去绝对值，化简后构造函数，利用导数结合的单调性进行化简，利用分离常数法求得实数的最小值.
【详解】
依题意，且.所以，故在时单调递增.不妨设，则，且.故由得，即，构造函数，则在时单调递减.故在区间上恒成立，即在区间上恒成立.构造函数，，故在区间上递减，故，所以.故的最小值为.故选B.
【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
【答案】-7
【分析】
由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.
【详解】
易知函数的图象关于点（﹣1，0）对称，
设函数图象上任意一点为，则它关于（-1,0）的对称点为，将其代入的解析式得：，即，于是函数关于点（-1,0）对称.又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.于是x=-2时，的极小值为，
而，x=0时，的极大值为，
而.现作出两个函数的大致图象，如图：
于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案为：-7.
【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】构造，，则恒成立，则，
当时，，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，即，因为，所以
因为，所以，因为在在单调递减，所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求函数的导函数，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，构造函数，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】求导，令，
由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：
（1）当时，，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
，即恒成立，符合题意；
（2）当时，，令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
，即恒成立，符合题意；
（3）当时，令，得或，
研究内的情况即可：
当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足
，且同理，且又，当时，；当时，，故不符合；
所以a的取值范围是故选：A
高考练场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
求导，由得可求出的范围，再考查与零的大小比较，在时，结合题意得出，以及当时，，解出实数的范围可得出答案．
【详解】
，则，由于函数在区间上存在极值点，令，得，
所以，，解得，由于，且不等式恰有一整数解．
①当时，即当时，，
当时，；当时，．
此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意；
②当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，；
③当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，．
因此，实数的取值范围是，故选D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】先证明据，结合，求出，令，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可．
【详解】，即，①，，
②，又在，上单调递增，故由①②得，
故，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，
故，故答案为：．
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由已知可得，构造函数，通过导数研究单调性，得，结合对数的运算规则求的值.
【详解】由，得，由，有，可得.
令，，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，，当时，，
由，则有，所以，
因为，所以.故选：C
4.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得，从而，，构造函数，有单调性得，再化简得，再构造函数，求得最大值即可.
【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，
设函数，，，所以函数在为增函数，
所以所以，设函数，，
所以函数在为增函数，在为减函数，所以，
所以的最大值为，故选：A.
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把给定恒成立的不等式变形，构造函数，利用导数探讨的最大值不超过0即可作答.
【详解】，，
令，则，而成立，
当时，，即在上递增，当时，
于是有当时，恒有，
当时，由得，有，有，即在上递减，
当时，，即成立，不符合题意，
综上：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得，
所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增；
所以，即在上存在使得，即有解，
即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.
故选：A.
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根令
则，令解得代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为所以选B
8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【详解】因为存在，，使得成立，所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，∴，
∴只需，即，令，则.
由可知，，∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.故答案为：
9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，把参数t表示成a的函数即，构造函数，通过导数研究函数最小值及最小值的取值范围.
【详解】设，则，，，
令，，易知单增，
且，，则存在，使，
即，，单减；，，单增；
又，
则，
易知在单减，即
故选：C
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】当时，，；
当时，，，综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，，令.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【详解】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【答案】C
【分析】等价于对于，恒成立，设，求出函数最大值，得到，设，求出函数的最小值即得解.
【详解】因为对于，恒成立，所以对于，恒成立，
设，所以.当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.所以.
所以.所以.设，所以，
当时，，函数单调递减.当时，，函数单调递增.
所以.所以的最小值为.
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
【答案】
【分析】构造函数，分情况讨论函数的单调性，并求最值.
【详解】设的最大值为，
令，则在上，当时，即时，单调递增，此时，
当时，，
当时，，从而当时，时，取最小值，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在时，，当时，，
在，时，，当时，，
对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，
，故的最大值为，故答案为：.
15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]，分类讨论即可﹒
【详解】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]﹒
(1)当x≤0时，，为满足题意，其图像应该如图：
∴a≥0；
(2)当x＞0时，
①a＝0时，f(x≥0恒成立，满足题意；
②a＞0时，恒成立恒成立(x＞0)，
令，则，
由得，，即时，单调递增，
由得，，即时，单调递减，
时，取得极大值，
时，，，
综上所述，故答案为：
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。
如变形得到，从而构造进行求解.
