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广西南宁市第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版）
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这是一份广西南宁市第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版），共7页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
（考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ）
A. B. C. 5D. 6
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 一元一次不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A. 6B. 10C. 8D. 12
7. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 《孙子算经》是我国古代重要数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
12. 如图，点M是正方形边AB上一点，于N，，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 分解因式：_____．
14. 从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______．
15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
16. 如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点A处测得点D的俯角为，点C的仰角为，则乙建筑物的高约为_______．
17. 如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为_____________．
18. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知一周内统计的感染者总人数为__________人，图中m的值为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）
22. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心．
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长．
23. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆，当，时．（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端B到底盘距离的长；
（2）求的长．
24. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
25. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
26. 综合与实践
一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示．
【问题发现】如图3，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标．
【问题探究】如图③，心形叶片对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E、是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖O落在射线上（如图5所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．
（考试形式：闭卷考试时间：120分钟分值：120分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ）
A. B. C. 5D. 6
3. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
4. 一元一次不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（ ）．
A. 6B. 10C. 8D. 12
7. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 《孙子算经》是我国古代重要数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
12. 如图，点M是正方形边AB上一点，于N，，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 分解因式：_____．
14. 从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______．
15. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
16. 如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离为．若在点A处测得点D的俯角为，点C的仰角为，则乙建筑物的高约为_______．
17. 如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为_____________．
18. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 冬季是各类呼吸道传染病的高发季，某市疾控中心对一周内上报的新冠、支原体、甲流、乙流病毒感染者人数做了统计，整理分析绘制出两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知一周内统计的感染者总人数为__________人，图中m的值为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）该疾控中心决定进行传染病防治宣传工作，现有工作人员2名男生和2名女生，要求从中随机选取2人，若每个工作人员被选取的可能性相等，求选取的2人中至少有1名男生的概率（画树状图或列表法）
22. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心．
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长．
23. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆，当，时．（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端B到底盘距离的长；
（2）求的长．
24. 如图，为的直径，点为延长线上一点，以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连结交于点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
25. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
26. 综合与实践
一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示．
【问题发现】如图3，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标．
【问题探究】如图③，心形叶片对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E、是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖O落在射线上（如图5所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．
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