2024年辽宁省鞍山市台安县部分学校中考模拟(一模)数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ）
A. 与对手打成平局B. 输给对手C. 打赢了对手D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据正负数的概念即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，
∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数概念，解题的关键是理解正数和负数的意义．
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看的图为主视图进行判断即可．
【详解】解：几何体的主视图有三列，左边一列有一层，中间一列有2层，右边一列有1层，
因此看到的主视图为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图，解题的关键是熟练掌握主视图为从正面看到的图形，俯视图为从上面看到的图形，左视图为从左面看到的图形．
3. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断．
【详解】A、是轴对称图形，不合题意；
B、是中心对称图形，不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是分别确定轴对称和对称中心．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键．
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】由题意可知该方程，
∴，
∴该方程没有实数根．
故选C．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的判别式判断其根的情况．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
6. 分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程的解法解题即可.
详解】
经验证:x=1是方程根.
故选B.
【点睛】本题考查分式方程的计算,关键在于掌握解方程的步骤.
7. 一次函数中，若kb<0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由y随着x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，结合kb＜0可得出b＞0，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
【详解】解：∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
8. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A. 21钱B. 65钱C. 150钱D. 165钱
【答案】C
【解析】
【分析】根据人数乘以每人出钱数加差价可列出方程，解方程即可．
【详解】根据题意可列方程组，设人数为x人，
则：，
解得：x＝21，
5×21+45=150，
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，也可用二元一次方程组解决，能够找到等量关系是解决本题的关键．
9. 如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，已知菱形的顶点，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点.则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图过程可知垂直平分，连接，如图，则可根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质证明是等边三角形，从而可得，过点作轴于点E，在直角△ADE中易知AD=2，再利用60°的三角函数求出AE与DE的长即得答案.
【详解】解：根据作图过程可知：垂直平分，连接，过点作轴于点.
∵垂直平分，
∴，.
∵，
∴AB=BC=AC，即是等边三角形.
∴.
∴.
在中，∵，，
∴点的坐标为.
故选B.
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，考查的知识点虽多，但难度不大，根据题意正确判断是等边三角形是求解的关键.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算 的结果等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
【详解】
故填13.
【点睛】本题考查平方差公式及二次根式的运算，熟练掌握公式是解题关键.
12. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______．

【答案】48
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为48
13. 如图，在体育课上，，，，，，六位同学分别站在正六边形的6个顶点处（面向六边形内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手或右手边的第一个人．若游戏中传球和接球都没有失误，现在球在手上，则经过两次传球后球又传到手上的概率为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有9种等可能结果，球又回到A手上的结果数为3种，再根据概率公式求解即可．
【详解】根据题意画树状图如下：

由树状图可知，两次传球共有9种等可能结果，球又回到A手上的结果数为3种，
∴经过两次传球后球又传到手上的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求概率，概率公式，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
14. 如图，矩形，对角线与双曲线交于点，若，则矩形的面积为________．
【答案】50
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△ODE＝9，利用相似三角形的性质，可得S△ADE：S△OBA＝9：25，进而求出S△OBA＝25，由矩形的性质得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥OA，垂足为E，则S△ODE＝×18＝9，
∵是矩形
∴AB⊥AO
∴DEAB，
∴△ODE∽△OBA，
∵
∴S△ADE：S△OBA＝9：25，
∴S△OBA＝25，
∴矩形OABC的面积为25×2＝50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形以及矩形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的性质是解决问题的关键．
15. 如图，在矩形中，是的中点，连接是边上一动点，过点的直线将矩形折叠，使点落在上的处，当是等腰三角形时，__________．
【答案】3或或
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=5，设AP=x，则PD′=PD=6-x，当△APD′是等腰三角形时，分三种情况分别求解即可．
【详解】∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∴，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD′=PD，
设AP=x，则PD′=PD=6-x，
当△APD′是等腰三角形时，可分三种情况讨论：
①若，则，
解得x=3；
②若，如图，过点作⊥AD于点F，
∵AD∥BC，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在Rt△中，，
解得，（不合题意，舍去）；
③若，如图，过点作⊥AD于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上，AP的值为3或或.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，正确的理解题意并分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）11；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，分式的混合计算：
（1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法的运算顺序求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
17. 照明灯具经过多年的发展，大致历经白炽灯、节能灯、灯三个阶段，目前性价比最高的是灯，不仅更节能，而且寿命更长，同时也更加环保．某商场计划购进甲、乙两种型号的照明灯共200只，甲型号照明灯的进价为30元/只，乙型号照明灯的进价为60元/只．
（1）若购进甲、乙两种型号的照明灯共用去7200元，求甲、乙两种型号照明灯各购进多少只．
（2）若商场准备用不多于8400元购进这两种型号的照明灯，问：甲型号照明灯至少购进多少只？
【答案】（1）甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只
（2）甲型号照明灯至少购进120只
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只，根据购进甲、乙两种型号的照明灯共200只共花费7200元列出方程组求解即可；
（2）设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进只，根据总费用不超过8400元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设甲型号照明灯购进x只，乙型号照明灯购进y只．
根据题意，得
解得
答：甲型号照明灯购进160只，乙型号照明灯购进40只．
【小问2详解】
解：设甲型号照明灯购进m只，则乙型号照明灯购进只．
根据题意，得，
解得．
答：甲型号照明灯至少购进120只．
18. 【数据收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为，死亡率为，人口自然增长率为，常住人口数为人（表示千分号）．（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系；
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算的值；
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图．根据统计图分析：