常见同构：
①；
②；
③
④；
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
一般地，已知函数，
若，，有，则的值域是值域的子集．
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，
令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求
出相应函数的最值
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 题型01 整数解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 题型02 函数零点构造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 题型03 同构: 方程零点型同构 PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 题型04 同构: 不等式型同构求参 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 题型05 恒成立求参：移项讨论型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 题型06 恒成立求参：虚设零点型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 题型07 “倍缩”型函数求参数 PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 题型08 恒成立求参：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 题型09 双变量型不等式范围最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 题型10 双变量型：凸凹反转型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 题型11多参型：代换型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 题型12 多参型：二次构造放缩型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 题型13 多参型：韦达定理求参型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 题型14 多参型：单峰函数绝对值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 题型15 导数与三角函数 PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考练场 PAGEREF _Tc21516 \h 13
热点题型归纳
题型01 整数解型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型02 函数零点构造型
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .
【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型11多参型：代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A．B．C．D．0
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试 数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．或B．
C．存在实数a，使得D．
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为
A．B．1C．D．3
【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___.
【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
高考练场场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（ ）
A．B．C．D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。
如变形得到，从而构造进行求解.
常见同构：
①；
②；
③
④；
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
一般地，已知函数，
若，，有，则的值域是值域的子集．
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，
令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求
出相应函数的最值
第六讲 函数导数压轴小题归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 题型01 整数解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 题型02 函数零点构造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 题型03 同构: 方程零点型同构 PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 题型04 同构: 不等式型同构求参 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 题型05 恒成立求参：移项讨论型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 题型06 恒成立求参：虚设零点型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 题型07 “倍缩”型函数求参数 PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 题型08 恒成立求参：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 题型09 双变量型不等式范围最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 题型10 双变量型：凸凹反转型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 题型11多参型：代换型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 题型12 多参型：二次构造放缩型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 题型13 多参型：韦达定理求参型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 题型14 多参型：单峰函数绝对值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 题型15 导数与三角函数 PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考练场 PAGEREF _Tc21516 \h 13
热点题型归纳
题型01 整数解型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【解析】根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.
【详解】，，对任意的，存在实数满足，使得，
易得，即恒成立，，对于恒成立,
设，则，令，在恒成立，
，故存在，使得，即，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.,将代入得：
，，且，故选：A
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求导，由得可求出的范围，再考查与零的大小比较，在时，结合题意得出，以及当时，，解出实数的范围可得出答案．
【详解】，则，
由于函数在区间上存在极值点，令，得，
所以，，解得，
由于，且不等式恰有一整数解．
①当时，即当时，，
当时，；当时，．
此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意；
②当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，；
③当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，．
因此，实数的取值范围是，故选D．
【变式1-1】在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
则实数的取值范围为.故选：D
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题
）已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据偶函数满足，得到函数是以6为周期的周期函数，由时，，用导数法结合偶函数，作出数在上的图象，将不等式在上有且只有150个整数解，转化为在一个周期上有3个整数解分别为-2，2，3求解.
【详解】因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：
因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，故选：B
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
∵，
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减，
当a>0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<−a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解，不符合题意；
当a<0时,f2(x)+af(x)>0⇔f(x)<0或f(x)>−a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解，必须满足f(3)⩽−a
【解题攻略】
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数，若实数互不相等，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】画出的图象，结合图象得的取值范围，再由，，用表示，结合函数导数可求出的取值范围.
【详解】解：令，解得，当时，，所以函数的图象如图，
当时，或，因为，所以，，，
因为，所以，因为，所以，
所以，设 ，
所以，解得或（舍去），
当时，，单调递减；当时，，
单调递增，所以当时，，
由，所以取值范围为，
故答案为: .
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数，若实数满足，，则的取值范围为___________ .
【答案】
【解析】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，又，可得，故 ，结合，可得，有，构造，利用导数研究单调性，可得，即得解
【详解】画出的图像如图所示，可知为R上的单调递增函数，
由于，不妨设，可知故
不妨设
故在单调递减，在单调递增，
故可得的最小值为
故答案为：
【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数，，若，其中，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】转化条件得，则，令，利用导数求得的取值范围即可得解.
