四川省泸县第四中学2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第四中学2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,,则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3．将A,B,C三大经营外卖的公司2019年的市场占有率统计如下图所示,其中代表A公司的市场占有率,代表B公司的市场占有率,代表C公司的市场占有率现有如下说法
①2019年A公司的市场占有率全年最大;
②2019年仅第一季度,C公司的市场占有率超过30%;
③2019年仅两个季度,B,C两公司的市场占有率之和超过A公司;
则上述说法中,正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
4．已知为锐角,且,则等于( )
A.B.C.D.
5．设,,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
6．的展开式中的常数项为( )
A.B.240C.D.180
7．中医药,是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生命,健康和疾病的认识,具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含最x(单位:克)与药物功效y(单位:药物单位)之间满足.检测这种药品一个批次的6个样本,得到成分甲的含量的平均值为5克.标准差为克.则估计这批中医药的药物功效的平均值为( )
A.14药物单位B.15.5药物单位C.15药物单位D.16药物单位
8．已知正方体的棱长为,直线平面,平面截此正方体所得截面中,正确的说法是( )
A.截面形状可能为四边形B.截面形状可能为五边形
C.截面面积最大值为D.截面面积最大值为
9．在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:则这个表格中第8行第6个数是( )
A.21B.28C.35D.56
10．三棱锥的各顶点均在球O的球面上,SC为该球的直径,,,且三棱锥的体积为2,则球O的半径为( )
A.B.C.D.3
11．已知双曲线的左,右两个焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若,该双曲线的离心率为e,则( )
A.2B.3C.D.
12．若表示不超过x的最大整数(例如:,),数列满足:,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知命题“,”是假命题,则实数m的取值范围是________.
14．椭圆的一个焦点为,M是椭圆上一点,且,N是线段的中点,则的长为________.
15．已知函数的图象向右平移个长度单位,得到函数的图象,若函数在区间上单调递增,则的值为________.
16．已知是奇函数,若恒成立,则实数a的取值范围是________.
三、解答题
17．已知内接于单位圆,且,
（1）求角C
（2）求面积的最大值.
18．多面体中,为等边三角形,为等腰直角三角形,平面ACFD,平面BCFE.
（1）求证:;
（2）若,,求平面ABC与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值.
19．某城市9年前分别同时开始建设物流城和湿地公园,物流城3年建设完成,建成后若年投入x亿元,该年产生的经济净效益为亿元;湿地公园4年建设完成,建成后的5年每年投入见散点图.公园建成后若年投入x亿元,该年产生的经济净效益为亿元.
（1）对湿地公园,请在,中选择一个合适模型,求投入额x与投入年份n的回归方程;
（2）从建设开始的第10年,若对物流城投入0.25亿元,预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高?请说明理由.
参考数据及公式:,;当时,,,回归方程中的;回归方程斜率与截距,.
20．已知函数(e为自然对数的底数),其中.
（1）试讨论函数的单调性;
（2）证明:.
21．已知点F是抛物线和椭圆的公共焦点,M是与的交点,.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线l与抛物线相切于点,与椭圆交
于A,B,点P关于x轴的对称点为.求的最大值及相
应的.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数),P是上的动点,M是OP的中点,M点的轨迹为曲线.以为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
（1）求,的极坐标方程;
（2）射线与的异于极点的交点为A,与的异于极点的交点为B,求.
23．已知函数
（1）已知常数解关于x的不等式;
（2）若函数的图象恒在函数图象的上方,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：,
则,即,其虚部为.
故选:C.
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：,为锐角,
,
,
故选:C.
5．答案：A
解析：
6．答案：D
解析：的通项为,
所以的展开式中的常数项为和,
又,所以的展开式中的常数项为180.
故选D.
7．答案：C
解析：根据题意,设6个样本中甲的含量依次为,,,,,,
平均值为5克.标准差为克,
则有,
变形可得,
则,
则这批中医药的药物功效的平均值为,
故选:C.
8．答案：D
解析：正方体的棱长为,直线平面,
平面截此正方体所得截面中,
如图,截面形状可能为正三角形或正六边形,由对称性得截面图形不可能是四边形或五边形,故A和均B错误;
如图,当截面形状为如图所示的正六边形时,截面面积最大,
,,,
截面面积最大值为,故C错误,D正确.
故选:D.
9．答案：A
解析：表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:.
则第7行的数据为:1,6,15,20,15,6,1,第8行的数据:1,7,21,35,35,21,7,1,则这个表格中第8行第6个数是21,故选:A.
10．答案：A
解析：因为,,所以,
设的外接圆的圆心E,连接OE,则平面ABC,作圆的直径CD,连接SD,因为O,E分别为SC,CD的中点,所以,平面ABC,
所以三棱锥的体积,
所以,
因为,,
所以,
由正弦定理可得,,
所以,
则外接球直径即.
故选:A.
11．答案：D
解析：
12．答案：A
解析：当时,
,
当时,也满足条件.
所以.
所以,
故.
所以,
故则,
故选:A.
13．答案：
解析：
14．答案：4
解析：椭圆
,
根据椭圆的定义得:,
而ON是的中位线,
,
故答案为:4.
15．答案：1
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）
,
,
（2）得外接圆为单位圆,其半径
由正弦定理可得,
由余弦定理可得,
代入数据可得
,当且仅当时取等号,
得面积,
面积的最大值为:
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:因为平面ACFD,
平面BEFC,平面平面,所以,
同理可证,,所以.
（2）因为为等腰直角三角形,,所以,,
又,,所以四边形ABED为平行四边形,所以,
因为为等边三角形,所以,
取FC的中点H,连结DH,EH,因为,则,
又,且,所以四边形ACHD为平行四边形,所以,
在中,,
所以,即,进而,
同理可证,进而,
以点C为原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,所以,
易知平面ABC的一个法向量为,
,
所以平面ABC与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）根据散点图,应该选择模型,令,则,
,故所求回归方程是即;
（2）由题意,物流城第10年的年经济净效益为(亿元);
湿地公园第10年的投入约为(亿元),
该年的经济净效益为(亿元);
因为,所以该年湿地公园产生的年经济净效益高.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,且,
所以当时,,所以在R上为增函数,
当时,由,得,所以,
所以,所以或,
所以或,
所以或,
由,得,解得,
所以在上递减,在和上递增.
（2）由（1）知,当时,在R上为增函数,
所以在上为增函数,
所以当且时,,
即,所以,
所以
,
所以.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意知:,.
,.
得:,所以.
所以的方程为.
（2）设直线l的方程为,则
由,得
得:
所以直线的方程为.
由,得
得
.
又,所以点Q到l的距离为.
.令,则,
.
此时,即
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）消参可得,将代入,
可得的极坐标方程为,设,由条件知,点P在上,
所以(a为参数),所以的参数方程为(a为参数),
的极坐标方程为
（2）射线与的交点A的极径为
射线与的交点B的极径为,所以,
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得,所以或
所以或,故不等式解集为.
（2）因为函数的图像恒在函数图像的上方,所以恒成立,则恒成立,因为,所以m的取值范围是