2023年广西柳州市八校联考中考数学二模试卷（含解析）

2023年广西柳州市八校联考中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在、、、这四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中的俯视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列调查中，最适合采用全面调查的是(    )

A. 调查一批智能手机的使用寿命
B. 调查“三月三”假期到广西旅游的人数
C. 调查国产航母“山东舰”各系统运行情况
D. 调查文献记录片毛泽东的收视率

7.  如图，在中，，，，则等于(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知点为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示是某市某天的气温随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(    )

A. 这天时气温最高 B. 这天时气温最低
C. 这天最高气温与最低气温的差是 D. 这天有两个时刻气温是

11.  宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线与点；作，交的延长线于点则图中下列矩形是黄金矩形的是(    )

 

A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形

12.  我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数小腾同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并给出下列五个结论：图象与轴的交点为和；当或时，函数值随的增大而增大；当时，函数有最大值；若函数图象与直线有个公共点，则的取值范围是，其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  如图，，直线交于点，交于点，若，则等于______

14.  今年广西旅游迎来复苏新高潮，“五一”期间全区累计接待游客约人次，数字用科学记数法表示为______ ．

15.  因式分解：          ．

16.  在一个不透明的箱子中有黄球和红球共个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为______个．

17.  如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则的周长为______．

18.  如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  解方程组．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点，连接、．
判断的形状，并说明理由；
若，求的长结果保留．

22.  本小题分
某学校调查八年级学生对“二十大”知识的了解情况，并进行了“二十大”知识竞赛，从中随机抽取了男生和女生各名学生的成绩，整理如下：成绩得分用表示，共分成四组：，，，
名男生的成绩分别是：，，，，，，，，，
名女生的成绩在组中的数据是：，，
通过数据分析，八年级抽取的学生成绩统计表如下：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述，，的值；
根据以上数据，在“二十大”知识竞赛中，你认为是八年级男生成绩较好还是八年级女生成绩较好？请说明理由写出一条即可；
八年级男女生各人参加此次竞赛活动，估计参加此次“二十大”知识竞赛成绩优秀的学生总人数是多少？

23.  本小题分
为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，说明书中的部分内容如图所示．
若该设备的安装高度为，请你求出图中的长度结果精确到
若学校要求测温区域的宽度为，请你求出该设备的安装高度结果精确到
参考数据：，，，，，

24.  本小题分
某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多平方米，建类摊位每平方米的费用为元，建类摊位每平方米的费用为元，用平方米建类摊位的个数恰好等于用平方米建类摊位个数．
求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
该社区拟建，两类摊位共个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的倍，建造多少个类摊位，多少个类摊位，才能使总费用最少？并求出建造这个摊位的最少费用．

25.  本小题分
【问题发现】：如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，则 ______ ；
【类比探究】：如图，在的条件下，把“正方形”改为“矩形，且，”其它条件不变，则 ______ ，证明你的结论；
【拓展应用】：如图，在中，，，，点为的中点，连接，点为上一点，，交于点，求的长．

 

26.  本小题分
已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．

求抛物线的解析式及顶点的坐标；
点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为正数负数，
．
所以最大的数是．
故选：．
根据正数大于和负数，可得结论．
本题考查了有理数大小的比较，题目比较简单，掌握有理数大小的比较法则是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【解答】
解：俯视图是圆，故本选项不合题意；
B.俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C.俯视图是三角形，故本选项符合题意；
D.俯视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
本题属于单项式与单项式相乘，把系数和相同字母分别相乘得结果．
本题考查了整式的乘法，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故选：．
根据数轴得出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：调查一批智能手机的使用寿命，宜采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.调查“三月三”假期到广西旅游的人数，宜采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.调查国产航母“山东舰”各系统运行情况，宜采取全面调查，因此选项C符合题意；
D.调查文献记录片毛泽东的收视率，宜采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
故选：．
根据锐角三角函数的正弦定义进行解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
先根据，判断出≌．
本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，属较简单题目．
 

9.【答案】 

【解析】解：轴，
，
，
，
．
故选：．
根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值熟记反比例函数的比例系数的几何意义是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
这天时温度最高，故选项A正确，不符合题意；
这天时温度最低，故选项B正确，不符合题意；
这天最高温度与最低温度的差是，故选项C错误，符合题意；
这天有两个时刻气温是，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，则，，
在直角三角形中，，
，
，
，
矩形为黄金矩形．
故选：．
先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后根据与的比值为黄金比，判断矩形为黄金矩形．
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形也为黄金矩形．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，都满足函数，
图象与轴的交点为和，故正确；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，故正确；
由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值并非最大值，故错误．
由图象可知，函数与直线有个公共点，则的取值范围是，故正确．
故选：．
由图象可知点，在函数的图象上，满足函数即可判断；当或时，函数值随值的增大而增大，即可判断；当或，函数值有大于的值，即可判断；根据图象函数即可判断．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，理解“鹊桥”函数的图象和性质，掌握它与之间的关系以及两个函数性质的联系和区别是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，
，
又，
，
又，
，
故答案为．
由平行线的性质证明，邻补角互补求得的度数为．
本题综合考查了平行线的性质，邻补角的性质，角的和差等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是灵活运用邻补角，对顶角，平行线的性质知识一题多解．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正数，当原数绝对值时，为负数．
本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定和的值．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：设这个箱子中红球的个数为个．
根据题意，得，
解得．
答：这个箱子中红球的个数为个．
故答案为：．
设这个箱子中红球的个数为个，再根据概率公式求出的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：，是角平分线，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
的垂直平分线交于点，
，
的垂直，
故答案为：．
根据含角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作，交延长线于，如图：