【详解】由题意，，，则，，
作函数的草图如下，
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴，
设，，则，令，解得，
易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，即的取值范围是.故答案为：.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________．
【答案】1
【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得.
【详解】令，由图象如图所示可知．
因为，则，，得，所以．
令，则，∴当时，即时，，
∴在上单调递减，所以，解得；
∴当时，即时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得与矛盾，舍去．
综上可得，．故答案为：1.
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数，，若方程有4个不同的实根，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先做出函数，的大致图象，利用图像的对称性得到， ，
再由得，，所以．
规定函数设，利用导数判断单调性，求出的取值范围
【详解】作出，的大致图象如图所示，
由，的图象都关于直线对称可得，，
由得，，
所以．
设，则，
所以在上单调递增，的取值范围是．
故答案为：
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案.
【详解】，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，
所以，所以.
故选：B.
【典例1-2】
（2023·全国·模拟预测）若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，化简得到，设，得到，求得，得到为增函数，转化为方程在上有实根，设，利用导数求得函数的单调性，结合，进而求得的范围.
【详解】由，可得，即，
因为，可得，所以，其中，设，则，
又因为，所以在上为增函数，所以，即，
所以问题转化为方程在上有实根，
设（），则，所以在上是减函数，
所以，解得．故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】解法一 根据题意，转化为，令，利用导数得到在上为增函数，得到，即，即可求解；
解法二 根据题意，转化为，令，利用导数求得在上为增函数，得到，即可求解.
【详解】解法一 因为是方程的一个根，所以，
即，整理得，
令，则恒成立，所以在上为增函数，
由，可得，所以，
所以．
解法二 因为是方程的一个根，所以，
即，所以，所以，
令，可得，
所以函数在上为增函数，
由，可得，所以，所以．
故选：D．
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为 所以，
所以 ，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
因为所以，
则 所以，即，故A正确；故B错误；
因为，所以，
因为，所以不确定，故CD错误.
故选：A.
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.
【详解】∵，∴即，
设，则，且，所以在上，单调递增，
正实数，，∴，即，所以等价于，即，∴，设，∴，∴，
设，，所以单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，
所以，即最大值为0，故选：A.
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案.
【详解】变形为， 即，其中，，故，
令，则有，因为在上恒成立，故在上单调递增，故，两边取对数得：，则，令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.故选：C
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，所以，即，
构造函数，所以，
令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以
故a的最小值是．故选：C
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题目不等式构造，得到，构造，，证明出在上恒成立，得到在上单调递减，转化为在上恒成立，求出实数的取值范围.
【详解】依题意，．令，则．令，，
则，所以在上单调递减，则，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在单调递增，故．所以，实数的取值范围是.故选：D
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到，从而利用导函数研究，求出最大值，从而求出，得到答案.
【详解】变形为：，令（）则上式可化为：，其中，所以（）单调递增，故，即，令，则，当时，，当时，，所以在处取得极大值，也是最大值，故，所以，解得：，综上：有最小值，无最大值.
故选：B
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知，若时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，利用函数单调性解出，两边取对数，进行参变分离，求导后求出最值，得到答案.
【详解】令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减，因为，，所以，，
因为，所以，两边取对数得，即，故，
令，，，当时，，当时，，
故在上取得最大值，，故，
综上：的最小值为.故选：C.
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，
，由于函数有唯一零点，
则，由，解得，
所以，，
令，其中，
，，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【详解】令，，所以，因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，所以，，
所以
所以，考虑函数，
其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知，且时，恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，原不等式转化为成立，利用导数研究函数的最小值，利用最小值不小于0，可求出a的范围，从而求其最小值.
【详解】设，，下面先求，且；
当时，，设，，在增，故，
当时，故，满足题设；
当时，，，则使，即，
且在减，在增，则，记，
则，，在减，由，即，
知，即，故，设，则，
故在减，故，即，因此的最小值是.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若有最小值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数求导得出，由题意得出函数在上存在极小值点，然后对参数分类讨论，在时，函数单调递增，无最小值；在时，根据函数的单调性得出，从而求出实数的取值范围.
