最新高考数学解题方法模板50讲 专题22 等差等比数列性质的巧用

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题22 等差等比数列性质的巧用
【高考地位】
从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.
类型一 由等差或等比数列的性质求值
例1 在等差数列中则的最大值等于
A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
【答案】C
【解析】第一步,观察已知条件和所求未知量的结构特征:
因为在等差数列中
第二步，选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系：
所以，
第三步，整理化简，求得代数式的值：
所以，
所以利用均值不等式可知最大值为9，选C.
考点：数列，基本不等式．
例2 已知等比数列满足：，则___________.
【来源】江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考数学（理）试题
【答案】
【分析】
由等比数列的性质计算．
【详解】
因为是等比数列，所以，所以，，，，
所以．
故答案为：．
【变式演练1】【2020届北京市东城区高三一模线上统练】数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）
A．B．
C．D．与大小不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和等比数列性质可求得，结合等差数列性质可求得结果.
【详解】
由等差数列性质知：；由等比数列性质知：，
，（当且仅当时取等号），
又，，，
，，即.
故选：.
【变式演练2】【云南省红河州2020届高三高考数学（理科）一模】数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（ ）
A．1或3B．0或2C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值.
【详解】
设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，
即，解得或2，
所以或，所以或3，
故选：A
【变式演练3】【2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）】已知等差数列中，，，数列满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式求出，从而求出，再利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由题意，解得，
所以，
所以，
则.
故答案为：
【变式演练4】【江苏省南通市2020届高三下学期5月联考】已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的值是__.
【答案】16.
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.
【详解】
解：等比数列的各项均为正数，设公比为，，
由，，成等差数列，可得，
即有，即，解得舍去），
则.
故答案为：16.
类型二 有关等差或等比数列前项和性质的问题
例3. 已知等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A. －510 B. 400 C. 400或－510 D. 30或40
【答案】B
【解析】第一步，观察已知条件中前项和的信息：
因为等比数列的前项和为，所以也成比差数列，
第二步，选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系：
所以，解得：，
因为，所以
第三步，整理化简，得出结论：
所以所以
【变式演练4】【宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试数学（文）】为等差数列的前项和，若，则（ ）.
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得选项.
【详解】
因为，所以，
故选：B.
【变式演练5】【江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测】设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（ ）
A．8B．C．17D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，转化求解即可．
【详解】
由题知，且，
所以，
所以，所以.
故选：B．
【变式演练6】【2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得设，，根据，即可选出正确答案.
【详解】
根据等差数列的性质可得，
所以可设，.
则，，所以.
故选:D.
类型三 数列的最值问题
例4 已知等差数列的前项和为，，，如果当时，最小，那么的值为（ ）
A．10 B．9 C．5 D．4
【答案】C
【解析】第一步，观察已知条件，选择合适的求解方法：
依题意有，解得，
第二步，根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列出相对应的不等式（组）：
令，所以，
第三步，整理化简，得出结论，注意是正整数：
所以前项是负数，前项的和最小．
考点：等差数列的基本性质．
【变式演练7】【河南省部分重点高中2019-2020学年度高三高考适应性考试】已知Sn为数列{an}的前n项和，，an，6Sn成等差数列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质列方程，然后利用求得的通项公式，由此判断出是等比数列，进而求得的表达式，从而求得的取值范围.
【详解】
因为，an，6Sn成等差数列，
所以 ①
当时，，解得，
当时， ②
由①-②得，
可得，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，数列为单调递减数列，
所以，
所以
故选：C
【变式演练8】【贵州省贵阳为明教育集团2021届高三第一次调研】已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A．16B．64C．128D．256
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出，观察等比数列的各项的值及其规律，从而可求出前项之积的最大值.
【详解】
由，，得，解得，
所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.
故选：B.
【变式演练9】【陕西省西安市西北工业大学附属中学2020届高三下学期高考猜题卷（三）】已知是等差数列的前n项和，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件求出首项和公差，即可求出通项公式和前项和，再根据数列的单调性可求出的最小值.
【详解】
设等差数列的公差为，
，解得，
，，
，
令，且，
，
恒成立，，
在和上单调递增，
由此可以判断数列在时为递增数列，此时的最小值为，在时为递增数列，此时的最小值为，综上，所以的最小值为．
故答案为：．
【高考再现】
1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11.
故选：C.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数10】设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【思路导引】根据已知条件求得的值，再由可求得结果．
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列及其性质，考查等比数列基本量的计算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用等比数列的性质．
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记为等比数列的前项和．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可．
【解析】设等比数列的公比为，由可得：，
∴，因此，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数4】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．块 B．块 C．块 D．块
【答案】C【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到．
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式的基本量计算，考查了等差数列前项和公式的应用，考查数学文化，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．
6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数6】数列中，，，若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值．
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．故选：C．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用有关公式解决问题．
7．【2020年高考浙江卷7】已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的性质应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．
8．【2020年高考北京卷8】在等差数列{}中，，，记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．
9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数14】记为等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】
【思路导引】∵是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案．
【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．
根据等差数列前项和公式：，可得：，．故答案为：．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前项和公式，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前项和公式．
10．【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．
【答案】
【解析】∵的前项和，
当时，；
当时，，∴，从而有．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．
11．【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由条件可知，．
故答案为： ．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记等差数列的通项公式．
12．【2018年浙江卷】已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则
A． a1a4
【答案】B
【解析】分析:先证不等式x≥lnx+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
详解：令f(x)=x−lnx−1,则f'(x)=1−1x，令f'(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f'(x)>0，当0