2024年河北省石家庄市新华区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年河北省石家庄市新华区中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回，化简的结果是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”、按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本大题共16个小题、共38分．1~6小题各3分．7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各图，表示“射线”的是（ ）
A．B．
C． D．
2．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．﹣5D．5
3．化简的结果是（ ）
A．B．4C．D．2
4．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是 （ ）
A．5mB．15mC．20mD．30m
5．2024年河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目包含①②③④共四项，由各市教育行政部门抽签决定．某市教育行政部门从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
8．如图，甲几何体由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙几何体，移动前后两几何体的三视图没有改变的是（ ）
A．只有主视图B．只有俯视图C．主视图和左视图D．左视图和俯视图
9．2024年第一季度甲工厂共生产个零件，乙工厂共生产个零件，求甲工厂比乙工厂多生产多少个零件，结果用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
11．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ）

A．20B．30C．D．
12．如图1，己知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A．嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C．琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧
D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
13．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，已知直尺宽为3，则中边上的高为（ ）

A．2B．3C．4D．6
14．现将颗糖果装入个糖盒中．若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果，则只有1颗糖果装不下，有下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．②④C．①③D．③④
15．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ）
A．B．C．D．
16．在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．
甲：无论取何值，都有．
乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ）
A．只有丙说得错B．只有乙说得错C．只有甲说得对D．甲、乙、丙说得都对
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，其中17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．计算： ．
18．如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与轴、轴平行，每个小正方形的边长为1．点的坐标为．
（1）点的坐标为 ．
（2）若双曲线与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数的值有 个．
19．如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．小明将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为，六边形的边长为．
（1）长为 ；
（2）为圆上一点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为．
(1)当时，求线段的长；
(2)若点与点关于原点对称，求点表示的数；
(3)若点在点的左侧，求的正整数值．
21．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．
(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______；
(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；
(3)随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值．
22．[发现]两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
[验证]______；
[证明]设两个正整数为，，请验证“发现”中的结论正确；
[拓展]已知，，求的值．
23．如图，二次函数的图象经过点和．

(1)求二次函数的表达式；
(2)已知为一直角三角形纸片，，，，直角边落在轴上，将纸片沿轴滑动，当点落在抛物线上时，求点的坐标．
24．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，带动点使磨盘绕点转动，，．
(1)当点、、三点共线的时候，的长为______；
(2)点由轨道最远处向滑动，使磨盘转动不超过的过程中：
①与相切于点，如图3，求的长；
②从①中相切的位置开始，点继续向点方向滑动至点，点随之逆时针运动至点，此时，求点运动的路径长（结果保留）．（参考数据：，，）
25．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．直线与轴，轴分别交于，两点，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为秒．某同学设计了一个动画：线段为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带会变成红色．

(1)求直线的解析式；
(2)①若直线随点向下平移，当时，蓝色光带是否变红？
②点是直线上的一点，若点向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点的横坐标的取值范围；
(3)当点，点与蓝色光带上的点三点共线时，直接写出与的函数关系式．
26．如图1和图2，四边形中，，，，，，点在边上，且．动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止，设动点运动的路径长为．
(1)如图1，①______；
②当时，求的值；
(2)如图2，当时，连接，，当时，求证：和全等；
(3)当时，作点关于的对称点，连接，设与所夹的锐角为，直接写出的值（用含的式子表示）．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，射线是指端点在点C上，据此即可作答．
【解答】解：依题意，
射线是指射线的端点在点C上，
故选：B
2．B
【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可．
【解答】数轴上表示数﹣的点到原点的距离是，
所以﹣的绝对值是，
故选B．
【点拨】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
错因分析 容易题．失分原因是绝对值和相反数的概念混淆．
3．B
【分析】本题考查了算术平方根的定义，正确熟练掌握基本知识是解决问题的关键．
表示a的正平方根，又叫算术平方根．
【解答】解：根据算术平方根的定义得：，
故选：B．
4．D
【分析】首先确定三角形的两边是16cm，12cm，再根据三角形三边关系确定AB的取值范围，判断即可．
【解答】根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
所以AB的距离不能是30m．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出AB的取值范围是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了概率．熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，是解决问题的关键．
根据共4种等可能结果，抽到①的可能只有1种，用1除以4，即得．
【解答】∵抽考项目包含①②③④共四项，
∴从四个项目中随机抽取一项，抽到项目①的概率为，．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
把除法转化成乘法再约分即可．
【解答】解：
故答案为：B．
7．A
【分析】根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【解答】解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点拨】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
8．D
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：图（1）的三视图为：
图（2）的三视图为：
由图可知：视图没有发生改变的是左视图和俯视图，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查科学记数法，牢记科学记数法中a的范围是解题的关键．
两数作差即可求出答案．
【解答】解：
（个）．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，连接，先证明，则，即可利用三角形外角的性质得到，由，可得，再由三角形外角的性质可得，即，由此即可打得到答案．
【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．