【详解】，，
构造函数，其中，则.
①当时，对任意的，，则函数在上单调递减，
此时，，则对任意的，.
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
②当时，解方程，得.
当时，，当时，，
此时，.
（i）当时，即当时，则对任意的，，
此时，函数在区间上单调递增，无最小值；
（ii）当时，即当时，，当时，，
由零点存在定理可知，存在和，使得，
即，且当和时，，此时，；
当时，，此时，.
所以，函数在处取得极大值，在取得极小值，
由题意可知，，
，
可得，又，可得，构造函数，其中，
则，此时，函数在区间上单调递增，
当时，则，.
因此，实数的取值范围是，故选C.
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得，
所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增；
所以，即在上存在使得，即有解，
即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.
故选：A.
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】不等式对恒成立，即对恒成立，令，，而在单调递增（增+增），且，所以（x0唯一），使得.
则时，，单调递减，时，，单调递增.所以
根据，
所以，所以.
故选：A.
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】解：设，则对一切正实数恒成立，即，
由，令，则恒成立，所以在上为增函数，
当时，，当时，，则在上，存在使得，
当时，，当时，，故函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在处取得最小值为，因为，即，
所以恒成立，即，又，当且仅当，即时取等号，
故，所以．故选：C．
【变式1-1】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.
【详解】令，只需要上恒成立，∵且，
∴，即在上单调递增，∵，，
∴，使，即，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知.故选：C
【变式1-2】.已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，
则，所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
由于函数有唯一零点，则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.故选：C.
【变式1-3】若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
令，，即，利用导数研究函数的性质，由递增，由零点存在定理知存在，使，则可得，，代入，得关于的不等式，再构造函数，利用单调性求得的取值范围，再由，求得a的最大值.
【详解】令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且，
所以，，所以
所以，
考虑函数，其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，所以的最大值为.故选：C
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】
因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根。令
则，令解得代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为
所以选B
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】
因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即所以方程有两个不等的实根，且两根都大于0
则，解得所以实数的取值范围是.故答案为：
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.
【详解】
解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.
故答案为：
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数的定义域为，若存在，使得在区间上的值域为，则称为“倍函数”.已知函数为“3倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
问题转化为有两个不等的实数根，设，换元有两个不等的正实数根，记，求导则，结合图象得出结论.
【详解】
解：由函数为“3倍函数”，且函数单调递增，得，即，有两个不等的实数根，设，则问题转化为关于的方程有两个不等的正实数根.记，则，
令，得，当时，，
故可画出函数与的草图，如下图所示：
由图可知，，时，有两个交点，
即有两个不等的实数根.故选：A.
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为（且），则称为“倍函数”，若函数为“3倍函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数与方程的关系得：函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，设，再利用导数可得求出的单调区间，只需，即可求出
【详解】因为函数为增函数，由函数为“3倍函数”，即函数的图像与直线有两个不同的交点，
设，则，又，所以，则当时，，
当时，，所以函数在为减函数，在为增函数，
要使的图像与直线有两个不同的交点，
则需，即 所以， 所以 所以
所以 所以 即 又，所以 故选A
.
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直接对和进行求导，通过导数研究函数的单调性，得出在区间上是单调减函数和在区间上是单调增函数，由于，使得，则，即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为函数，，
，在区间上是单调减函数，所以，
，在区间上是单调增函数，所以，
由于使得，所以，
当时，得或，
所以或，所以，得．故选：B．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【答案】C
【分析】根据不等式恒成立的等价形式，求的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.
【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，
对于，当时，，，，
当时，，，，当且仅当时，，
当时，，即，令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
，，的最小值为.故选：C.
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据恒成立转化不等式为，再分离转化为求最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果.
【详解】，，∴令，解得，单调递增，
∴令，解得，单调递减，∵
因为对，使得成立，所以使得成立，
因为，所以，使得成立，
令，所以
，
在单调递增，，因此，在单调递增，
，，故选：A
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【答案】
【分析】
解题的关键在于读懂“对任意的，总存在使得成立”这一恒成立问题，即要恒成立，先通过求导求出，再通过恒成立问题分离参数，被分离部分再构造函数求最值，即可求出
【详解】
解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴当时，，函数单调递减，
∴当时，，函数单调递增，
∴
当时，，则
记，，，
在上单减，，所以单减，则
，单增，，单减，所以
故当时，．
故实数a的取值范围为．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点
【答案】C
【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D.
