新高考数学之函数专项重点突破 专题07 函数的奇偶性

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专题07 函数的奇偶性
专项突破一 奇偶性的判断或证明
1．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】对于A，，，，故为非奇非偶函数，
对于B，，定义域为，，为偶函数，
对于C，，为偶函数，
对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．
故选：D
2．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是奇函数C．是偶函数D．是偶函数
【解析】对于A，，
且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，
对于B，，
且，所以的定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，故B正确，
对于C，，且，
的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，
对于D，，
且，所以的定义域关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，故D错误，
故选：B
3．下列函数中，既是偶函数，又在内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由于，，的定义域是，，
所以选项AD的函数是偶函数，选项BC的函数不是偶函数，排除BC，
上是增函数，是减函数，故选：D．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1)（1）∵函数的定义域是，关于坐标原点不对称
∴既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称．
又，∴为偶函数．
(3)∵函数的定义域为，关于坐标原点对称，
∴既是奇函数也是偶函数．
(4)的定义域为．
∵
∴，∴为奇函数．
5．函数.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)解不等式.
【解析】(1)，任取，令，
则，
∵则，可得，
∴即，∴函数在上递增．
(2)的定义域为，
∵即，
∴为定义在上的奇函数．
(3)即，∵函数在上递增，
∴即或．
6．已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【解析】(1)因为函数对一切实数都有成立，，
所以当时，即，
令可得，所以，即
(2)令可得，所以，
所以，即，，
所以函数是奇函数.
7．已知函数满足．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【解析】(1)因为，令，则，所以；
(2)因为，令，则，又，
所以，即；
(3)因为且，所以，，，，，，所以，；
8．设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
【解析】(1)证明：因为函数对任意，都有，
所以令，则，得，令，则有，
所以，即，所以为奇函数
(2)证明：设，则，而时，有，则
，
所以，所以为减函数
(3)因为为奇函数，，所以，
所以，所以，
所以不等式可转化为，
因为为减函数，所以，即，解得，
所以不等式的解集为
专项突破二 利用奇偶性求函数值或解析式
1．已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（ ）
A．27B．－27C．54D．－54
【解析】由已知可得，，
因此，．故选:A．
2．设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【解析】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
3．已知函数为偶函数，则（ ）
A．2B．C．D．
【解析】函数为偶函数，当时，，，，
即，又，故故选：A.
4．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【解析】 是在R上的奇函数， ，带入 得 ，
即 ， ， ，
， 关于直线对称，
即原点 是 的对称点，x=1是对称轴，
故函数 是周期为 的周期函数，
，故选：A.
5．已知是R上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A．2020B．C．4045D．
【解析】因为是R上的奇函数，所以，
所以，得，所以当时，，
所以.故选：D
6．函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【解析】∵关于对称，∴关于对称，即是奇函数，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函数的周期是4．∴．故选：B.
7．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为___________.
【解析】由题意得：，即①，②，
②-①得：，解得：.
8．设函数，若，则_____________．
【解析】函数的定义域为，令，
则，即，所以为奇函数；
因为，所以，则，
所以.
9．若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝，则函数f(x)的解析式为________．
【解析】∵f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝＝0，∴b＝0.
即f(x)＝，又，∴.∴a＝1，∴函数f(x)＝.，经检验符合题意.
10．已知，且，则______.
【解析】，故，
所以
11．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)当时，求的解析式；
(2)若，求的值．
【解析】(1)（1）当时，，所以，
又是偶函数，∴，∴，
所以当时，；
(2)当时，
当时，，即，解得（舍去），
当时，，∴. （舍去），
综上，或.
12．若奇函数在定义域上是减函数，若时，，
(1)求的解析式；
(2)求满足的实数m的取值范围
【解析】(1)因为是定义域上的奇函数，
所以对于任意，则，且.设，则，
由已知得，而满足上式，
所以.
(2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数，
所以，即，
所以有，所以m的取值范围为.
