2024年河北省石家庄市精英中学中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年河北省石家庄市精英中学中考一模数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损，的值为等内容，欢迎下载使用。

（满分120分 时间90分钟）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
第Ⅰ卷（选择题 共42分）
一、选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16每题2分，共42分）
1．计算，则“”为（ ）
A．3B．9C．D．2
2．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船度地飞行1分钟的路程约为（ ）
A．B．C．D．
3．嘉淇做一个数学游戏，给9，5，2添加运算符号使结果等于4，图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，嘉淇的得分为（ ）
A．25分B．50分C．75分D．100分
4．平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （ ）

A．1B．2C．7D．8
5．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在边长为1的正方形网格中，线段的长度在数轴上的（ ）

A．①段B．②段C．③段D．④段
8．一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，1B．－3，－1C．3，－1D．－3x2，－1
9．如图，内接于是的直径，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．无实数解
12．若点，，是抛物线上的三点，则（ ）
A．B．C．D．
13．代数式的值为．则为整数值的个数有（ ）
A．0个B．7个C．8个D．无数个
14．如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）．两次旋转的角度分别为（ ）

A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°
15．如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）

A．4B．5C．8D．0
16．某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（共3个小题，每空2分，共12分）
17．已知，则 ．
18．如图，等腰中，，，E是边上的点，将沿翻折得到，边交于点D．

（1） °；
（2）若，则 °．
19．如图①，数轴上点A对应的数为－1，线段垂直于数轴，线段的长为．

（1）将线段绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点为，则点在数轴上表示的数为 ；
（2）在（1）的条件下，连接，则线段的长度可能落在图②中的第 段（填序号）；
（3）若要使线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点与原点重合，则数轴的单位长度需扩大为原来的 倍．
三、解答题（共6个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．如图为一个运算程序，其结果为，

(1)当为4时，求的值；
(2)若为非负数，求的最小整数值．
21．嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：
(1)用嘉淇的方法证明4374能被3整除；
(2)设是一个四位数，a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”．
22．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M、P；
(2)将整式P因式分解；
(3)P的最小值为______．
23．新学期，学校综合实践课上，老师带领大家在“做中学”，课程内容如下：
邀请甲乙两名同学（看成点）分别在数轴和5的位置上，如图所示，另外再选两名实力相同的同学进行诗歌竞猜，规则如下：
①一人获胜，甲向右移动3个单位长度，乙向左移动1个单位长度：
②若平局，甲向右移动1单位长度，乙向左移动3单位长度：

(1)第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是 ；
(2)第二轮竟猜后，分别取甲、乙停留的数作为点的横坐标和纵坐标，请补全下面的树状图，并求出点（甲，乙）落在第二象限的概率．

24．在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴交于点P，矩形的顶点坐标分别为，，．
(1)若点在直线上，求k的值；
(2)若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式；
(3)若直线与矩形有交点（含边界），直接写出k的取值范围．
25．将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．

(1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标：
(2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，
①求证：；
②求的长．
(3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）．
26．某电子屏上下边缘距离为，点为左边缘点上一点，一光点从左边缘点出发在电子屏上沿图中虚线（直线方向）运动，到达下边缘停止，运动时间为，如图是光点运动过程中的某位置，与电子屏左边缘的水平方向的距离为，与成正比例，与电子屏上边缘竖直距离为，由两部分组成，一部分与成正比例，一部分保持不变，且、与满足表格中的数据．
(1)用的代数式表示与，并直接写出点在水平方向的运动速度，及在竖直方向的运动速度；
(2)与电子屏下边缘竖直距离为，求出与之间的关系式并通过计算说明不少于的时长是多少？
参考答案与解析
1．B
【分析】根据同底数幂除法计算法则求解即可．
【解答】解：∵，
∴
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查了同底数幂除法计算，正确理解题意是解题的关键．
2．A
【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可．
【解答】解：∵飞行速度约为每秒，
∴飞行1分钟的路程约为：，
故选：A．
【点拨】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键．
3．D
【分析】根据实数的运算法则分别求出四个算式的运算结果即可得到答案．
【解答】解：，计算结果正确；
，计算结果正确；
，计算结果正确；
，计算结果正确；
∴四个计算结果都正确，即得分为100分，
故选D．
【点拨】本题主要考查了实数的运用，正确计算是解题的关键．
4．B
【分析】如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答．
【解答】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，

