2024年新高考数学一轮复习达标检测第07讲函数的奇偶性与周期性（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】结合基本初等函数的性质及奇偶性的定义即可判断．
【解答】解：根据幂函数的性质可知，为上的奇函数，符合题意；
为上偶函数，不符合题意；
的定义域不是，不符合题意；
不是奇函数，不符合题意．
故选：．
2．已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为
A．B．C．D．
【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：由于函数，存在常数，
为偶函数，
则：，
由于函数为偶函数，
故：，
所以：，
当时．
故选：．
3．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，
A．B．C．D．
【分析】先设时，则，然后根据已知函数解析式及奇函数的定义可求．
【解答】解：时，，
因为当时，，
所以，
故．
故选：．
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若对动于任意的，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】可去绝对值号，从而画出时的函数的图象，根据奇函数的对称性画出时的的图象，结合图象，根据恒成立，即可求出的范围．
【解答】解：时，；
根据是上的奇函数，画出图象如下：
任意的，；
；
解得；
实数的取值范围为．
故选：．
5．已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则
A．B．C．D．
【分析】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解．
【解答】解：因为函数的周期为4，当，时，，
；
；
；
故选：．
6．设函数，则
A．是偶函数，且在，单调递增
B．是奇函数，且在，单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
【分析】求出的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．
【解答】解：由，得．
又，
为奇函数；
由，
．
可得内层函数的图象如图，
在上单调递减，在，上单调递增，
则，上单调递减．
又对数式是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，在上单调递减．
故选：．
7．已知是定义在上的偶函数，且满足下列两个条件：
①对任意的，，，且，都有；
②，都有．
若，，，则，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：由①对任意的，，，且，都有可得在，上单调递增，
根据偶函数的对称性可知，在，上单调递减，
由②，都有可得函数的周期，
，（3），（4），
所以，
故．
故选：．
8．已知函数，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由已知函数解析式可判断的单调性及奇偶性，从而可求不等式．
【解答】解：因为，
由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，
当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增
再由，得，
即，解得．
故选：．
9．已知函数的定义域为，为偶函数，且对，满足，若（3），则不等式的解集为
A．，B．
C．，，D．，，
【分析】为上的偶函数，可得，即函数关于直线对称．对，满足，等价于，
，可得函数在时的单调性．由（3），可得不等式（3）．即可得出．
【解答】解：为上的偶函数，，函数关于直线对称．
对，满足，等价于，，即函数在时，函数单调递减．
若（3），则不等式（3）．
，解得：．
不等式的解集为．
故选：．
10．（多选）设是定义在上的偶函数，满足，且在，上是增函数，给出下列关于函数的判断正确的是
A．是周期为2的函数
B．的图象关于直线对称
C．在，上是增函数
D．．
【分析】由是定义在上的偶函数，满足，且在，上是增函数，可得，求出周期，因为，所以，可得是对称轴及在，上单调递减，因为，令可得可得，所以，故选出答案．
【解答】解：因为是定义在上的偶函数，满足，所以，而，
所以，即，所以可得函数的周期，所以正确，
因为，所以，所以对称轴，即关于对称，所以正确；
由函数为偶函数关于轴对称，又在，上是增函数，所以在，上单调递减，故不正确；
因为，令可得可得，所以，所以正确，
故选：．
11．已知是奇函数，当时，，则的值是 ．
【分析】由奇函数的定义可得，由已知可得（8），进而得到．
【解答】解：是奇函数，可得，
当时，，可得（8），
则（8），
故答案为：．
12．若函数为奇函数，则 ．
【分析】若0不在定义域内，即；若定义域内有0，则，代入即可求解．
【解答】解：因为为奇函数，
若0不在定义域内，即，此时符合题意，
若定义域内有0，根据奇函数的性质可知，
故，此时，
，满足题意．
故答案为：1或．
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，若（a），则实数的取值范围是 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得在，上为增函数，结合函数的奇偶性可得在上增函数，据此可得（a），解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，，易得在，上为增函数，
又由是定义在上的奇函数，则在，上为增函数，
则在上增函数，
若（a），则有，即，解可得：，即不等式的解集为；
故答案为：
14．设函数是以2为最小正周期的周期函数，且，时，，则 ．
【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数是以2为最小正周期的周期函数，
则，
又由，时，，则，
则，
故答案为：
