广西钦州市浦北县2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，据此可得该几何体是三棱柱．
【详解】解：由由展开图可得，改几何体由三个面的长方形，两个面是三角形，
所以该几何体是三棱柱
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的展开图，从实物出发，结合具体问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图象的转化，建立空间观念，是解题关键．
2. 下列命题中，正确命题的是（ ）
A. 所有的正方形都相似B. 所有的菱形都相似
C. 底边相等的两个等腰三角形相似D. 对角线相等的两个矩形相似
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可．
【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例，
∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意；
B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等，
∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意；
C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意；
故选A．
3. 下列关系式中，是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可．
【详解】解：由反比例函数定义可知，A、B、D中的函数都不是反比例函数，C中的函数是反比例函数，
故选：C．
4. 长方形的正投影不可能是( )
A. 正方形B. 长方形C. 线段D. 梯形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故长方形的正投影不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键．
5. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
6. 如图，下列条件不能判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
7. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据已知条件先判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴该三角形为等腰直角三角形，
∴sinA=sin45°=．
故选B．
考点: 特殊角的三角函数值．
8. 在中，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了由特殊三角函数值求角度，根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
故选：D．
9. 已知反比例函数，则下列描述正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 图象不可能与坐标轴相交
C. y随x的增大而增大D. 图象必经过点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特点，根据小于0判断出反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交可判断A、B、C，求出当时，，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，且图象不可能与坐标轴相交，故A、C错误，B正确，
当时，，
∴图象不经过点，故D错误；
故选B．
10. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A. 3mB. 4m
C. 4.5mD. 5m
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴m
故选：D
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
11. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，先根据一次函数的图象判断出的取值，再根据反比例函数的图象判断出的取值，二者一致即为正确答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，的图象经过二、三、四象限，函数的图象分布在一、三象限，
当时，的图象经过一、二、三象限，函数的图象分布在二、四象限，
故选：B．
12. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，以为直角顶点向右作等腰，连接，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质及角的和差关系证明，得出E点的运动轨迹为直线，可得当 时，有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵，得出
∴，
∵在 中，
∴，
∴
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴E点的运动轨迹为直线，
∴当最短时，，
即当 时，有最小值，
这时是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值是2，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是___________（写出一个即可）.
【答案】球（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，常见的三视图相同的几何体的名称要掌握．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此解答即可．
【详解】解：球的三视图都是圆，正方体的三视图都是正方形，
∴三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是球、正方体等，
故答案为：球（答案不唯一）．
14. 一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作，

在，，
∴设，，
由勾股定理得，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，即此时小球距离地面的高度为，
故答案为：．
15. 如图，，如果，，，那么的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得到，即可求出，进而得到的长，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在某闭合电路中，电源的电压为定值，电流（）与电阻（）成反比例关系.如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图像，则用电阻表示电流的函数解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意设反比例函数关系式，可知，所以根据图像上的B的坐标即可求出k的值，得到解析式.
【详解】由题意设，∴，
代入B（3,2）得，，
函数解析式为.
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，先设出反比例关系式，代入图像上的点求出系数，即可得到解析式.
17. 如果，且三边长分别为3，5，6，的最短边长为9，那么的周长为______．
【答案】42
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等比边长比进行求解即可．
【详解】解：，且的三边长分别为3，5，6，的最短边长为9，
两个三角形的最短边为3，9，
的周长的周长，
的周长，
的周长，
故答案为：42．
18. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，与的面积之差为1，则k的值为______．

【答案】5
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质，根据题意正确列出方程．根据题意求得四边的坐标，再根据与的面积之差为1，列方程求解即可．
【详解】解：∵轴，点，的横坐标分别为2，4，
∴点，的横坐标分别为2，4
又∵点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上
∴，，，
∴，
由图形可得，，
由题意可得：，即
解得
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角三角函数值，是解答本题的关键．
（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】

．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．
【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60°
【解析】
【分析】由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，
∴AB＝＝4，
∵tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答．
21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．

（1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形．
（2）顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ．
【答案】（1）作图见解析
（2） ；
【解析】
【分析】（1）根据位似图形性质作图即可得到答案；
（2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
【小问2详解】
解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为；
故答案为：；．
【点睛】本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键．
22. 如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积．
【答案】（1）圆锥 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数；
（3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据面积公式可得答案．
【小问1详解】
解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
【小问2详解】
解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
则展开图扇形的弧长为，
又弧长为，
，
解得
展开图扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
展开图扇形的面积为，
底面面积为，
圆锥的全面积为．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算．
23. 已知关于的反比例函数
（1）若该函数的图象经过点，求的值，并在下图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1），图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质．
（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据时，随的增大而减少，可知，进而求出的取值范围．
【小问1详解】
解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得．
∴反比例函数的解析式为，
列表，
描点，连线，函数图象如图，
；
【小问2详解】
解：在函数图象上，当时，随的增大而减小，
∴，
∴．
故答案是：．
24. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为点N，且BN的延长线交AC于点D．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）如果BC=20，BD=15，求AB的长度．
【答案】(1)见解析；（2）12
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质和相似三角形的判定证明即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵M是斜边BC的中点，
∴AM=CM，∴∠MAC=∠C，
∵∠MAC+∠BAN=90°，∠ABD+∠BAN=90°，
∴∠MAC=∠ABD，
∴∠C=∠ABD，
∵∠BAC=∠DAB=90°，
∴△ABC∽△ADB；
（2）∵△ABC∽△ADB，
∴===，
设AC=4x，AB=3x，
可得：（4x）2+（3x）2=202，
解得：x=±4（负值舍去），
∴AB=3x=12．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
25. 柚子含有极为丰富维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980，
∵980>480，
∴当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元，
答：当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元．
26. 综合与实践
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“相似”主题下设计的问题，请你解答
【问题情境】
在中，是边上一点，，与交于点．
【初步探究】
（1）如图1，若，于点．
①求证．
②求的值．
【拓展延伸】
（2）如图2，是延长线上一点，若已知，求的长
【答案】（1）①见解析 ② （2）
【解析】
【分析】（1）①根据平行的等边对等角得到，再根据公共角，证明，即可得到结论；②过点作于点N，证明，即可解题；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，然后推导，得到，即可解题．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②证明：如图，过点作于点N，
∵，
∴，
由①知 ，
，
∴，
，
，
，
，
又，，
∴
又∵，
，
，
；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
x
1
2
3
4
y
1
2
4