2023年广西柳州市柳东新区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广西柳州市柳东新区中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的相反数是( )
A. 3B. −3C. ±3D. −13
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−3,2)
4.关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为( )
A. −3≤x≤2B. −35.下列事件是随机事件的是( )
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾
C. 任意画一个三角形，其内角和等于180°
D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下
6.如图，直线a、b被直线c所截，a/​/b，∠1=140°，则∠2的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7.下列四个算式中正确的是( )
A. a2+a3=a5B. −a23=a6C. a2⋅a3=a6D. a3÷a2=a
8.一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为( )
A. x=−1
B. x=2
C. x=0
D. x=3
9.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
10.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一.如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形.如果桥顶到水面的距离CD=8米，桥拱的半径OC=5米，此时水面的宽AB( )
A. 11mB. 10mC. 8mD. 9m
11.欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世.在《几何原本》中，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：如图，以a2和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则图中哪条线段的长是方程x2+ax=b2的解( )
A. ADB. ACC. ABD. BC
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
12.代数式1x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
13.因式分解：mn−m2= ______．
14.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，∠AOC=50°，则∠ABC= ______．
15.已知半径长为3的扇形的圆心角为150°，则此扇形的面积为______．
16.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有______个三角形(用含n的代数式表示)．
17.如图已知矩形ABCD，AD<2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF.若点F是CD的中点，BC=8，求CD的长是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18.解分式方程：3x=1x−2．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(π−1)0+4× 22− 8+|−3|．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(−2,1)，B(−3,−2)，C(1,−2)，若先将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，请解答下列问题：
(1)写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
(3)三角形A1B1C1的面积为______．
21.(本小题10分)
微信圈有篇热传的文章《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机！》，2021年教育部办公厅下发关于加强中小学生手机管理工作的通知，通知中提到：有限带入校园，细化管理措施，加强教育引导，做好家校沟通，强化督促检查五点学校管理措施，为了解学生手机使用情况，某学校组织开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角的度数是______度；
(3)补全条形统计图；
(4)在使用手机“查资料”的学生中，恰有3人每周都是使用手机50分钟，其中2女1男，计划在这3个学生中随机抽选两个到全年级分享手机管理使用经验，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中有一个男生的概率．
22.(本小题10分)
某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
23.(本小题10分)
综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．

(1)填空：【初步尝试】我们知道：tan60°= 3，tan30°= 33，发现tanA ______2tan(12A)(填“=”或“≠”)．
(2)【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan(12A)的值”这一问题时，小邕想构造包含12A的直角三角形，延长CA到点D，使DA=AB，连接BD，所以可得∠D=12∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan(12A)的值．
(3)【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值．
24.(本小题10分)
如图，AC为⊙O的直径，BD为⊙O的一条弦，过点A作直线AE，使∠EAB=∠D．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若∠ABD=30°，AB=2，BC=6，求BD的长．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−2,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C，
P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接AP，交线段BC于点D，若PDDA=15，求m的值；
(3)如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H，与直线AP，BP分别交于E、F两点.试问EH+FH是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的相反数就是3．
故选：A．
依据相反数的概念求解．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
此题主要考查相反数的概念，是基础题型，比较简单．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,−2)．
故选：A．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得，不等式组的解集为：−3≤x<2．
故选：C．