【详解】由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
对A，则，且，
所以，解得，所以A正确；
对B，，且，，故，，
所以，所以B正确；
对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定，
所以C不正确；
对D，由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，所以D正确；
故选：C.
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数，若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.
【详解】，则，令，
当时，单调递减，当时，单调递增，
在上，且，，，即.
综上，的图象如下：结合，，令，
如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；
又，故，则不一定成立，B错误；
令，
则，
当时，，得，则；
当时，，得，则，
所以函数在R上单调递增，且，
所以在R上恒成立，得，
即，又，所以，
由，且函数在单调递减，得，即，D正确.
又，则，即，故，C错误.
故选：D.
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题得，分析得到对都成立，
再求函数，的最小值得解.
【详解】由题得函数的导数.
由题意可得（，且）.即有，
化为，而，∴，
化为对都成立，令，，
，对恒成立，即在递增，
∴，∴，∴，即的取值范围是.选：B.
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，不妨设，代入方程消去得到关系，令，用表示，进而将用表示，构造函数判断与的大小关系，即可求出结论.
【详解】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，不妨设，,
两式相减得，令，，
，令，
令恒成立，
在是单调递增，恒成立，
在是单调递增，恒成立，
，.故选:B.
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对A，分别作出函数，，的图象，通过图象观察易得成立；利用基本不等式可证B成立；构造函数可证C成立；构造函数可得，再利用函数的单调性，可证得D不成立；
【详解】对A，如图，作出函数、和的草图，因为A，B关于C对称，且，因为，所以，故A正确；
对B，由基本不等式，，因为，所以等号不成立，故B正确；
对C，因为，所以，记，
则，故时，，所以在上单调递增，所以，即，即，故C正确；
对D，记，则，，则，又，易知在上单调递增，故，故D错误．
故选：D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【答案】B
【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.
【详解】解：易知等价于．令，则．
令得．当时；当时．所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值．令，则．
当时不符合，舍去，所以．则，．当时；当时．
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值．
若成立，只需，即，即．
两边取自然对数可得．当时等式成立；当时有．
令，本题即求的最大的正整数．
恒成立，则在上单调递减．
因为，，，
所以的最大正整数为9．故选：B．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，设，则，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，
又，则，此时，则.故选：A
【变式1-1】.已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2。故选A
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值。所以可得，进而根据极限值情况可得m的取值范围。
【详解】令，可化为，令，，令，得，
当时，；当时，，
所以，
先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大，所以，即所以选B
题型11多参型：代换型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围
【详解】因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：
令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以 故选：D
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数恒成立，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】对任意正实数恒成立，
即恒成立，
对任意正实数恒成立，
令则.
设则令
则在上单调递增，
又当时，当时，
在(0，1)上单调递减，在上单调递增，
故答案为：
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________
【答案】
【分析】先对函数求导，二次求导，求出，不等式恒成立问题即二次不等式恒成立问题，根据图像可得且，可得出，分和讨论，利用不等式的性质和基本不等式可求得的最大值．
【详解】因为，所以，即.
因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，则.①当时，；②当时，当且仅当时，取得最大值为.故答案为
【变式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），则实数的可能的取值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.
【详解】解：，
令，又，，且，令，则，
再令，在上单调递增
又，在上，；在上，，
则在上，；在上，，
且当时，；当时，，或或
所以结合选项，可知答案选B.故选：B
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023学年高三考试 数学）若正实数满足，则函数的零点的最大值为______.
【答案】
【分析】根据题意，先求出函数的零点，，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.
【详解】因为正实数满足，则函数的零点
令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令， 所以函数是单调递减的，
当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以
令 ，
令 ，解得，此时递增。 ，解得，此时递减，
所以此时 故答案为
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值.
