新高考数学之函数专项重点突破 专题10 函数的单调性和奇偶性综合

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题10 函数的单调性和奇偶性综合
1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】在单调递增，A错误；为奇函数，B错误；为偶函数，且在上单调递减，，故符合题意，C正确；为偶函数，当时，为对勾函数，在单调递减，在上单调递增，故不合题意，D错误.故选：C
2．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，
，.故选：B
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上递增，.画出的大致图象如下图所示，
由图可知，不等式的解集为.故选：A
4．设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【解析】当时，得出，因为在上是减函数，所以；
当时，得出，因为在上是减函数，所以
即的解集是或，故选：D
5．若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】的定义域为,因为，
所以是奇函数， 所以不等式可化为，
因为在上均为增函数，所以在上为增函数，
所以，解得，故选：A.
6．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则当时，有（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对任意的，，
所以函数在上为增函数，
又因为函数在R上的偶函数，所以函数在上为减函数，且，
因为，所以.所以.故选：A
7．已知函数，若实数a满足，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【解析】的定义域为，且，所以是偶函数.
当时，，和在上递增，所以在上递增，而是偶函数，故在上递减.
依题意，即，
即，所以，
所以的取值范围是，故选：D
8．已知偶函数在上是增函数，若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题得，
因为函数在上是增函数，且，所以.故选：B
9．已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】依题意：函数的图象关于对称，则，
且在上单调递增，故 ，所以，故选：A.
10．已知奇函数在上单调递增，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由已知可得，，
由可得，
因为奇函数在上单调递增，则，
所以，，解得.故选：A.
11．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为且，有，
所以函数在上单调递增，由为偶函数，得函数在上单调递减，
因为，，
所以，即.故选：A
12．定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，等价于，即，
因为是定义在上的奇函数，
所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为，故选：D
13．已知对于任意的，都有成立，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以关于对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，所以，即，所以，
即，解得，故选：C.
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．(，1)B．(－∞，1)C．D．
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴为定义在上的偶函数，
又∵，∴在上递减，则在上递增，
即，
则解得：．故选：D．
15．已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】对于任意，不等式恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
所以在上单调递减，因为函数是定义在上的偶函数，
所以在上单调递增，且，则，解得，故选：B
16．若在定义域内的任意都满足，则称为奇函数，可知奇函数的图象关于原点中心对称；若在定义域内的任意都满足，则称为偶函数，可知偶函数的图象关于轴对称. 知道了这些知识现在我们来研究如下问题：已知函数，是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，即，
若对于任意，都有，变形可得，
令，则在上单调递增；所以，
若，则在上单调递增，满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在上单调递增，只需或，解得或，
综上，．即的取值范围为：，．故选：C．
17．已知函数，则关于不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
设，，，则，
故函数的定义域为，且，
所以，，则函数为上的奇函数，
当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
令，则函数在上为增函数，
且，即函数为奇函数，
由可得，即，
所以，，解得.
因此，不等式的解集为.故选：C.
18．已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，，
由于，故 为奇函数，
当时， 递增，故递增，
故当时， 递增，
而 ，故函数在上单调递增，
且时，，时，，
故对于，当 时，即为，
即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；
当时，不等式即，
由于，故不成立,
说明不是不等式的解，故A错误,
故选：D
19．已知定义在上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】构造函数，则该函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数，
当时，，所以，函数在上为减函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，，，
且，所以，.故选：C.
20．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函数，
又在上单调递增，则在上单调递减，
，
即，因此，，平方整理得：，解得，
所以原不等式的解集是.故选：B
21．(多选)已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题，是定义在上的奇函数，故，
又，所以，故A成立；
又函数是定义在上的减函数，且，
所以，故，故B不一定成立；
，
因为，故，故，故C成立，D不成立；
故选：AC
22．是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有；当时，，且，则函数在上的最大值为__________．
【解析】是定义在R上的奇函数，
设，则，
因为，所以，所以，即函数在R上单调递减，
函数在上也单调递减，
因为，所以，，
所以函数的最小值为，函数的最大值为．
23．若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为______．
【解析】，得，即
时，，在上单调递减，又为奇函数，
故在上单调递减 ，，由为奇函数可化为，
得，解得
24．已知函数，，若，则实数的取值范围是______.
【解析】，由，得是定义域上的奇函数，
函数在上单调递增，，在上单调递增，
因此，函数在上单调递增，则，
等价于，解得，所以实数的取值范围是.
25．若函数，则不等式的解集为______．
【解析】∵且定义域为R，
∴为偶函数，则，
由，即，又，
令，，由，单增，，单增，
故在上单调递增，又在上单调递减，由函数单调性的加减法则，
所以时单调递减，
所以，得：，即或，解得或．
故答案为：．
26．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意m，都有，且.若，则实数a的取值范围是______.
【解析】对任意m，都有,
可知在是单调递增函数，
由可得：，
又根据函数是定义在R上的偶函数，即有，即，
所以，即或，解得或，故答案为：
27．已知，若恒成立，则实数的取值范围___．
【解析】因为，所以是上的奇函数，
，，
所以是上的增函数，
等价于，
所以，所以，
令，则，因为且定义域为，
所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.
当时，，，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，即.故答案为：.
28．已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________.
【解析】中，取得，取得，
取，，得，所以是偶函数，
设，则，，所以，
所以在上是减函数，
设，是偶函数，且在上是减函数，
，，
所以，
且，所以m的取值范围是.
29．已知函数为上的偶函数，当时，．
(1)求时，的解析式；
(2)写出函数的单调增区间；
(3)若，求的取值范围．
【解析】(1)由题意，函数为上的偶函数，当时，
设，则，可得，
即当时，函数的解析式为.
(2)当时，，
因为和都是增函数，可得在上为增函数，
又因为函数为上的偶函数，所以函数在区间上为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
(3)由函数为上的偶函数，
且函数在区间为上单调递增，在区间单调递减，
则不等式，即为，解得，
即不等式的解集为.
30．已知函数为R上的奇函数．
(1)求的值，并用定义证明函数的单调性；
(2)求不等式的解集；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为为奇函数，
所以，得，
所以，下面用定义法证明单调性：
，且，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递增.
(2)由（1）知在R上单调递增，且为奇函数，
故不等式
即，整理得，即，
解得，故不等式解集为
(3)因为在R上单调递增，所以在区间上，，
，故
当时，，不存在符合题意的；
当时，在区间上为增函数，
要使对任意的，总存在，使得成立
则需，即，解得，即
31．设（为实常数）.
(1)当时，证明：不是奇函数；
(2)设是奇函数，求与的值；
(3)在（2）的条件下，当时，若实数满足，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，，，
所以不是奇函数.
(2)若为奇函数，则，即，，
，
，
恒成立，
所以或.
(3)由于，由（2）得，所以，
所以是定义在上的奇函数，且在上递减，
，即，
即，所以.所以的取值范围是.
32．已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.
(1)若成立，求x的取值范围；
(2)求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；
(3)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【解析】(1)由，
得，
则.解得，
所以x的取值范围是，.
(2)当时，；则；
当时，，则.
所以
因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以
所以的单调递减区间是，，递增区间是.
(3)因为，所以
由，得或或.
由的图象知，恒成立或，
即或.
即或恒成立
因为，则不恒成立.
因为，，
则恒成立，所以t的取值范围是.