专项突破三 由奇偶性解不等式
1．已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．（－1，2）
C．D．
【解析】的定义域是，,故是偶函数，
又，
令，当且仅当时取等号，
在单调递增，而，
时，，递减，时，，递增，
故由得，
解得，即不等式的解集为，故选：．
2．设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】即时，，，即，可得，
当时，，，
因此即时，，，所以，
综上，不等式的解集为或．故选：C．
3．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】当时，，所以，因为，所以，
即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，
所以函数在上单调递减．则不等式，
即等价于，解得或．故选：D．
4．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】为奇函数，，又，，
则可化为：，
在单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：C.
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，
所以，函数在上是增函数，所以，即有，
所以或，解得或．故选：D．
6．设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】函数为奇函数，，函数在上是增函数，
函数在上是增函数，对于，需，解得，
或，解得，的范围是．故选：C．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意，函数，
根据二次函数的性质，作出函数的图象，如图所示，
结合图象，可知函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以，即，
当时，不等式，即为，解得；
当时，不等式，即为，解得，
综上可得，实数的取值范围是.故选：C.
8．若函数是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】：在上是减函数且，
当时，，当时，．又是奇函数，
由函数图象的对称性知：当时，，当时，．
不等式，等价于或，
或，即不等式的解集为．故选：C．
9．已知函数，则的解集为____________.
【解析】由题意知，定义域为R，，故为奇函数，又，故为增函数，
由可得，即，解得.故答案为：.
10．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，
所以函数在上为奇函数，且在上单调递增，又，所以，
又不等式等价于，所以，解得，
所以不等式的解集为.
11．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．
【解析】，
∴在上是增函数，且为偶函数，
由，
∴，解得，∴解集为
12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)求不等式的解集.
【解析】(1)当时，，.
所以函数在上的解析式为.
(2)当时，为增函数，所以在上为增函数.
由得，
所以，所以，
所以不等式的解集为.
专项突破四 利用奇偶性求参
1．若函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解析】由为奇函数，所以，
所以，可得，解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，故选：D
2．已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2
【解析】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
所以，，所以，得，故选：A
3．若函数为偶函数，则实数（ ）
A．B．3C．D．9
【解析】由题意，函数为偶函数，
因为函数为奇函数，所以为奇函数，
由，可得，解得.故选：D.
4．若函数为偶函数，设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【解析】函数为偶函数，恒成立，
恒成立，即，在单调递增，
所以，
，
所以.故选：D
5．已知函数为偶函数，则______．
【解析】由题设，，所以.
6．函数是偶函数，且它的值域为，则__________．
【解析】为偶函数，
所以，即或，
当时，值域不符合，所以不成立；
当时，，若值域为，则，所以.
7．若函数在上为奇函数，则___________.
【解析】因为函数在上为奇函数，所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
8．已知是奇函数，且当时，.若，则______.
【解析】由题设知：，
又是奇函数，所以，可得.
9．已知函数是偶函数，则实数的值为______．
【解析】由题意知：定义域为R，函数是偶函数，
则，即，化简得，解得.
10．已知函数为R上的偶函数，则实数___________.
【解析】由偶函数得，
即对恒成立
整理得，故
11．已知函数是定义域在R上的奇函数，且.
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式：.
【解析】(1)因为是定义域在R上的奇函数，故可得，即；
又，故可得，即；解得.
(2)由（1）知，下证是上的单调增函数.
令，故可得 ，
因为是上的单调增函数，故可得，又，
故，则，即证为上的单调增函数，又为奇函数，
故，即，
，
也即，又为上的单调减函数，
故可得，解得.故不等式的解集为：.
12．已知定义在上的函数为奇函数，．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域；
(3)若对任意的，不等式有解，求实数的取值范围.
【解析】(1)是定义在上的奇函数，，即，解得：；
当时，，则，即是在上的奇函数,
所以a =1;
(2)由（1）可得：，
，，，，，的值域为，；
(3)设，则，
，，则，即，
函数在上是减函数，由，
即，因为在上是减函数，
所以，对任意的，有解，
即，，有解，
由，，则，所以，所以，
故得实数的取值范围．
13．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）是偶函数，， ，
.此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的
实数解，等价于方程有唯一实数解，且，
令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，
当，即时，则不合题意舍去；
当，即时，①若，即或，
当时，代入方程得，不合题意；当时，得，符合题意；
②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是