在中，，即，
在中，，即，
所以
观察四个选项可知，只有选项B符合．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线、构造两个三角形是解题关键．
5．D
【分析】本题主要考查中心对称，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为．
【解答】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得
点关于原点的对称点的坐标是．
故选：D
6．C
【分析】根据题意将原式变形，然后利用同底数幂的除法计算即可．
【解答】解：根据题意得：
原式，
故选：C．
【点拨】题目主要考查乘方的定义及同底数幂除法的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断．
【解答】解：，
∵，
∴，
故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的③段，
故选：C．
8．B
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，
∴化为一般式为：-3x2+6x-1＝0
∴二次项系数和常数项分别为：-3，-1．
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
9．C
【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选C．
10．C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．先根据函数图象所在的象限判断出的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【解答】解：由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限，
∴，
又当时，有，
∴．
故选：C．
11．C
【分析】先移项，再提取公因式分解因式，最后求解方程．
【解答】解：原方程变形，得，
解得，；
故选：C
【点拨】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．熟知二次函数的性质是解题的关键．
【解答】解：
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，，是抛物线上的三点，
离对称轴的距离最远，在对称轴上，
，．
故选：．
13．B
【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数．
【解答】解：
，
∵代数式的值为，且F为整数，
∴为整数，且
∴的值为：，共7个，
∴对应的F值有7个，
故选：B．
【点拨】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键．
14．A
【分析】图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB．
【解答】根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角．
15．A
【分析】根据图形可得线段的中点在直尺处，再求出直尺中一厘米代表的单位长度个数，即可解答．
【解答】解：∵点A，B分别在直尺的，处，，
∴线段的中点在直尺处，
∵点A对应，直尺的0刻度位置对应，
∴直尺中一厘米是数轴上个单位长度．
∴点A与中点距离为个单位长度，
∵．
∴线段中点对应的数为4．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的定义，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求法，以及将线段平均分成两段的点是线段的中点．
16．B
【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解．
【解答】解：根据题意，设一次函数的解析式为，
由点在该函数图象上，得，解得．
所以，．可得点，．
由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数．
因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个．
故选：B．
17．或0##0或2
【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，利用立方根的含义解方程．把等式两边同时除以即可得出的值．
【解答】解：显然，当时，，
当时，
，
，即，
，
故答案为：或0．
18．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可；
（2）先根据折叠的性质求出，可得的度数，再利用三角形外角的性质求出，最后根据折叠的性质和周角的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴由折叠的性质得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质以及三角形外角的性质等知识，熟知三角形的内角和是，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19． ③
【解答】旋转后，=，
∴点A向正半轴移动个单位即可得到对应的数值，即.
根据勾股定理可知=＞1，并且1＜＜，
∴落在③内；
∵旋转后，==，
∴若与原点重合，那么数轴的单位长度扩大即可.
故答案为：（1）；（2）③；（3）
【点拨】本题考察了旋转的性质，实数与数轴，关键是运用了旋转的性质解决问题.
20．(1)；
(2)x的最小整数值为1．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（1）根据运算规则列不等式，解不等式即可求解；
【解答】（1）解：当为4时，
∴；
（2）解：由题意得，
解得，
∴x的最小整数值为1．
【点拨】本题考查程序流程图与有理数的运算、解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．
（1）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；
（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论．
【解答】（1）解：
∵为整数，6为整数，
∴能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除；
（2）证明：
，
∵能被3整除，
∴若“”能被3整除，则能被3整除．
22．(1)M=5x-20；P=4x2-16；
(2)4（x+2）（x-2）；
(3)-16；
【分析】（1）根据题意可得3x（x-3）+M=3x2-4x-20，移项化简可得M的值，再由3x2-4x-20+（x+2）2=P，可得P的值；
（2）算出P的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解；
（3）观察P式，可发现当x=0时取最小值；
【解答】（1）由题意可知，3x（x-3）+M=3x2-4x-20，
解得M=5x-20，
3x2-4x-20+（x+2）2=P，
∴P=4x2-16；
（2）由（1）可知，P=4x2-16=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）；
（3）∵P=4x2-16，
∴当x=0时，P有最小值为-16．
【点拨】本题考查多项式的加减、因式分解和最小值的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解的方法是解决本题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在4；若平均局，则甲停留在，乙停留在2；再根据概率公式求解即可；
（2）根据题干要求补全树状图，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．
【解答】（1）若一人获胜，则甲停留在，乙停留在4；若平均局，则甲停留在，乙停留在2；
所以第一轮竞猜后，乙的位置停留在2处的概率是；
故答案为：；
（2）补全树状图如下：

由树状图知，共有4种等可能结果，其中点（甲，乙）落在第二象限的有3种结果，
所以点（甲，乙）落在第二象限的概率为．
【点拨】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出点D的坐标，代入函数解析式即可求出k的值；
（2）求出矩形对称中心的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）求出过点A和点D时k的值即可求解．
【解答】（1）∵，，
∴点，
将点代入直线中，
，
解得：．
（2）∵矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分．
∴直线一定经过矩形的对称中心；
∵矩形顶点，，
∴其对称中心的坐标为，代入直线：中，
，
解得，
∴直线的函数表达式为．
（3）∵直线过定点，
∴当直线l与线段相交时，直线与矩形有交点（含边界）．
把代入，得
，
解得．
由（1）知当直线过点D时，，
∴当直线与矩形有交点（含边界）时，的取值范围是或．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键．
25．(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论．
（Ⅱ）如图②中，过点作于．首先证明，推出，求出，可得结论．
（Ⅲ）如图③中，当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论．
【解答】（1）解：如图①中，过点作于．

绕点顺时针旋转，
，
，，
，．
（2）解：①证明：如图②中，过点作于．

，
，
，，
；
②解：；
，
在中，，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．

过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
，
，
，，，
．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．(1)，，点P在水平方向运动的速度为，点P在竖直方向的运动速度为
(2)，h不少于的时长是不超过2秒
【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用，
（1）利用待定系数法求出，，然后再求点在水平方向运动的速度和点在竖直方向运动的速度；
（2）根据题意得：可得，当时代入求的取值范围即可．
【解答】（1）解：与成正比例，
设，
把，代入，得：，
，
由两部分组成，一部分与成正比例，一部分保持不变，
设，
把、与、代入，得：
，
解得：，
，
，
，
，
点在水平方向运动的速度：，
点在竖直方向的运动速度：，
所以答案为：，，
点在水平方向运动的速度为，点在竖直方向的运动速度为．
（2）根据题意得：，
，
，
，
，
，
，
当时，，
．
答：不少于的时长是不超过2秒．
①②③④
嘉淇的分析：
∵为整数，5为整数，
∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．
（秒
1
2
4
8
6
9