是等边三角形，，为的中点，
，，，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
过作，交延长线于，由是等边三角形，，为的中点，将绕着点逆时针旋转得到，可得≌，即得，，从而，有，，故BD，而，得，从而．
本题考查等边三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

19.【答案】解：，
得：，即，
将代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】首先进行乘方运算，再计算乘除，最后计算加减即可．
本题考查含乘方的有理数混合运算，掌握运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：为等腰直角三角形，理由如下：
是的外接圆，是直径，
，
的平分线交于点，
，
，，
为等腰直角三角形；
由可得：，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由，确定，即可得出结论；
结合的结论，说明，通过求得的长度，即可得出结论．
本题考查圆周角定理，弧长计算等，理解直径所对的圆周角为直角，以及熟练运用圆周角定理和相关推论是解题关键．
 

22.【答案】解：名女生的成绩在组中的数据有个，
女生成绩扇形统计图中组的百分比为，
组的百分比为，
；
名男生的成绩从小到大排列是：，，，，，，，，，
中位数，众数，
，，；

八年级女生成绩较好．因为八年级女生成绩的中位数大于八年级男生成绩的中位数；

由题意，名男生中成绩优秀的人数为人，即：“成绩优秀”率为；
名女生中，“成绩优秀”率为；
男生：人；
女生：人；
人，
参加此次“二十大”知识竞赛成绩优秀的学生总人数是人． 

【解析】根据名女生的成绩在组中的数据有个，确定女生成绩扇形统计图中组的百分比，从而确定的值；名男生的成绩从小到大排列，确定其中位数和众数即可得到，的值；
两类型的平均数相同，选择中位数或众数较大的一类型更好，由此判断即可；
“成绩优秀”即为组和在组的人数总和，利用其与被调查的总人数相比，得到总的占比，再乘总人数即可得出结论．
本题考查求中位数、众数，并利用其做决策，以及利用部分估计整体等知识点，理解中位数等知识点的求解方式，并能够利用其实际意义做出决策是解题关键．
 

23.【答案】解：，，，
，
答：图中的长度约为；
根据题意可知：，，，，
，
在中，，
在中，，
，
解得．
答：该设备的安装高度约为． 

【解析】根据三角函数的定义即可得到结论；
根据题意得到，，，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程．
 

24.【答案】解：设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，
根据题意，得：，
解得，，
经检验，是上述分式方程的解，且符合题意，
，
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位占地面积为平方米；

设建造类摊位个，则建造类摊位个，
根据题意，得，解得：，
是整数，
，
设建造这个摊位的费用为，
，
，
随着的增大而减小，
要想使建造费用最小，需使取最大值，
当时，最小，此时，，
建造个类摊位、个类摊位时，费用最小，最小费用为元． 

【解析】设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据题意列分式方程求解并检验即可；
设建类摊位个，则类个，设费用为，由得类和类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
本题考查分式方程以及一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，以及熟练运用一次函数的性质是解题关键．
 

25.【答案】  

【解析】解：如图中，过、分别作，垂足为、，

四边形是正方形，
，
四边形、是矩形，
，
，
，而，
，
而，
，
又，，，
≌，
．
即．
故答案为：．
过点作为，过点作于点，设与的交点为点，

，，
，
，
又，
，
，
∽，
，
又，，
；
故答案为：；
将补成矩形，延长交于点，

由题意可知，，
由可知，，
，
，
又，
∽，
，
即，
．
过、分别作，垂足为、，证明≌，由全等三角形的性质得出则可得出答案；
过点作为，过点作于点，设与的交点为点，证明∽，由相似三角形的判定与性质得出，则可得出答案；
将补成矩形，延长交于点，求出和的长，证明∽，由相似三角形的判定与性质得出，则可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：设解析式为，其中，
函数的表达式为：，
即：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
则顶点．
，，
直线的解析式为：，
点在抛物线上，且位于直线下方，
设，其中，，
如图所示，作轴，交于点，
，
，
，，，
，
，
整理可得：，其中，
，
当时，取得最大值，
将代入，得：，
此时点的坐标为；

解：存在最小值，理由如下：
如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，
分别连接，，，则，，

在中，，
随着点的运动，总有，
，
要使得取得最小值，即要使得取得最小值，
如图，当、、三点共线时，满足取得最小值，

此时，，，
，
，，
，
，
，
存在最小值，最小值为． 

【解析】根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可；
作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可；
将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．