【详解】关于的不等式恒成立，即，
令，则，，
当时，，则在上递增，所以无最大值，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上递增，在上递减，所以，
所以，得，所以，即，所以当时，，
令，所以此时取最小值为，
当时，，综上，的最小值为，故选：C
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，为实数，且不等式对任意的恒成立.则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先构造函数，求出，讨论确定出得，则有，再构造出函数，同样利用导数确定出的最大值，从而得到值.
【详解】设，则，当时，，所以在上递增，不符合条件，故，令得，
所以在上递增，上递增，
故有，即，则有，
令，，则在上递减，且，所以在上递增，上递减，所以，此时取得最大值，且，所以.故选：D
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.
【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，
令，则 在上恒成立，令，
所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，所以，
所以，所以，令，则，
所以，当时，当时，，
所以当时，取得最小值，所以的最小值是故选：D
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.
【详解】因为函数，则，
由题可知，对，恒有成立，
令，则，
当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，，
当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；
所以，
故，
令，则，且，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故，
综上所述，的最大值为.故选：C
【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知，，关于的不等式无实数解，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得在定义域内恒成立，求导，利用导数判断单调性和最值结合恒成立问题可得，进而利用二次函数求的最大值.
【详解】构建，由题意可得在定义域内恒成立，
可得的定义域为，且因为，，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减；
所以，令，则，
构建，则，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，所以，若，则，即，
所以，当时，取到最小值.故选：A.
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．
【详解】函数的定义域为，
由，得，因为函数既有极大值也有极小值，
所以函数在上有两个变号零点，而，
所以方程有两个不等的正根，
所以，所以，所以，即．
故BCD正确，A错误．故选：A．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.
【详解】因为，所以函数定义域为，
，
由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，
则，解得，即的取值范围为，故选：A.
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.
【详解】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得，令，得，
由题意知在上有两个根，，∴，得．
由根与系数的关系得，由求根公式得，
∵，∴，∵，∴．则，
令，则．设，则，
易知在上单调递增，∴，
∴当时，函数为减函数，∴，且，
∴，故选：D.
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．或B．
C．存在实数a，使得D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，，即在上有两个不等的实根，因此，解得，A错误；
由韦达定理得，则，B错误；
，
令，，即函数在上单调递减，
，因此恒成立，C错误；
，令，
，令，，即函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
于是，所以，D正确.
故选：D
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
不等式可化为不等式，等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，等价于存在实数a，b，不等式成立，分别讨论，，的情况，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解决.
【详解】
不等式可化为不等式，
原题等价于存在实数a，b，对任意，不等式成立，
等价于存在实数a，b，不等式成立，令，则，
（1）在上，当，即时，函数单调递减，此时，
当时，，且，则，
当时，，且，则，从而当时，设，
则在单调递减，在单调递增，所以时，取最小值，最小值为；
（2）当时，由可得，y在上单调递减，在上单调递增，
①在时，，则，同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，最小值为；
②在时，，则，
同理可得，当时，，则在单调递减，在单调递增，故当时，取最小值，最小值为，
根据对勾函数的性质可得，.综上所述，，即，
.故答案为.
【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．
【答案】2
【分析】
将函数变形为，设，
，画出函数图像，当时取最值，得到答案.
【详解】
设
在上单调递增，在上单调递减，
设
画出函数图像：
对任意的实数和，总存在，使得
等价于求最大值里的最小值.根据图像知：当时，最大值的最小值为2
故实数的最大值为2。答案为2
【变式1-1】设函数，若对任意的实数，总存在使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
首先设在上的最大值为，因为存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，所以可以得到，所以只需求的最小值即可求出实数的取值范围.通过取端点值和中间的特值，得到可得，
，，然后寻找合适的系数进行组合，并利用绝对值不等式的性质化为常数，得到其最小值.
【详解】∵，∴在上的最大值为，可得，
，，可得
，即，∴，
∵存在实数使不等式，所以，又由对任意实数，，恒成立，
∴.故答案为：.
