2024年新高考数学一轮复习达标检测第08讲指数与指数函数（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】先计算系数，然后利用同底数幂的乘除运算求解．
【解答】解：
．
故选：．
2．若指数函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【分析】利用指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：指数函数在上为单调递增函数，
，，
故选：．
3.函数在区间，上的最小值是
A．B．C．D．2
【分析】利用函数的单调性，求出函数的最值．
【解答】解：函数在区间，上单调递减，，（1），
故函数在区间，上的最小值为，
故选：．
4．已知，且（1）（3），则实数的取值范围是
A．B．C．D．，，
【分析】由题意利用函数的单调性，求得实数的取值范围．
【解答】解：，且（1）（3），，
故选：．
5．已知，且，，，则关于函数，说法正确的是
A．函数，都单调递增
B．函数，都单调递减
C．函数，的图象关于轴对称
D．函数，的图象关于轴对称
【分析】根据题意，分析可得，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若，则，
则，
而，
故函数，的图象关于轴对称；
故选：．
6．如图所示，二次函数与指数函数的图象只可为
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．
【解答】解：根据指数函数可知，同号且不相等
则二次函数的对称轴可排除与，
又因为二次函数过坐标原点，正确．
故选：．
7．设，则
A．B．C．D．
【分析】根据指数函数是减函数，得，结合指数函数的单调性，得，最后根据幂函数是上的增函数，得，即得本题的答案．
【解答】解：，且
，因此，排除、两项
又函数是上的增函数
，可得
故选：．
8．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则和的关系为
A．B．C．D．
【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：根据题意得：
①，
②，
①②得，
，
所以，
即，
故选：．
9．若，则有
A．B．C．D．
【分析】根据题意，构造函数，由导数判断在定义域上是增函数，
得出，化为即可．
【解答】解：，
，
设函数，
则，
在定义域上是增函数；
又，
即，
，
即．
故选：．
10．（多选）若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是
A．B．C．D．
【分析】构造，，易知，是递增函数，结合函数的图象，得出结论．
【解答】解：由，
设，，易知，是递增函数，
画出，的图象如下：绿色，蓝色的分别是，的图象，
根据图象可知：当，1时，，
，（a）（b）可能成立；故正确；
当时，因为，所以（a）（b）可能成立，正确；
当时，显然成立，
当时，因为（a）（b），所以不可能成立，
故选：．
11．计算： ．
【分析】按照分数指数幂的运算法则算得即可．
【解答】解：．
故答案为：．
12．函数，的图象恒过定点，则点坐标为 ．
【分析】解析式中的指数，求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标．
【解答】解：由于函数经过定点，令，可得，求得，
故函数，则它的图象恒过定点的坐标为，
故答案为
13．关于的不等式的解集为 ．
【分析】由题意利用函数的单调性，根式的性质，可得，由此求得的范围．
【解答】解：关于的不等式，即，
求得，
故答案为：，．
14．已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的关系式有 ．
【分析】分别画出函数，的图象．根据实数，满足等式，即可判断出下列五个关系式中正确的结论．
【解答】解：分别画出函数，的图象．
根据实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中可能成立的关系式有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
15．已知函数是指数函数，如果（3）（1），那么（8） （4）（请在横线上填写“”，“”或“”
【分析】由（3）（1）可求，然后代入求值即可比较大小．
【解答】解：设且，
（3）（1），
，
，（8），（4），
（8）（4），
故答案为：
16．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④
上述结论中正确结论的序号是 ．
【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．
【解答】解：点在函数且图象上，
，解得：，
，
①，故①正确；
②，故②错误；
③，在递增，故，故③错误；
④
故④正确；
故答案为：①④．
17．计算下列各式（式中字母均是正数）．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）原式；
（Ⅱ）原式．
18．已知函数在区间，上的最大值比最小值大2，求实数的值．
【分析】对于指数函数时，函数在区间，上是增函数，求出最值，作差求出即可．
【解答】解：当时，函数在区间，上是增函数，
（1），（2），
由题意知，解得，（舍弃），
故的值为：2．
19．设函数．
（Ⅰ）当时，判断函数在区间内的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅱ）记，若在区间上有意义，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当时，函数在区间内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（Ⅱ）由于在区间上有意义，则，即在上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，函数在区间内为单调增函数．
设，则
．
由于，则，
又，则，
则，
即有，即，
则函数在区间内为单调增函数；
（Ⅱ）由于在区间上有意义，
则，即在上恒成立，
即在上恒成立，
由于，
则有．
20．已知函数且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数有零点，求实数的取值范围．
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由函数的解析式以及，求得的值．
（Ⅱ）由题意可得，函数的图象和直线有交点，故有，求得的范围．
（Ⅲ）由题意可得当时，恒成立．令，则，且．利用单调性求得，从而可得的范围．
【解答】解：（Ⅰ）对于函数，由，
求得，故．
（Ⅱ）若函数有零点，
则函数的图象和直线有交点，，求得．
（Ⅲ）当时，恒成立，即恒成立．
令，则，且．
由于在上单调递减，，．
21．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为为浓度单位，一个表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度与排气时间（分钟）存在函数关系，为常数）．
（1）求，的值
（2）若空气中一氧化碳浓度不高于为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
【分析】（1）利用待定系数法，解得即可．
（2）由题意，构造不等式，解得即可．
【解答】解：（1）函数，为常数）经过点，，
解得，，
（2）由（1）得，
，
解得．
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
[B组]—强基必备
1．设函数，，为非零实数），且（a），（b），若且，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据（a），（b）得到，的关系，即可得到的最小值．
【解答】解：由（a），（b），得，
两式相减，得，
所以，
若，则（a），（b）成立时，，与且矛盾，不符合条件，
当时，，
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取得最小值．
故选：．
2．已知函数
（1）试求函数，，的最大值；
（2）若存在，使成立，试求的取值范围；
（3）当，且，时，不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）把代入到中化简得到的解析式求出的最大值即可；
（2）可设，存在使得，讨论求出解集，让大于其最小，小于其最大即可得到的取值范围；
（3）不等式恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于的不等式，求出解集即可．
【解答】解：（1），，，令，，
即有，
当时，有最大值为1；
当时，对称轴为，讨论对称轴和区间的关系，
若，即，（1）；
若，即，；
若，即，（1）．
综上可得，．
（2）令，则存在使得
所以存在使得，或．
即存在使得，，或；
（3）由得恒成立
因为，且，，所以问题即为恒成立，．
设令，．
所以，当时，，．