①对图中信息作出评判（写出两条）；
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【答案】（1）人口自然增长率出生率死亡率
（2）
（3）①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长（答案不唯一）；
②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得人口自然增长率等于出生率减死亡率；
（2）根据样本容量总体抽样比例求出的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出合理建议，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可知，人口自然增长率出生率死亡率；
【小问2详解】
解：由题意，可得，
解得；
【小问3详解】
解：①我国近五年的人口自然增长率逐年下降；自2021年以来，衢州市得人口呈负增长；
②建议国家加大政策优惠，鼓励人们多生育．
【点睛】本题考查了总体，合体，样本，样本容量，折线统计图，用调查作决策，看懂折线图，并熟知上述概念之间的联系是解题的关键．
19. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）是时间（）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误．
解答下列问题：
（1）记录错误的的值是__________，正确的值应该是__________；
（2）求水位（）与时间（）的一次函数关系式；
（3）当为时，求对应的时间为多少．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用；
（1）由表格中数据知，时间每增加分钟，增加，据此可知是错误的值；
（2）设水位（）与时间（）的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可；
（3）利用（2）的关系式求解值即可．
【小问1详解】
解：由表格中数据知，时间每增加分钟，增加，
是错误的值，正确的值应该是
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设水位（）与时间（）的一次函数关系式为，
代入表中数据得，
解得，
∴水位（）与时间（）的一次函数关系式为；
【小问3详解】
解：由（2）知，
当时，，
解得，
故答案为：．
20. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．（点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号）

【答案】米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解．
【详解】解：过点D作，垂足为，过点D作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．

21. 如图，在中，，点D，E，F分别是边，，上的点，以为直径的半圆O经过点E，F，且平分．

（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，证明得到即可得到证明；
（2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到，即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；
【小问2详解】
解：，，，
，，
，
，
，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
【点睛】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，．
22. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
（1）如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）见解析 （2）①49，230；②
（3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
小问3详解】
解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
23. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作．

特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题．
A：当，时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
B：当时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）A：；B：
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质即角平分线的性质证明即可；
（2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）A：过点G作交于点H，连接，证明四边形为是菱形，由锐角三角函数得到，，进而得到，利用勾股定理即可求解；
B：连接，交于点H，当时，最短，此时的面积最小，利用锐角三角函数求出，即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵四边形为矩形，

，
，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形为矩形，
∵平分，
，
，
，
∴矩形为正方形；
（2），理由：连接交于点O，连接，

∵由（1）得四边形为正方形，
，
垂直平分，
，
∵四边形为矩形，
，
；
（3）A：补全图形如下：过点G作交于点H，连接，

由题意得四边形为平行四边形，
，平分，
，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形为是菱形，
，
，，
，
，
此时，A，G两点之间的距离为；
B：补全图形如下： 连接，交于点H，

由A的证明知四边形为是菱形，
，
，
当时，最短，此时的面积最小，
，，
，
，
四边形为是菱形，
，，
，
，，
，
，
以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．（）
（）
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
33
45
49
45
33
0