根据不等式组的解集在数轴上的表示方法求出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B、在标准大气压下，通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，不符合题意；
D、在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
先根据邻补角定义求得∠3，然后再根据两直线平行，内错角相等即可解答．
【解答】
解：如图，
∵∠1+∠3=180°，∠1=140°，
∴∠3=180°−∠1=180°−140°=40°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠3=40°．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可．
【解答】
解：A.a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B.−a23=−a6，故本选项不符合题意；
C.a2⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
D.a3÷a2=a，故本选项符合题意；
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：∵y=kx+b经过(2,3)(0,1)，
∴b=13=2k+b，
解得：b=1k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
x+1=0，
解得：x=−1，
故选：A．
首先利用待定系数法把(2,3)(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式．
9.【答案】B
【解析】解：∵x乙−=x丙−>x甲−=x丁−，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S乙2∴选择乙参赛，
故选：B．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接OA，如图所示．
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=12AB，
在Rt△ADO中，OA=OC=5m，OD=CD−OC=3m，∠ADO=90°，
∴AD= OA2−OD2= 52−32=4m，
∴AB=2AD=8m．
故选：C．
连接OA，根据垂径定理可知AD=BD=12AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵x2+ax=b2，
∴x2+ax+(a2)2=b2+(a2)2，
即(x+a2)2=b2+(a2)2，
∴x+a2=± b2+(a2)2，
∴x=± b2+(a2)2−a2，
在Rt△ABC中，AC=b，BC=a2，
∴AB= AC2+BC2= b2+(a2)2，
又∵BC=BD=a2，
∴AD= b2+(a2)2−a2，
∴图形中线段AD的长是方程x2+ax=b2的一个解，
故选：A．
先利用配方法求出方程的解，再根据勾股定理求出AB，然后由BD=BC=a2得AD的长，从而得出答案．
本题主要考查勾股定理和一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理和一元二次方程的解法是解题的关键
12.【答案】x≠3
【解析】解：要使代数式1x−3在实数范围内有意义，
可得：x−3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3
根据分母不等于0进行解答即可．
此题考查分式有意义，关键是分母不等于0．
13.【答案】m(n−m)
【解析】解：原式=m(n−m)，
故答案为：m(n−m)．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
14.【答案】25°
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=50°，
∴∠ABC=12∠AOC=25°．
故答案为：25°．
直接根据圆周角定理进行解答即可．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
15.【答案】15π4
【解析】解：∵半径长为3的扇形的圆心角为150°，
∴此扇形的面积=150π×9360=15π4．
故答案为：15π4．
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
16.【答案】(3n+1)
【解析】解：∵第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，
∴第4个图案中有1+3×4=13个三角形，
按此规律摆下去，第n个图案有(1+3n)个三角形，
故答案为：(3n+1)．
根据规律可得第4个图案中有1+3×4=13个三角形，从而得出答案．
本题主要考查了规律型：图形的变换类，根据各图案中所需三角形个数的变化，得出规律是解题的关键．
17.【答案】4 2
【解析】解：将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A，AE=GE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
EF=EFEG=ED，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)，
∴GF=DF，
∵点F是CD的中点，
∴GF=DF=CF=12CD，
在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD，
又由折叠可知AB=GB，
∴GB=CD，
∴BF=GB+GF=32CD，
在Rt△BFC中，BF2=BC2+CF2，BC=8，
∴(32CD)2=82+(12CD)2，
解得：CD=4 2，负值舍去，
故答案为：4 2．
先证明∠EGF=∠D=90°，EG=ED，再根据“HL”证明△EGF≌△EDF，根据全等三角形性质得出GF=DF，从而得出GF=DF=CF=12CD，证明BF=GB+GF=32CD，根据勾股定理得出(32CD)2=102+(12CD)2，求出CD即可．
本题主要考查了矩形性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
18.【答案】解：方程的两边同乘x(x−2)，得
3(x−2)=x，
解得x=3．
检验：把x=3代入x(x−2)=3≠0．
∴原方程的解为：x=3．
【解析】观察可得最简公分母是x(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：(π−1)0+4× 22− 8+|−3|
=1+2 2−2 2+3
=4．
【解析】先计算零指数幂，化简二次根式，化简绝对值，再计算乘法运算，最后合并即可．
本题主要考查了实数的混合运算，正确记忆运算法则是解题关键．
20.【答案】6
【解析】解：(1)A1(0,4)，B1(−1,1)，C1(3,1)；
(2)如图，△A1B1C1即为所求；
(3)三角形A1B1C1的面积=12×4×3=6．
故答案为：6．
(1)利用平移变换的规律，写出坐标即可；
(2)根据点的坐标画出图形即可；
(3)利用三角形面积公式求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】100 126
【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生人数为40÷40%=100(名)．
故答案为：100．
(2)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为1−40%−18%−7%=35%，
∴“玩游戏”对应的圆心角的度数是360°×35%=126°．
故答案为：126．
(3)每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数为100−2−16−18−32=32(人)．
补全条形统计图如图②所示．
