专题07 椭圆中的向量问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A．B．2C．D．3
4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆：的左､右焦点分别为､，点与椭圆的焦点不重合，分别延长､到､.使，.是椭圆上一点，延长到，使得，则（ ）
A．3B．5C．6D．10
6．已知椭圆为椭圆的左．右焦点，是椭圆上任一点，若的取值范围为，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当时，的周长为
B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合）
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8B．面积的最大值为
C．的取值范围为D．的取值范围为
11．一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（ ）
A．，，，四点共线B．
C．动点的轨迹方程为D．既有最小值又有最大值
12．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点，则
B．若，则直线AB方程为
C．若，则直线AB方程为
D．若动点满足，则点的轨迹方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 .
14．已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足，则的最小值为 ．
15．已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为 ．
16．已知椭圆，在椭圆上存在两点，，点在直线上，点，满足，，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
18．己知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
19．已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．
20．已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
21．在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足：.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值.
22．已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．斜率为的直线交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数，使得为定值？若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．