11．C
【分析】如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：如图1中，连接，，交点为，．

在图2中，∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在图1中，∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
根据两人作图的过程即可对选项作出判断．
【解答】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意；
琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：C．
13．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键，
于H，交DE于F，
根据已知条件得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
【解答】于H，交DE于F，

点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，
，，
，
，
，
直尺宽为3，
，
，
，
中边上的高为6，
故选：D
14．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据糖盒的个数不变或糖果的颗数不变，即可列出关或的一元一次方程，再对照四个选项，即可得出结论
【解答】解：若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果．则只有1颗糖果装不下，且共有颗糖果，
；
若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果．则只有1颗糖果装不下，且共有个糖盒，
．
正确的方程有③④．
故选：D．
15．B
【分析】设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1，当点在边上，点在边上时，根据勾股定理得到与之间的函数关系，判断出应该是开口向上的二次函数，排除选项C和D，进而判断出未出发时和到达第一个拐点时的值可得正确选项．本题考查动点问题的函数图象．根据动点的不同位置判断出特殊点的值及相关的函数解析式是解决本题的关键．
【解答】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1．
当点在边上，点在边上时，．
作于点，可得矩形和矩形．
，．
，．
两个机器人之间距离为．
．
，
函数图象为开口向上的二次函数．
故选项C和D不符合题意．
当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1．
；
当机器人分别到达点和点时，如图2．
；
此时函数的的值和未出发时的值相同，
故选：B．
16．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错．
【解答】解：抛物线开口向下，顶点为，
无论取何值，都有；故甲说得对；
将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，
点移动到点的最短路程为，故乙说得对；
，
当时，，
随着的增大而减小，
当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错．
故选：A．
17．3
【分析】计算乘方和负整数指数幂，最后再相乘即可．
【解答】原式．
故答案为3．
【点拨】本题考查实数的混合运算．掌握有理数的乘方的运算和负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键．
18． 4
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点．
（1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标．
（2）分别求出图中各个点的坐标，求出对应的符合题意的的值有2个，当双曲线经过E、F之后到经过点N的过程中，还有2个符合题意的k值．
【解答】（1）如图所示，
每个小正方形的边长为1，
，
点的坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
（2）由题意得：，∴当曲线经过点B时，代入解析式求得，经过点M、D时，求得；经过点A、C时，；经过点E、F时，；经过点N时，.
,
∴符合题意的正数k有6，2，
∵经过点E、F时，；经过点N时，，
∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数，
∴共有4个，
故答案为：4．
19． 7
【分析】本题考查正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点是解决问题的关键．
（1）根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系即可求出答案；
（2）当A、Q、D三点共线时，最小，此时，根据面积法即可求出．
【解答】（1）如图，连接、、，则，
六边形是正六边形，
，，
，
在 中，，，
，
故答案为：7．
（2）
连接，过O作的垂线，设圆的半径为R，
∵，
∴当A、Q、D三点共线时，最小，此时，
∵O为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
20．(1)；
(2)点表示的数为；
(3)的正整数值为，，．
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，一元一次不等式，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解题关键．
（1）根据，得到点表示的数和点表示的数，在利用两点间距离公式，即可解题；
（2）根据点与点关于原点对称，表示的数为相反数，列式即可解得．
（3）根据点在点的左侧，根据左侧的数小于右侧的数，列出不等式求解，即可解题．
【解答】（1）解：当时，点表示的数为，
点表示的数为，
；
（2）解：点与点关于原点对称，
，解得，
，
点表示的数为；
（3）解：若点在点的左侧，
，
解得，
的正整数值为，，．
21．(1)；；
(2)被调查同学阅读量的平均数为8.7本，中位数为本；
(3)的最大值为3．
【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答．
（1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后求出8本占总人数的百分比，最后乘以360即可求出答案；
（2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答；
（3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案．
【解答】（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：；
（2）解：由统计图可得平均数为本，
被调查同学阅读量的平均数为8.7本，
该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，
阅读量的中位数为（本）
（3）解：原来阅读量的众数为9本
，解得，
为正整数，
的最大值为3．
22．[验证]8；[证明]见解析；[拓展]4．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）利用完全平方公式可进行求解；
（3）根据完全平方公式可进行求解．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【解答】解：验证∶；
故答案为：8；
证明∶设两个正整数为，，
根据题意得：；
，为正整数，
一定是4的倍数，结论正确；
拓展∶，，且，
．
23．(1)；
(2)点的坐标为或．
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据题意可设，则，，可得，求出x的值，即可．
【解答】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，，
可设，则，，
点落在抛物线上，
，
解得，，
点的坐标为或．
24．(1)或
(2)①②
【分析】（1）分点Q在线段上和点Q在的延长线上两种情况，分别利用勾股定理求解即可；
（2）①连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；②连接、，过点作交于点．证明四边形是平行四边形，得到，解直角三角形得到，利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）解：如图：当点Q在线段上时，