15．函数是上的偶函数，且在，上是增函数，若（a）（3），则实数的取值范围是 ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为（3），结合单调性进行求解即可．
【解答】解：是偶函数，且在，上是增函数，
在，上是减函数，
则不等式（a）（3），等价为（3），
得，得或，
故答案为：或
16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为 ．
【分析】由已知结合奇函数的定义求出的解析式，然后结合的范围代入已知不等式即可求解．
【解答】解：因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以时，，
所以，
所以，
故，
，
①即时，，
解可得，，
此时，
②时，，
解可得，，
此时，
③当时，，
解可得，，
此时，
综上可得，．
故答案为：
17．（2020•青岛模拟）已知定义在的偶函数在，单调递减，，若，则取值范围 ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为偶函数在，单调递减，，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，且（1），
由，可得，
解可得，，
故答案为：，
18．已知函数，设，，，则，，的大小关系是 ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：，则，即为偶函数，
因为时，单调递增，
，，，
因为，
故
故答案为：
19．已知函数是定义在上的奇函数（其中是自然对数的底数）．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证即可得答案；
（2）根据题意，求出的导数，分析可得在上为增函数，据此可得原不等式等价于，变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则有，则；
当时，，为奇函数，符合题意，
故；
（2）根据题意，，其导数，则在上为增函数；
若，必有，即，
则有，变形可得，
解可得：，即的取值范围为，．
20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求当时函数的解析式；
（2）解不等式．
【分析】（1）根据题意，当时，，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案；
（2）根据题意，由函数的解析式可得在上为增函数，且（4），据此可得（4），解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，当时，，则，
又由为偶函数，则，
故当时，；
（2）根据题意，当时，，为增函数，且（4），
又由为偶函数，
则（4），
解可得：或，
则不等式的解集为或．
21．设，，函数，，．
（Ⅰ）若为偶函数，求的值；
（Ⅱ）当时，若，在，上均单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）设，，若对任意，，都有，求的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据偶函数的概念可知，即可得解；
（Ⅱ）若，结合，可得为一次函数，且在上单调递减，与题意不符，于是，
即函数为二次函数．再结合二次函数和绝对值函数的单调性可分别列出关于的不等式，解之，并取交集即可；
（Ⅲ）由题意可得原不等式等价于对任意的，，恒成立，且恒成立，再由二次函数的图象可得，的不等式组，解不等式可得，结合二次函数的单调性，可得所求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为为偶函数，
所以，
即，即对任意的实数恒成立，
所以．
（Ⅱ）若，则，由于，
所以在上单调递减，与题意不符，所以；
因为在，上单调递增，
所以，解得，
因为在，上单调递增，所以，
综上所述，的取值范围为．
（Ⅲ）对任意的，，恒成立等价于
对任意的，，恒成立，且恒成立，
即恒成立，且恒成立，
分别令函数，，
注意到，
故对任意的，，与恒成立的充要条件是
，即，也即，
由，，可得，因此，
从而，
即，当且仅当，时，等号成立，
所以的最大值为．
[B组]—强基必备
1．已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，，都有，则实数的取值范围为 ．
【分析】先求得（1）的值，由此求得的值，证得时周期为4的函数，将转化为，根据函数周期性和对称性，将原式转化为，结合的取值范围即可求得的取值范围．
【解答】解：因为．令，则（1），即（1），
由于时，．所以（1），解得，
即有当时，．
因为，
又因为为偶函数，所以，
再根据．，
则，
所以函数是周期为4的周期函数，
当，时，，，所以，
所以当，时，．
因为，所以，故，
所以当，时，，，所以．
作出函数的图象如图：
由，得，对于任意，成立
当时，，解得，所以，即对于任意，成立，
当，时，由得的最大值，由于在，单调递减，所以，
由得的最小值，由于在，单调递增，所以，
综上，的取值范围是，，
故答案为：，．
2．若，设其定义域上的区间，．
（1）判断该函数的奇偶性，并证明；
（2）当时，判断函数在区间，上的单调性，并证明；
（3）当时，若存在区间，，使函数在该区间上的值域为，，求实数的取值范围．
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）由（1）得，当时，在，为减函数，故若存在定义域，，使值域为，，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．
【解答】解：（1）因为，
由解得或，即的定义域为，，，关于原点对称．
又，
为奇函数．
（2）在，为增函数，
证明如下：的定义域为，，则，．
设，，，，，，
则，
，
，即，
因为，所以，即，
所以在，为增函数，
（3）由（1）得，当时，在，为减函数，
若存在定义域，，使值域为，，
则有，
，
，是方程在上的两个相异的根，
，即，
即在上的两个相异的根，
令，则在有2个零点，
，解得，
即当时，，