(4)设这3个学生中，2名女生分别记为A，B，1名男生记为C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中所选两个学生中有一个男生的结果有：AC，BC，CA，CB，共4种，
∴所选两个学生中有一个男生的概率为46=23．
(1)用“查资料”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数．
(2)通过扇形统计图求出“玩游戏”对应的百分比，再乘以360°即可．
(3)求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可．
(4)画树状图得出所有等可能的结果数和所选两个学生中有一个男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
x+3y=962x+y=62，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
(2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6−a)辆，则依题意得
18a+26(6−a)≥13018a+26(6−a)≤140，
解得2≤a≤314．
∵a是正整数，
∴a=2或a=3．
∴共有两种方案：
方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．
【解析】(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
(2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6−a)辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．
本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
23.【答案】≠
【解析】解：(1)tan60°= 3，tan30°= 33，
∴tanA≠2tan(12A)，
故答案为：≠；
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2=5．
∴AD=AB=5，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=9，
∴tan12A=tanD=BCCD=39=13．
(3)如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE．
则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13．
∴BC=1，AB= AC2+BC2= 10．
设AE=x，则EC=3−x，
在Rt△EBC中，x2=(3−x)2+1，
解得x=53，即AE=BE=53，EC=43．
∴tan2A=tan∠BEC=BCEC=34．
(1)根据锐角三角函数公式即可求解；
(2)根据题意可知∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=9，即可求解tan(12A)的值；
(3)作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，根据直角三角形BC=1，AB= 10，设AE=x，x2=(3−x)2+1，解得x=53，即可解得tan2A的值．
本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线构造2∠A是解决本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠EAB=∠D，∠ACB=∠ADB，
∴∠EAB=∠ACB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAE=∠CAB+∠EAB=∠CAB+∠C=90°，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：连接CD，过D作DH⊥BC于H，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDA=∠ABC=90°，
∵∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠DAC=∠CBD=60°，
∴AC= BC2+AB2= 62+22=2 10，
∴CD= 32AC= 30，设BH=x，则CH=6−x，
∴DH= 3x，
∵CD2=CH2+DH2，
∴30=(6−x)2+( 3x)2，
解得x=3+ 32或x=3− 32(不合题意舍去)，
∴BD=2BH=3+ 3．
【解析】(1)根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论；
(2)连接CD，过D作DH⊥BC于H，根据圆周角定理得到∠CDA=∠ABC=90°，根据勾股定理得到AC= BC2+AB2= 62+22=2 10，求得CD= 32AC= 30，设BH=x，则CH=6−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−2,0)，B(3,0)两点，
∴4a−2b+4=09a+3b+4=0，
解得：a=−23b=23，
∴抛物线的表达式为y=−23x2+23x+4；
(2)过点P作PM/​/x轴，交BC于点M，如图，

令x=0，则y=4，
∴C(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴n=43k+n=0，
解得：k=−43n=4，
∴直线BC的解析式为y=−43x+4．
∵P(m,−23m2+23m+4)，
∴M(12m2−12m,−23m2+23m+4)，
∴PM=m−(12m2−12m)=−12m2+32m.
∵A(−2,0)，B(3,0)，
∴AB=5．
∵PM/​/AB，
∴△PMD∽△ABD，
∴PMAB=PDAD=15，
∴−12m2+32m5=15，
∴−12m2+32m=1，
解得：m=1或2；
(3)EH+FH为定值，这个定值为253.理由：

∵y=−23x2+23x+4=−23(x−12)2+256，
∴抛物线y=−23x2+23x+4的对称轴为直线x=12．
∵P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m，
∴P(m,−23m2+23m+4)，
设直线PA的解析式为y=cx+d，
∴−2c+d=0mc+d=−23m2+23m+4，
解得：c=−23(m−3)d=−43(m−3)，
∴直线PA的解析式为y=−23(m−3)x−43(m−3)，
当x=12时，y=−53m+5，
∴E(12,−53m+5)，
∴EH=−53m+5．
同理可得：直线PB的解析式为y=−23(m+2)x+2(m+2)．
当x=12时，y=53m+103，
∴F(12,53m+103)，
∴FH=53m+103，
∴EH+FH=−53m+5+53m+103=253．
∴EH+FH为定值，这个定值为253．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)过点P作PM/​/x轴，交BC于点M，利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P(m,−23m2+23m+4)，进而得到M(12m2−12m,−23m2+23m+4)，利用P，M的坐标表示出线段PM，再利用相似三角形的判定与性质列出关于m的方程，解方程即可得出结论；
(3)利用配方法求得抛物线的对称轴，设P(m,−23m2+23m+4)，利用待定系数法求得直线PA，PB的解析式，分别令x=12，求得y值，则线段EH，FH可得，将两条线段相加即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线是性质，相似三角形是判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1