在中，，
，
；
如图：当点Q在的延长线上时，

，
；
综上，的长为或，
故答案为：或；
（2）解：①如图1，连接，
与相切于点，
，

在中，
，
在中，；
②如图2，连接、，过点作交于点．

，，
四边形是平行四边形，
交于点
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查切线的性质及勾股定理，弧长的计算，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25．(1)直线的解析式为；
(2)①蓝色光带会变红，理由见解析；②的取值范围为；
(3)．
【分析】本题考查了一次函数平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求出一次函数解析式，
（2）①根据条件可得向上平移后得到的新直线，代入验证即可②找出平移后各点坐标即可求解；
（3）三点所在直线的解析式为，分别用点P、Q表示，即可得出
【解答】（1）设直线的解析式为，
直线过，，
，
解得：
直线的解析式为；
（2）蓝色光带会变红，理由如下∶
直线l的解析式为，
当时，，
点D的坐标为，
又 时，
点P运动到，
直线l平移，
设平移后的表达式为，
把代入表达式得，
此时直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
蓝色光带会变红；
②点是直线上的一点，
设，
，
当时，
向下平移4个单位长度后，
经过线段，
当向下平移4个单位长度后，此时刚好在线段上，
即，
，
点的横坐标的取值范围为；
（3），，三点共线，
，
设三点所在直线的解析式为，
，
解得：，
点P所在直线的解析式为，
把点Q代入得，
化简得：
26．(1)①4；②或；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】（1）①如图，过作于，证明四边形是矩形，求解，可得答案；②如图，由① 可得，重合，作的垂直平分线交于，交于，则，，以为原点，，为坐标轴建立坐标系如下：当时，利用勾股定理可得答案，当时，求解为，设，而，，利用勾股定理可得，进一步可得答案；
（2）证明，可得，可得：，从而可得结论；
（3）如图，当时，作点关于的对称点，连接，，过作于，结合轴对称的性质求解，从而可得答案；如图，当时，作点关于的对称点，连接，，过作于，过作于，求解，设,，利用勾股定理建立方程组求解，进一步可得答案；
【解答】（1）解：①如图，过作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，由① 可得，重合，作的垂直平分线交于，交于，则，，
以为原点，，为坐标轴建立坐标系如下：
当时，
∴，而，
∴，
则，
∴，
当时，
∵，，设为，
∴，解得：，
∴为，
设，而，，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴；
（2）如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图，当时，作点关于的对称点，连接，，过作于，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴，
如图，当时，
作点关于的对称点，连接，，过作于，过作于，
同理可得：四边形为矩形，
∴，,
∴，,
同理可得：，，
∴，
∴，
设,,
∴，
解得：，
∴，
∴
；
【点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.