2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题36数列的概念与表示（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题36数列的概念与表示（学生版），共7页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【考点预测】
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
【常用结论】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【方法技巧】
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))转化为关于an的关系式，再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
3.形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
4.形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通项.
5.形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
6.形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7.解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
8.求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项.
二、【题型归类】
【题型一】由an与Sn的关系求通项
【典例1】(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是( )
A.an＝eq \f(1,n（n－1）)
B.an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))
C.Sn＝－eq \f(1,n)
D.数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是等差数列
【典例2】已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
【典例3】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
①求a1的值；
②求数列{an}的通项公式.
【题型二】累加法
【典例1】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，则an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【典例2】在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.
【题型三】累乘法
【典例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝______.
【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.
【题型四】数列的单调性
【典例1】已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【典例2】等差数列{an}的公差d＜0，且aeq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,11)，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
【题型五】数列的周期性
【典例1】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，则a2 022的值为( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
【典例2】已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，则a2 020的值为( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
三、【培优训练】
【训练一】已知各项均为正数的数列{an}满足an＋1－an＝2n，a1＝13，则eq \f(an,n)取最小值时，n＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【训练二】(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有( )
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 023＝1 D．a2 023＝1
【训练三】设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋eq \f(1,2n)，则S1＋S3＋S5等于( )
A．0 B.eq \f(17,64) C.eq \f(5,64) D.eq \f(21,64)
【训练四】意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为( )
A．672 B．673
C．1 347 D．2 020
【训练五】若数列{an}满足：对于任意正整数n，{an＋1－an}为单调递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝eq \r(n) D．an＝lneq \f(n,n＋1)
【训练六】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 数列3，6，12，21，x，48，…中的x＝( )
A．29 B．33
C．34 D．28
2. 已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，那么a5＝( )
A.eq \f(1,32) B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
3. 在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4. 已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－aeq \\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．6
5. 数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝( )
A．eq \f(99,98) B．2
C．eq \f(99,50) D．eq \f(99,100)
6. 已知数列{an}满足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1
C．8 D．9
7. 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为( )
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
【多选题】
9. 下列四个命题中，正确的有( )
A．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k)
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n＋1)，n∈N*，则数列{an}是递增数列
10. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝eq \r(n) D．an＝lneq \f(n,n＋1)
11. 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A．这个数列的第10项为eq \f(27,31)
B.eq \f(97,100)是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))内
D．数列{an}是单调递减数列
12. 对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－eq \f(1,an)(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是( )
A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列
B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值
C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值
D．若an＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，则其“倒差数列”有最大值
【填空题】
13. 已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
14. 已知数列{an}的通项公式an＝eq \f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________.
15. 设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
16. 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(9n（n＋1）,10n)，则数列中的最大项为________.
【解答题】
17. 已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
18. 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝4.
19. 已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.
21. 已知数列{an}中，an＝1＋eq \f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
22. 已知数列{an}中，an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列