【变式1-2】若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________．
【答案】
【分析】
先分类讨论的最小值，再分类讨论研究函数的单调性，根据题意得到关于的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a的取值范围．
【详解】
解：（1）①当时，，，，恒成立，
在上增函数，故当时，
②当时，，，
（I）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数，
故当时，，且此时
（II）当，即时，在时为负数，在时为正数，
所以在区间上为减函数，在上为增函数，
故当时，，且此时
（III）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，
故当时，．综上所述，．
由于当趋近于时，的趋近于，
①当时，在上,，单调递增，
在的取值范围是[g,由题意得，
解得；
②当时，.，即时，在上减，在上增，当趋近于时，g的趋近于，由题意得，
即(*)设，，，，所以单调递增,
∴，当且仅当时取等号.∴由得,即，∴时符合题意；
③当时在递增，在递减，在递增，当趋近于时，g的趋近于，
若时，由题意得。得（**），
设，.则，所以递增，且，
所以恒成立，∴此时不等式（**）无解；
若当时，由题意得得，即（***）
由于，∴,而，
∴不等式（***）无解．综上，所求a的取值范围是．故答案为：
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数.若在上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
【答案】
【分析】
根据函数的最大值,依据可求出的两种情况.讨论的不同取值,去掉内层的绝对值,利用导数分析三次函数的极值点,进而求得最大值与最小值.通过函数的上下平移,结合最值即可求得的所有取值.
【详解】
因为函数.若在上的最大值为2所以,即
当时,不等式化为,解得
当时,不等式化为,解得由以上可知:
(1) 当时,函数解析式可化为令,则
当时解得
当时, ,即在上单调递增
当时, ,即在上单调递减
当时, ,即在上单调递增.
所以,
当时, 向下平移个单位可得的图像
因为在上的最大值为2。所以只需满足即可,即,解得,或(舍)
当时, 向上平移个单位可得到的图像。由在上的最大值为2。可知只需满足即可.即,解得,符合题意
(2) 当,函数解析式可化为令,则
所以在上单调递增则
当时,向下平移个单位可得
由在上的最大值为2只需,即解得或(舍)
当时, 向上平移个单位可得
由在上的最大值为2只需,即解得或(舍)
综上可知,满足条件的所有可能的为和故答案为:
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据周期性只需考虑函数最值，结合得时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值.
【详解】
由题，只需考虑函数最值即可，
，所以当即时函数取得最大值，
，
考虑函数，，所以必存在唯一零点，，
且递减，递增，
记，由正弦函数单调性可得：函数递增，函数递减，
所以函数
，解得，
所以.故选：A
【典例1-2】已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】
首先判断的单调性，假设，将去绝对值，化简后构造函数，利用导数结合的单调性进行化简，利用分离常数法求得实数的最小值.
【详解】
依题意，且.所以，故在时单调递增.不妨设，则，且.故由得，即，构造函数，则在时单调递减.故在区间上恒成立，即在区间上恒成立.构造函数，，故在区间上递减，故，所以.故的最小值为.故选B.
【变式1-1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
【答案】-7
【分析】
由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.
【详解】
易知函数的图象关于点（﹣1，0）对称，
设函数图象上任意一点为，则它关于（-1,0）的对称点为，将其代入的解析式得：，即，于是函数关于点（-1,0）对称.又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.于是x=-2时，的极小值为，
而，x=0时，的极大值为，
而.现作出两个函数的大致图象，如图：
于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案为：-7.
【变式1-2】已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】构造，，则恒成立，则，
当时，，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，即，因为，所以
因为，所以，因为在在单调递减，所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
【变式1-3】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求函数的导函数，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，构造函数，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】求导，令，
由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：
（1）当时，，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
，即恒成立，符合题意；
（2）当时，，令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
，即恒成立，符合题意；
（3）当时，令，得或，
研究内的情况即可：
当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足
，且同理，且又，当时，；当时，，故不符合；
所以a的取值范围是故选：A
高考练场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数在区间内存在极值点，且恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
求导，由得可求出的范围，再考查与零的大小比较，在时，结合题意得出，以及当时，，解出实数的范围可得出答案．
【详解】
，则，由于函数在区间上存在极值点，令，得，
所以，，解得，由于，且不等式恰有一整数解．
①当时，即当时，，
当时，；当时，．
此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意；
②当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，；
③当时，即当时，当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
由题意可得，解得，此时，．
因此，实数的取值范围是，故选D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数，，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】先证明据，结合，求出，令，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可．
【详解】，即，①，，
②，又在，上单调递增，故由①②得，
故，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，
故，故答案为：．
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数，满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由已知可得，构造函数，通过导数研究单调性，得，结合对数的运算规则求的值.
