2024年新高考数学一轮复习达标检测第06讲函数的单调性与最值（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；
对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；
故选：．
2．函数的单调递减区间为
A．B．C．D．
【分析】结合绝对值的应用，以及函数单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
即函数的单调递减区间为，
故选：．
3．已知偶函数满足：对任意的，，，都有成立，则满足的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据偶函数的对称性及单调性即可直接求解．
【解答】解：偶函数满足：对任意的，，，都有成立，
故在，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在上单调递减，
由可得，
，
解可得．
故选：．
4．已知函数，是单调递增函数，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可．
【解答】解：由，，
可知在恒成立，
故即或，
根据分段函数的性质可知，，解可得，．
故选：．
5．设函数，则满足的的取值范围是
A．，B．C．D．
【分析】由已知结合分段函数的单调性进行分类讨论可求．
【解答】解：因为时，单调递减，
由可得，或，
解可得，或即．
故选：．
6．若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
【分析】先根据函数单调性的定义可判断出函数在上单调递增，再结合一次函数、指数函数的单调性，列出满足条件的关于的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：由题可知，函数在上单调递增，
解得，．
故选：．
7．已知函数，若的最小值与的最小值相等，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，，D．，，
【分析】首先这个函数的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．它的图象只能是函数上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要的最小值小于．
【解答】解：由于，．则当时，，
又函数的最小值与函数的最小值相等，
则函数必须要能够取到最小值，即，
得到或，
所以的取值范围为或．
故选：．
8．（多选）下列函数中，在区间上单调递增的是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是正比例函数，在区间上单调递增，符合题意；
对于，，是二次函数，在区间上单调递增，符合题意；
对于，，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意；
对于，，是指数函数，在区间上单调递减，不符合题意；
故选：．
9．（多选）已知函数，，则以下结论错误的是
A．任意的，且，都有
B．任意的，且，都有
C．有最小值，无最大值
D．有最小值，无最大值
【分析】由函数及函数的性质直接判断即可．
【解答】解：在上单调递增，无最值，故选项错误；
为偶函数，易知其在为减函数，在为增函数，且在处取得最小值，无最大值，故选项错误；
故选：．
10．（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得且，分析可得、的关系，据此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，
若函数在区间上单调递增，
必有且，
即且，
据此分析选项：、、符合；
故选：．
11．函数的单调递增区间为 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得的对称轴以及开口方向，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，，是开口向下的二次函数，其对称轴为，
故的单调递增区间为，；
故答案为：，．
12．函数的值域是 ，单调递增区间是 ．
【分析】根据题意，，求出函数定义域，设，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
设，必有，解可得，
必有，则，则有，即函数的值域为，；
又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间为，；
故答案为：，；，．
13．已知函数在上是减函数，且（2），则满足的实数的取值范围是 ．
【分析】根据（2）可以由得出（2），再根据在上是减函数即可得出，解出的范围即可．
【解答】解：（2），
由得，（2），且在上是减函数，
，解得，
满足的实数的取值范围是．
故答案为：．
14．已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是 ．
【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意可知要保证的最小值为（1），需满足，
即，
解得．
故答案为：，
15．已知函数，判断函数的单调性并加以证明．
【分析】利用函数单调性的定义，先设，然后通过作差法比较与的大小，即可判断
【解答】解：函数在，上是减函数．
证明如下：设，
，
，
，，，
即，
函数在，上是减函数．
16已知一次函数是上的增函数，且，．
（1）求；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）设，代入，可求出，；
（2）图象开口向上，故只需令位于对称轴右侧即可．
【解答】解：（1）设，
一次函数是上的增函数，
，
则，
，
解得，．
．
（2），
图象开口向上，对称轴为，
在上单调递增，
，
解得．
故的范围为，．
17．已知函数
（1）用函数单调性的定义证明在区间，上为增函数
（2）解不等式：（7）
【分析】（1）任取，，，且，通过作差比较与的大小，根据增函数的定义，只需说明即可；
（2）根据函数的单调性得到，求出不等式的解集即可．
【解答】（1）证明：任取，，，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在，上为增函数．
（2）解：，
结合（1）得在，递增，
所以，
解得：，
故不等式的解集是，．
18．设是定义在上的单调递增函数，满足，（2）．
（1）求（1）；
（2）解不等式．
【分析】（1）根据可令，，从而可求出（1）的值；
（2）根据条件可求出（4），从而由可得出（4），再根据是定义在上的单调递增函数可得出，解出的范围即可．
【解答】解：（1），
（1）（1）（1），
（1）；
（2），（2），
（4）（2）（2），，
由得，（4），且是定义在上的单调递增函数，
，解得，
故原不等式的解集是，．
19．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）令，若在，的最大值为5，求的值．
【分析】（Ⅰ）当时，分段求解，作出图象，即可求解单调递增区间；
（Ⅱ）令，利用换元法根据分段函数的性质即可求解最大值为5时的值．
【解答】解：（Ⅰ）当时，
当或，在，递增，
当时，在，递增，
所以函数的单调递增区间为，，，；
（Ⅱ）
可令，，，
则
当时，，则；
当，则
综上可知或
20．定义函数．
（1）如果的图象关于对称，求的值；
（2）若，，记的最大值为，当、变化时，求的最小值．
【分析】（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；
（2）利用放缩法求解函数最小值．
【解答】解：（1）的图象关于直线对称，则将的图象向左移动2个单位，得到函数，
为偶函数，
解得，
；
（2）对任意的，，，，
取得，
同理取得，，
由上述三式得：，，
，，
，，
因此，，（当且仅当时，取得最大值），此时，，
经验证，满足题意．
故当，时，取得最小值，且最小值为．
[B组]—强基必备
1．已知，则不等式的解集为
【分析】由已知函数解析式求出函数的单调性，然后结合单调性可求不等式的解集．
【解答】解：因为时，，
则，即此时函数单调递增，
又因为在时单调递增，且在端点0处，
因为，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，可得，
所以，
整理可得，，
解可得，或
此时或，
综上可得，不等式的解集为或．
故答案为：或．
2．已知实数，，则的最大值为 ．
【分析】构造新的不等式，引入参数，，然后令分子等于0，△，即，再令△，解得或或，进而求解；
【解答】解：
令分子等于0，△，即，
再令△，解得或或，
①，
当且仅当即时等号成立；
②，
当且仅当即时等号成立；
综上，最大值为，
故答案为：
3．已知函数．
（Ⅰ）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）记在，内的最大值为，最小值为，若有解，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）在区间上恒成立，化为大于最大值，设，利用函数的单调性求解即可．
（Ⅱ）推出，通过①当，②当，③当，求出不等式的最小值即可．
【解答】解 （Ⅰ）在区间上恒成立，
在上恒成立，，恒成立，即大于的最大值，
设，
由函数性质易得：在，上是单调递增函数，
，即，．
（Ⅱ）有解，
，
①当，即时，（1）（2）；
②当，即时，（2）（1），
③当，即时，
．与对应图象如图：
当时，最小值为，
．