【详解】由，得，由，有，可得.
令，，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，，当时，，
由，则有，所以，
因为，所以.故选：C
4.（2021·广东深圳·高三练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得，从而，，构造函数，有单调性得，再化简得，再构造函数，求得最大值即可.
【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，
设函数，，，所以函数在为增函数，
所以所以，设函数，，
所以函数在为增函数，在为减函数，所以，
所以的最大值为，故选：A.
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把给定恒成立的不等式变形，构造函数，利用导数探讨的最大值不超过0即可作答.
【详解】，，
令，则，而成立，
当时，，即在上递增，当时，
于是有当时，恒有，
当时，由得，有，有，即在上递减，
当时，，即成立，不符合题意，
综上：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得，
所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增；
所以，即在上存在使得，即有解，
即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.
故选：A.
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．
【详解】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根令
则，令解得代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为所以选B
8.（湖北省十堰市东风高级中学2021-2022学年高三数学试题）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据存在，，使得成立，只需，先利用导数法求得，再令，将求的最大值转化为在中的最大值，求导，然后分， 和 三种情况讨论求解.
【详解】因为存在，，使得成立，所以只需，
因为，当时，当时，，
所以在中单调递减，在中单调递增，所以，
令，则在中的最大值，也就是在中的最大值.
因为
（1）当时，，在中递减，且趋近于0时，趋近于，满足题意；
（2）当时，，，不合题意舍去；
（3）当时，由可得，可得，
∴在中单调递增，在中单调递减，∴，
∴只需，即，令，则.
由可知，，∴在中单调递减，在中单调递增，
又时，，∴的解为，即的解为.
综上所述，所求实数的取值范围是.故答案为：
9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，令，则的最小值属于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，把参数t表示成a的函数即，构造函数，通过导数研究函数最小值及最小值的取值范围.
【详解】设，则，，，
令，，易知单增，
且，，则存在，使，
即，，单减；，，单增；
又，
则，
易知在单减，即
故选：C
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知，当时，，；当时，，.由，得
.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.
【详解】当时，，；
当时，，，综上，对.
有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.令.
.令，，令.
时，；时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，.
函数的值域为，即的取值范围是.故选：.
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【详解】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【答案】C
【分析】等价于对于，恒成立，设，求出函数最大值，得到，设，求出函数的最小值即得解.
【详解】因为对于，恒成立，所以对于，恒成立，
设，所以.当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.所以.
所以.所以.设，所以，
当时，，函数单调递减.当时，，函数单调递增.
所以.所以的最小值为.
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是_______．
【答案】
【分析】构造函数，分情况讨论函数的单调性，并求最值.
【详解】设的最大值为，
令，则在上，当时，即时，单调递增，此时，
当时，，
当时，，从而当时，时，取最小值，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在时，，当时，，
在，时，，当时，，
对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，
，故的最大值为，故答案为：.
15.已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]，分类讨论即可﹒
【详解】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]﹒
(1)当x≤0时，，为满足题意，其图像应该如图：
∴a≥0；
(2)当x＞0时，
①a＝0时，f(x≥0恒成立，满足题意；
②a＞0时，恒成立恒成立(x＞0)，
令，则，
由得，，即时，单调递增，
由得，，即时，单调递减，
时，取得极大值，
时，，，
综上所述，故答案为：
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点，关于直线对称，则；
②若的图象关于直线对称，则；
③若，则的图象关于直线对称；
④若，则的图象关于点对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破口。
如变形得到，从而构造进行求解.
常见同构：
①；
②；
③
④；
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
如果函数在定义域的某个区间（）上的值域恰为（），则称函数为上的k倍域函数，称为函数的一个k倍域区间．
把函数存在区间，使得函数为上的倍域函数，结合函数的单调性，转化为是解答的关键.
一般地，已知函数，
若，，有，则的值域是值域的子集．
一般地，已知函数，
不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除，
令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数求
出相应函数的最值
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